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第3章第7课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则b等于( )
A．33 B.3
C.32 D．23
解析： 由正弦定理，得asin A＝bsin B，
∴b＝asin Bsin A＝3×3212＝33.
答案： A
2．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“a＜b”是使“cosA＞cosB”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析： a＜b⇔A＜B⇔cosA＞cosB.
答案： C
3．(2010•辽宁)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析： ∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－12ab，
∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－14＜0.
则△ABC是钝角三角形．故选A.
答案： A
4．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝π3，b＝1，△ABC的面积32，则a的值为( )
A．1 B．2
C.32 D.3
解析： 由已知得：12bcsinA＝12×1×c×sin60°＝32⇒c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3⇒a＝3.
答案： D
5．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为( )
A．4 B．2
C．1 D．不确定
解析： 由正弦定理asin A＝csin C，
得sinC＝csin Aa＝6×222＝32.
∵c＞a，∴C＞A＝45°，
∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.
答案： A
6．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为( )
A．22 B．82
C.2 D.22
解析： ∵asin A＝bsin B＝csin C＝2R＝8，
∴sinC＝c8，
∴S△ABC＝12absinC＝116abc＝116×162＝2.
答案： C
二、填空题
7．(2011•广东实验中学
高三第二次月考)设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则△ABC的面积为________．
解析： 由sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，
∴2cosC＝1.∴C＝60°.
又∵ab＝4，∴S△ABC＝12absinC＝12×4×sin60°＝3.
答案： 3
8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.
解析： 由(3b－c)cosA＝acosC，得(3b－c)•b2＋c2－a22bc＝a•a2＋b2－c22ab，即b2＋c2－a22bc＝33，
由余弦定理，得cosA＝33.
答案： 33
9．在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A、B、C的度数依次是________．
解析： 由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴2b2＝b2＋c2－2bccosA，
又c2＝b2＋2bc，
∴cosA＝22，A＝45°，sinB＝12，B＝30°，∴C＝105°.
答案： 45°，30°，105°
三、解答题
10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sinB•sinC＝sin2A，试判断△ABC的形状．
解析： (1)由已知得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，
又∠A是△ABC的内角，∴A＝π3.
(2)由正弦定理，得bc＝a2，
又b2＋c2＝a2＋bc，∴b2＋c2＝2bc.
∴(b－c)2＝0，即b＝c.∴△ABC是等边三角形．
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc.
(1)求角C的大小；
(2)如果a＋b＝6，CA→•CB→＝4，求c的值．?【解析方法代码108001043】
解析： (1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc，
所以sinC＝3cosC．所以tanC＝3.
因为C∈(0，π)，所以C＝π3.
(2)因为CA→•CB→＝|CA→|•|CB→|cosC＝12ab，又因为CA→•CB→＝4，所以ab＝8.
因为a＋b＝6，根据余弦定理，
得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12.
所以c的值为23.
12．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3b＝2asinB，且AB→•AC→＞0.
(1)求∠A的度数；
(2)若cos(A－C)＋cosB＝32，a＝6，求△ABC的面积．?【解析方法代码108001044】
解析： (1)∵3b＝2asinB，
∴由正弦定理知：3sinB＝2sinAsinB.
∵B是三角形内角，
∴sinB＞0，从而有sinA＝32.
∵AB→•AC→＞0，∴∠A＝60°.
(2)将B＝π－(A＋C)代入cos(A－C)＋cosB＝32得：
cos(A－C)－cos(A＋C)＝32，
利用两角和与差的余弦公式展开得：sinAsinC＝34，
∴sinC＝12，∠C＝30°，
由正弦定理得c＝23，∴△ABC的面积为63.
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