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2011届高考数学第一轮巩固与练习题巩固
1．(原创题)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4 B．－4<a<4
C．a≥4或a≤－4 D．a<－4或a>4
解析：选D.x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.
2．(2009年高考山东卷)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋
2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析：选B.∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x2＋x－2<0.∴－2<x<1.
3．(2010年上海市十四校高三联考)设全集为实数集R，已知非空集合S，P相互关系如图所示，其中
S＝{x|x>10－a2}，
P＝{x|5－
2a<x<
3a}，
则实数a的取值范围是( )
A．－5<a<2 B．1<a<2
C．1<a≤2 D．－5≤a≤2
解析：选C.由题图可知，S∩P＝∅，S≠∅，P≠∅，从而∴1<a≤2.故选C.
4．不等式0<x2－x－2<4的解集是________．
解析：原不等式相当于不等式组
不等式①的解集为{x|－2<x<3}，
不等式②的解集为{x|x<－1或x>2}．
因此原不等式的解集为{x|x<－1或x>2}∩{x|－2<x<3}＝{x|－2<x<－1或2<x<3}．
答案：{x|－2<x<－1或2<x<3}
5．a<0时，不等式x2－2ax－
3a2<0的解集是________．
解析：∵x2－2ax－
3a2＝0，
∴x1＝
3a，x2＝－a.
又a<0，
∴不等式的解集为{x|
3a<x<－a}．
答案：{x|
3a<x<－a}
6．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}，求a的值．
解：∵不等式解集为{x|－3<x<1}，
∴1－a<0，∴a>1.
令(1－a)x2－4x＋6＝0，则－3,1为方程的两根．
代入方程得，
∴a＝3，满足a>1，
∴a＝3.
练习
1．不等式x(x－a＋1)>a的解集是{x|x<－1或x>a}，则( )
A．a≥1 B．a<－1
C．a>－1 D．a∈R
解析：选C.x(x－a＋1)>a⇔(x＋1)(x－a)>0，
∵解集为{x|x<－1或x>a}，∴a>－1.
2．(2009年高考天津卷)设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：选A.f(1)＝12－4×1＋6＝3，当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；当x<0时，x＋6>3，解得－3<x<0.
3．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选A.由于ax>b的解集为(1，＋∞)，故有a>0且＝1，又>0⇔(ax＋b)(x－2)＝a(x＋1)(x－2)>0⇔(x＋1)(x－2)>0，故不等式解集为A.
4.(2009年高考安徽卷)若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B是( )
A．{x|－1<x<－或2<x<3}
B．{x|2<x<3}
C．{x|－<x<2}
D．{x|－1<x<－}
解析：选D.∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3.
∴－1<x<2.
又∵<0，
∴(2x＋1)(x－3)>0，
∴x>3或x<－.
∴A∩B＝{x|－1<x<－}．
5．设函数f(x)＝，已知f(a)>1，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2)∪(－，＋∞) B．(－，)
C．(－∞，－2)∪(－，1) D．(－2，－)∪(1，＋∞)
解析：选C.a≤－1时，(a＋1)2>1，
∴a<－2或a>0，故a<－2；
－1<a<1时，2(a＋1)>1.
∴a>－，故－<a<1；
a≥1时，－1>1无解．
综上，a的取值范围是(－∞，－2)∪(－，1)，故选C.
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为
{x|－3<x<1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )
解析：选B.由题意可知，函数f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，与x轴的交点是(－3,0)，(1,0)，
又y＝f(－x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故只有B符合．
7．(2010年临沂模拟)若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．
解析：令f(x)＝x2＋ax＋a2－1，
∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，
则只需f(0)<0，即a2－1<0，∴－1<a<1.
答案：－1<a<1
8．当a>0时不等式组的解集为________．
解析：由画数轴讨论便得．
答案：当a>时为∅；当a＝时为{}；
当0<a<时为[a,1－a]
9．若不等式a<2x－x2对于任意的x∈[－2,3]恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知不等式a<－x2＋2x对任意x∈[－2,3]恒成立，令f(x)＝－x2＋2x，x∈[－2,3]，
可得当x＝－2时，f(x)min＝f(－2)
＝－(x－1)2＋1＝－8，
∴实数a的取值范围a∈(－∞，－8)．
答案：(－∞，－8)
10．解下列不等式．
(1)19x－3x2≥6；
(2)x＋1≥.
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点(，0)和(6,0)．
所以原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0
⇒(3x－1)(x－6)≤0⇒(x－)(x－6)≤0.
∴原不等式的解集为{x|≤x≤6}．
(2)原不等式可化为x＋1－≥0⇒≥0
⇒≥0⇒
如图所示，原不等式的解集为{x|-2≤x<0，或x≥1}．
11.设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
解：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0；
若m≠0，则⇒－4<m<0.
∴－4<m≤0.
(2)当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
当m>0时，由于f(1)＝－1<0，要使f(x)<0在x∈[1,3]上恒成立，只要f(3)<0即可．
即
9m－
3m－1<0得m<，即0<m<；
当m<0时，若Δ<0，由(1)知显然成立，此时－4<m<0；若Δ≥0，则m≤－4，由于函数f(x)<0在x∈[1,3]上恒成立，只要f(1)<0即可，此时f(1)＝－1<0显然成立，综上可知：m<.
12．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速
40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过
12 m，乙车的刹车距离略超过
10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
解：由题意列出不等式组
分别求解，得
由于x>0，从而可得
x甲>
30 km/h，x乙>
40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任
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