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河北省“五个一名校联盟”2016届高三教学质量监测
数学试卷（文科）
满分：150分 测试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小 题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.
1.若集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.在复平面内与复数 所对应的点关于实轴对称的点为 ，则 对应的复数为 ( )
A. B. C. D.
3.设 ，则“ ”是“ ”的 ( )
A. 充 分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则此双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
5.已知变量 满足约束条件 ,则 的最大值( )
A．1 B．3 C．4 D．8
6.如右图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
A.16 B.2524 C.34 D.1112
7.若直线 与 平行，则 与 间的距离为( )
A． B． C． D．
8.在面积为 的 内部任取一点 ，则 面积大于 的概率为 ( )
A． B． C． D．
9.若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 ( )
A. 1 B. C. D.
10.已 知数列 满 ,则 ( )
A． B． C． D．
11.某四面体的三视图如图，则该四面体四 个面中最大的面积是( )
A. B． C. D．
12.已知函数 存在实数 使 的图像与 的图像无公共点，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13.某校
高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_________.
14.已知等差数列 中， ，则
15.已知球 的表面积为 ，长方体的八个顶点都在球 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于
16.给定方程： 下列命题中：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在 内有且只有一个实数根； ④若 是方程的实数根，则 正确命题的序号是
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知函数
(1)求函数 的最小正周期和最大值；
(2)设 的三内角分别是 ,若 ,且 ,求 的值.
18.(本小题满分12分)某校
高三学生体检后，为了解
高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
视力数据 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3
人数 2 2 2 1 1
(1)用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．
19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥 中，底面 为
直角梯形， ,平面 底面 ，
为 的中点，
是棱 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
20. (本小题满分12分)定圆 动圆 过点 且与圆 相切,记圆心 的轨迹为
(1)求轨迹 的方程；
(2)设点 在 上运动， 与 关于原点对称，且 ,当 的面积最小时，求直线 的方程.
21.(本小题满分12分)函数
(1)若函数 ，求函数 的极 值；
(2)若 在 恒成立，求实数 的取值范围.
请考生从第22、23、24题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形 是边长为 的正方形，以 为圆心， 为半径的圆弧与以 为直径的半圆 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．
(1)求证： 是 的中点；
(2)求线段 的长.
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,设曲线 参数方程为 ( 为参数)，直线 的极坐标方程为 .
(1)写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
(2)求曲线 上的点到直线 的最大距离，并求出这个点的坐标.
24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
设函数
(1) 当 时，求不等式 的解集；(2)若 对 恒成立，求 的取值范围.
河北省“五个一名校联盟”2016届高三教学质量监测
文科
数学（答案）
一、选择题：CBADB DBDCC DB
二、填空题： 13．25 14. 12 15. 50 16．②③④
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
函数 的最小正周期 ，函数 的最大值为1. .........5分
(2) 可得 .........7分
，由余弦定理可得： 10分
由正弦定理可得： .........12分
18.解：（1）
高三（1）班学生视力的平均值为 ,
故用上述样本数据估计
高三（1）班学生视力的平均值为 4.7． .........6分
（2）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有 15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：
（4.3，4.5）、（4.3，4.6）、（4.3，4.7）、（4.3，4.8）、（4.4，4.6）、（4.4，4.7）、
（4.4，4.8）、（4.5，4.7）、（4.5，4.8），（4.6，4.8），共有10个，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为 12分
19.证明：（1）连接 ，交 于 ，连接 ， 且 ，
即 ， ∴四边形 为平行四边形，且 为 中点，又因为点 是棱 的中点，∴ ，则 平面 . ....6分
（2） ，证明出 ⊥平面 ,
所以 到平面 的距离为 . .......9分
所以 ......12分
20.解：(1) 在圆 内， 圆 内切于圆
, 点 的轨迹 为椭圆，且
轨迹 的方程为 .........4分
(2)①当 为长轴（或短轴）时，此时 . ...5分
②当直线 的斜率存在且不为0时，设直线 方程为 ，
联立方程 得
将上式中的 替换为 ，得
9分
，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 面积最小值是 .
面积最小值是 ，此时直线 的方程为 或 12分
21.解：（I） ，定义域
由 得 , 由 得 , 在 递增,在 递减, 没有极小值. .........4分
（II）由 在 恒成立，整理得 在 恒成立,设 ,
则 , ............ 6分
时, ,且 , .........7分
时, ,设
在 递增,又 使得 时, , 时, ,
时, , 时, .
函数 在 递增, 递减, 递增, .............9分
又
， 时， ， ..............11分
,即 的取值范围是 ............12分
22.解：(1) 由以 为圆心 为半径作圆，而 为正方形， 为圆 的切线，
依据切割线定理，得
另外圆 以 为直径， 是圆 的切线，
同样依据切割线定理得
故AE=EB， 故E是AB中点 ..........5分
(2)∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得 ，
∵ABCD是边长为 的正方形，所以 .........10分
23.解：（1）曲线 的方程为 ，直线 的方程为 . 5分
（2）在 上任取一点
则点 到直线 的距离为 =
∴当 时， ，此时这个点的坐标为 10分
24.解:(Ⅰ) 等价于 或 或 ，
解得： 或 ．故不等式 的解集为 或 ． 5分
(Ⅱ)因为: ,
所以 ,由题意得： ， 解得 或 ． 10分
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