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2015—2016学年度第一学期期中学情分析
九年级数学试卷
一、填空题（每小题2分，共24分．）
１．已知 ，则 = ▲ ．
２．已知 是方程 的一个根，则 的值是 ▲ ．
３．已知线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ，则 ▲ ．
４．如图，在△ABC中，DE∥BC， ，则 = ▲ ．
５. 若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是 ▲ ．
６．已知 是一元二次方程 的两个根，则 等于 ▲ ．
７. 如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则 = ▲ ．
８．将代数式 x2+6x+3配方成(x+m)2+n的形式，则 = ▲ ．
９．若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为－1和 ，则 = ▲ ．
10．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与 旗杆相距22m，则旗杆的高为 ▲ m．
11．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的两倍，得到线段AB，则线段AB的中点E的坐标为
▲ ．
12．若m，n是方程 的两个实数根，则 的值为 ▲ ．
二、选择题（本大题共有5小题，每小题2分，共10分．）
13．一元二次方程 的根是
A．－1 B．0 C．1和2 D. －1和2
14．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是
A． ＜－1 B． ＞1
C． ＞－1且 ≠0 D． ＜－1且 ≠0
15. 下列条件不能判定△ABC与△DEF相似的是
A． B． ,
C．∠A=∠D，∠B=∠E D． ，∠B=∠E
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，
若 ,则 的值等于
A．1∶5 B． 1∶9 C．1∶12 D．1∶16
17．有两个一元二次方程M： ；N： ，其中 ．下列四个结论中：
①如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根；
②如果 ，方程M、 N都有两个不相等的实数根；
③如果2是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根；
④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
正确的个数有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
三、解答题（本大题共有10题，共66分．）
18．解下列方程（本题满分15分，每小题5分）
（1） （2）
（3）
19．（本题6分）如图， ∥ ∥ ，AB=3，BC=5，D F=12，求DE和EF的长。
20．（本题6分）已知关于 的方程
（1）若该方程的一个根为 1，求 的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），
B（－1，4），C（－3，2）．
（1）以原点O为位 似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A1B1C1；写出C1点的坐标为 ▲ ；
（2）如果点D（m，n）在线段CB上，请直接写出经过（1）的变化后点D的对应点D1的坐标( ▲ ) (仅用含字母m的代数式表示)．
22．（本题6分)为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案.已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC=2米，CD=6米，求树ED的高．
23．( 本题6分)等腰三角形边长分别为a、b、2，且a，b是关于x的一元二次方程 的两根，求n的值．
24．(本题6分) 如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．
EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM；
（2）若DB=9，求BM．
25．（本题6分）某校园商店经销甲、乙两种文具． 现有如下信息:
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种文具的零售单价分别为 ▲ 元和 ▲ 元．（直接写出答案）
（2）该校园商店平均每天卖出甲文具50件和乙文具120件．经调查发现，甲种文具零售单价每降0.1元，甲种文具每天可多销售10件．为了降价促销，使学生得到实惠，商店决定把甲种文具的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当 m定为多少时，可以使商店每天销售甲、乙两种文具获取的利润保持不变？
26．（本题9分）
（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．
求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB向点B运动，且 满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当 DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．
九年级数学期中试卷参考答案
一、填空题
1． 2．3 3．6 4． 5． ； 6．1 7． 8．9 9．3 10．12
11.（7,4） 12．1．
二、选择题（每题2分）
13.D 14.C 15 .B 16.C 17.B
三、解答题
18：（1）方程两边同时加1得： (2分 )
（3分）所以: （5分）
（2）原方程可化为： （2分） （3分）
所以： （5分）
（3）原方程可化为 ，
， （2分）
（5分）
19. ∵ ∥ ∥ ，∴AB：BC=DE：EF，（2分）∵AB=3，BC=5，DF=12，
∴3：5=DE：（12-DE），（4分）∴DE=4.5，（5分）∴EF=12-4.5=7.5．（6分）
20. （1）将x=1代入方程 得，1+ + -2=0，解得， = ；（1分）
方程为x2+ x- =0，即2x2+x-3=0，设另一根为x1，则1•x1=- ，x1=- ．（3分）
（2）∵△= 2-4（ -2）（4分）= 2-4 +8= 2-4 +4+4=（ -2）2+4（5分）＞0，
∴不论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根（6分）．
21. （1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，（3分）；
C1（-6，4）．（4分）
（2） D( ) （6分，）
22.如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G,
由题知，FG//EH, △AFG∽△AEH， (2分)
又因为AG=BC=2,AH=BD=2+6=8,FG=FC-GC=3.2 -1.6=1.6，
所以 ,(3分 )，EH= 6.4，(4分)，
E D=EH+HD=6.4+1.6=8 （5分）树ED的高为8米（6分）
23. ∵三角形是等腰三角形，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，∴x=2，
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，（1分）
当n=9，方程的两根是2和4，（2分）而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，（3分）
②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0（4分）
解得：n=10（5分） 此时a=b=3，适合题意 综上所述，n=10（6分）
24. （1）证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点且AB=2CD，
∴BE=CD．∵AB∥CD，∴四边形BEDC是平行四边形（1分）．∴DE∥BF（2分）．
∴△EDM∽△FBM（3分）．
（2）△EDM∽△FBM，∴ （4分），∴DM=2BM．∵BD=DM+BM=9，
∴BM=3（6分）．
25. （1）甲、乙零售单价分别为2元和3元；（2分）
（2） （4分）即 ，
解得m= 0.5或m=0（舍去）（5分）答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共170元。（6分）
26. （1）证明：如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP =∠BPC．（1分）
∴△ADP∽△BPC．（2分）∴ （3分）即AD•BC=AP•BP．
（2）结论AD•BC=AP•BP 仍成立．（4分）
理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC．
又∵∠BPD=∠A+∠ADP．∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP．
∵∠DPC =∠A=θ．∴∠BPC =∠ADP（5分）．
又∵∠A=∠B=θ．∴△ADP∽△BPC．∴
∴AD•BC=AP•BP．（6分）
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．∵AD=BD=5，AB=6．
∴AE=BE=3．由勾股定理得DE=4．（7分）
∴DC=DE=4．∴BC=5-4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B．
由已知，∠DPC =∠A，∴∠DPC =∠A=∠B．由（1）、（2）的经验可知
AD•BC=AP•BP．（8分）
又AP=t，BP=6-t，∴t（6-t）=5×1．解得t1=1，t2=5．（9分）
∴t的值为 1秒或5秒．