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2011届高考数学第一轮巩固与练习题巩固
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
答案：A
2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则F＝E＝0且D＜0是⊙C与y轴相切于原点的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－，0)，而D可以大于0，故选A.
3.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：选B.设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π，故选B.
4．(2009年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是________．
解析：将直线x＋y＝6化为x＋y－6＝0，圆的半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝
5．(原创题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
解析：圆的方程变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1.
答案：(－∞，1)
6．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
∵P点在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
练习
1．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：选C.设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.
∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.
由|CA|2＝|CB|2得
(a－1)2＋(b＋1)2＝(a＋1)2＋(b－1)2，
即(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，
解得a＝1，b＝1，∴r＝|CA|＝＝2.
即所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
2．若曲线x2＋y2＋a2x＋(1－a2)y－4＝0关于直线y－x＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a为( )
A．± B．±
C.或－ D．－或
解析：选B.由题意知，圆心C(－，)在直线y－x＝0上，∴＋＝0，∴a2＝，∴a＝±.故选B.
(注：F＝－4＜0，不需验D2＋E2－
4F＞0)
3．(2009年高考上海卷)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：选A.设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
则代入x2＋y2＝4得
(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
4．(2009年高考辽宁卷)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a，－a)，则＝，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
5．(2008年高考山东卷)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－)2＋(y－1)2＝1
解析：选B.设圆心坐标为(a，b)，则，又b>0，故b＝1，由|
4a－3|＝5得a＝2或a＝－，又a>0，故a＝2，所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.(采用检验的方法也可以)
6．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是( )
A．4 B．5
C．3－1 D．2
解析：选A.圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径r＝1.点A(－1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因A′在反射线上，所以最短距离为|A′C|－r，即－1＝4.
7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________．
解析：将方程配方，得(x＋)2＋(y＋1)2＝－k2＋1.
∴r2＝1－k2>0，rmax＝1，此时k＝0.
∴圆心为(0，－1)．
答案：(0，－1)
8.圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．
数学数学人教A版(文)课件8-13.TIF">解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.
答案：x2＋y2＝36
9．一个等腰三角形底边上的高等于4，底边两端点的坐标是(－3,0)，(3,0)，则它的外接圆方程是________．
解析：底边端点关于原点对称，
所以底边的中垂线方程为x＝0，①
底边上的高等于4，说明第三个顶点的坐标为(0,4)或(0，－4)．
一腰的中垂线方程为y－2＝(x－)或y＋2＝－(x－)，②
方程①②联立得圆心坐标为(0，)或(0，－)，
半径为＝，
所求圆的方程为x2＋(y＋)2＝或x2＋(y－)2＝.
答案：x2＋(y＋)2＝或x2＋(y－)2＝
10．求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程．
解：法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝5.
∵点A，B在圆上，所以可得到方程组：
，解得a＝3，b＝±1.
∴圆的标准方程是(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
法二：由A、B两点在圆上可知线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上，于是可设圆心为C(3，b)，又|AC|＝，即＝，解得b＝1或b＝－1.
因此，所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5或(x－3)2＋(y＋1)2＝5.
11．圆C通过不同的三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则k、2为x2＋Dx＋F＝0的两根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，
即D＝－(k＋2)，F＝2k，
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.
∴E＝－2k－1.
故所求圆的方程为
x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圆心坐标为(，)．
∵圆C在点P处的切线斜率为1，
∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.
12．已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1)证明：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，
由于圆心C(t，)，∴D＝－2t，E＝－，
令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，∴A(2t,0)，
令x＝0得y＝0或y＝－E＝，∴B(0，)，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·||＝4(定值)．
(2)∵OM＝ON，
∴O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C, ∴kOC＝，
∴＝，解得t＝2或t＝－2，
而当t＝－2时，直线与圆C不相交，∴t＝2，
∴D＝－4，E＝－2，
∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0
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