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2011届高考数学第一轮巩固与练习题巩固
1．(2008年高考陕西卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2
C. D.
解析：选D.由正弦定理得＝，
∴sinC＝.
又∵C为锐角，∴C＝30°，∴A＝30°，
△ABC为等腰三角形，a＝c＝.故选D.
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选D.由已知得：bcsinA＝×1×c×sin60°＝⇒c＝2，则由余弦定理可得：a2＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3⇒a＝.
3．在△ABC中，cos2B>cos
2A是A>B的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.cos2B>cos
2A⇒1－2sin2B>1－2sin
2A⇒sin2B<sin
2A⇒sinA>sinB⇒A>B.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b2＋c2－a2)，则∠A＝________.
解析：由已知得：bcsinA＝(b2＋c2－a2)⇒＝sinA，由余弦定理可得cosA＝sinA⇒A＝.
答案：
5．(原创题)在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a＋b＋c＝＋1，sinA＋sinB＝sinC，则c＝________；若C＝，则△ABC的面积S＝________.
解析：依题意及正弦定理得a＋b＝c，且a＋b＋c＝＋1，
因此c＋c＝＋1，c＝1，
当C＝时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝1，
∴(a＋b)2－3ab＝1.
又a＋b＝，因此2－3ab＝1，
∴ab＝，
则△ABC的面积S＝absinC＝×sin＝.
答案：1
6．(2009年高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a的值．
解：(1)因为cos＝，
所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.
又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5.
因此S△ABC＝bcsinA＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2.
练习
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，又a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
又由c＝
2a，∴cosB＝
＝＝＝.
2．(2008年高考四川卷)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a＝b，A＝2B，则cosB＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B.由正弦定理＝，又∵a＝b，A＝2B，
∴＝，b≠0，sinB≠0，
∴＝1，∴cosB＝.故选B.
3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
2c2＝
2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
解析：选A.∵
2c2＝
2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，
∴cosC＝＝－<0.
所以△ABC是钝角三角形．故选A.
4.在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝a，B＝30°，那么C等于( )
A．120° B．105°
C．90° D．75°
解析：选A.依题意由正弦定理得sinC＝sinA，又B＝30°，∴sinC＝sin(150°－C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝cosC，∴tanC＝－.又0°<C<180°，因此C＝120°.
5．满足A＝45°，c＝，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为( )
A．4 B．2
C．1 D．不确定
解析：选A.由正弦定理＝
得sinC＝＝＝.
∵c>a，∴C>A＝45°，
∴C＝60°或120°，
∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2＋c2－bc＝a2，且＝，则角C的值为( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：选C.由b2＋c2－bc＝a2得b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝60°.
又＝，∴＝，
∴sinB＝sinA＝×＝，
∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.
7．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝________.
解析：由正弦定理知＝，∴AC＝·BC＝·12＝·12＝·4＝4.
答案：4
8．在△ABC中，若AB＝3，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则BC等于________．
解析：根据三角形内角和定理知
∠BAC＝180°－75°－60°＝45°.
根据正弦定理得＝，
即＝，∴BC＝＝＝.
数学数学三、四、五章4-28.TIF">答案：
9．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
解析：如图由余弦定理得：cosB＝＝⇒
B＝，故AD＝ABsin＝2×＝.
答案：
10．已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sinB＝sinC.
(1)求边AB的长；
(2)若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．
解：(1)由题意及正弦定理，得
AB＋BC＋AC＝＋1.
BC＋AC＝AB，
两式相减，得AB＝1.
(2)由△ABC的面积＝BC·AC·sinC＝sinC，
得BC·AC＝.
由余弦定理，得cosC＝
＝＝，
∴C＝60°.
11．(2009年高考全国卷Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝，b2＝ac，求B.
解：由cos(A－C)＋cosB＝及B＝π－(A＋C)得
cos(A－C)－cos(A＋C)＝，
cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝，
sinAsinC＝.
又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，
故sin2B＝，
sinB＝或sinB＝－(舍去)，
于是B＝或B＝.
又由b2＝ac知b≤a或b≤c，
所以B＝.
12.△ABC中，角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且a(cosB＋cosC)＝b＋c.
(1)求证：A＝；
(2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC周长的取值范围．
解：(1)证明：∵a(cosB＋cosC)＝b＋c
∴由余弦定理得a·＋a·＝b＋c.
∴整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
∵b＋c>0，∴a2＝b2＋c2.故A＝.
(2)∵△ABC外接圆半径为1，A＝，∴a＝2.
∴b＋c＝2(sinB＋cosB)＝2sin(B＋)．
∵0<B<，∴<B＋<，∴2<b＋c≤2.
∴4<a＋b＋c≤2＋2，
故△ABC周长的取值范围是(4,2＋2]
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