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河北省“五个一名校联盟”2016届高三教学质量监测
数学试卷（理科）
（满分：150分，测试时间：120分 钟）
第Ⅰ卷（60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.如图，已知 是实数集，集合
，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]
2.函数 的图象按向量 平移得到 的图象， 则 可以是（ ）
A． B． C． D．
3.已知命题 ： ；命题 ： ，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
4.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（ ）
A.232 B.252 C.472 D.484
5.向量 满足 ,则 与 的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6.如图程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的是（ ）
A． B． C． D．
7.在二项式 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，
则展开式的中间项的系数为（ ）
A.-960 B.960 C.1120 D.1680
8.已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 ，则过点 和 的直线的斜率是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9.函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
10.已知点 的坐标 过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，则 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．2
11.某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是 （ ）
A. B． C. D．
12.若 ,则 最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设复数 满足 （其中 为虚数单位），则 的模为_____.
14.在棱长为1的正方体 中， 分别是 的中点，点 在其表面上运动，则总能使 与 垂直的点 所构成的轨迹的周长等于 ．
15.古希腊的数学家研究过各种多边形数.记第 个 边形数为 （ ，以下列出了部分 边形数中第 个数的表达式：
三角形数
四边形数
五边形数
六边形数
……
可以推测 的表达式，由此计算 的值为________．
16.设椭圆 的右顶点为 、右焦点为 为椭圆 上在第二象限内的点，直线 交 于点 ，若直线 平分线段 ，则 的离心率是 ．
三、解答题：
17.（本小题满分12分）已知锐角 中内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，且 ．
（1）求角 的值； （2）设函数 ， 图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 的取值范围．
18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， 底面 ，其中 与 交于点 是 边上的点，且 ，已知
（1）求平面 与平面 所成锐二面角的正切值；
（2）若 是 上一点，且 平面 ， 求 的值．
19.（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下:
睡眠时间(小时) [4,5） [5,6） [6,7） [7,8） [8,9]
女生人数
男生人数
（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;
（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？
睡眠时间少于7小时 睡眠时间不少于7小时 合计
男生
女生
合计
（ ，其中 ）
20.（本小题满分12分）已知椭圆 的右焦点为 且 ,设短轴的一个端点为 ,原点 到直线 的距离为 ，过原点和 轴不重合的直线与椭圆 相交于 两点，且 . (1)求椭圆 的方程；
(2) 是否存在过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 且使得 成立？若存在，试求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数 ．
（1）若 在定义域内恒成立，求 的取值范围；
（2）当 取（1）中的最大值时，求函数 的最小值；
（3）证明不等式 ．
请考生从第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图⊙ 过平行四边形 的顶点 ,且与 相切,交 的延长线于点 .
(1)求证： ；(2) 是 的三等分点，且 ，求 .
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ，（ 为参数， ）．以 为极点， 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．写出圆心的极坐标，并求当 为何值时，圆 上的点到直线 的最大距离为3．
24.（本 小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求函数 的最小值 ；（2）若正实数 满足 ，求证： .
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理科数学答案
四、选择题：DDCCC BCACB DD
五、填空题:13. ； 14. ； 15.2490； 16.
三、解答题：
18.（本小题满分12分）
解析：（1）因为 ,由余弦定理知
所以 ,又因为 ,则由正弦定理得: ，
所以 ,又因为 所以 ...... 6分
（2） ，
由已知 ,则 ...... 8分
因为 , ,由于 ,所以 ，...... 10分
所以 ，所以 的取值范围是 ..... 12分
19.（本小题满分12分）
解析:（1）连接 并延长交 的延长线于 ，则 是平面 与平面 所成二面角的棱，过 作 垂直 于 ，连接 ．
∵ 平面 ，∴ ，
又 ， ∴ 平面 ， 平面 ，
∵ ， ， 面 ， 面 ∴ ，
∴ 是平面 与平面 所成锐二面角的平面角…（3分）
∵ ，
∴ ，又 ，∴ ∴ ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 …（6分）
（2）连接 并延 长交 于 ，连接
∵ 平面 ， 面 ，面 面 ∴
在 中∵ ，又 …（9分）
在梯形 中， ，∵ ∴ ，∴ …（1 2分）
另解：向量法.
19.（本小题满分12分）
解析：（1） 设事件A=“从睡眠不足6小时的女生中抽出3人，其中恰有一个为“严重睡眠不足”.........1分 . 所以 ......6分
(2)
睡眠少于7小时 睡眠不少于7小时 合计
男生 12 8 20
女生 14 6 20
合计 26 14 40
......8分
......10分
所以没有 的把握认为“睡眠时间与性别有关” .......12分
20.（本小题满分12分）
解 析：（1）由椭圆的对称性知： ,又原点O到直线DF的距离为 ， 又
故椭圆方程为 …………4分
（2）当直线 与 轴垂直时不满足条件……5分，故可设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得：
……7分
因为 ，即
所以 即
，
解得 ……10分,
故 .所以存在满足条件的直线 ，且其方程为 ……12分
21.（本小题满分12分）
解析：（1） 的定义域是 ，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增
∴ 依题意得， ，故 的取值范围 …3分
（2）当 时， ， 的定义域是
，
令
由（1）知， 的最小值是 递增，又
时， ， 递减，
当 时， ， 递增，∴ 7分
（3）由（2）得， 时，
，
令 ，则
…12分
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解析：(Ⅰ)证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.又AT 2＝AB*AD，所以AT 2＝BT*AD．......5分
(Ⅱ)取BC中点M，连接DM，TM．由(Ⅰ)知TC＝TB，所以TM⊥BC．因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．所以M，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．所以∠ABT＝∠DBT＝90°. 所以∠A＝∠ATB＝45°°. ...... 10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：由已知圆心O的直角坐标为 ，所以圆心O的极坐标为 ...2分直线 的直角坐标方程为 ，圆心O到 的距离 ，圆O上的点到直线 的距离的最大值为 解得 ......10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解析：（1）∵ ， ． ......5分
，
∴ . ......10分