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2013-2014学年度第一学期高中教学质量监测（段考）
高三年级数学科试题（文科）
（时间：120分钟，满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A． 是最小正周期为1的奇函数 B． 是最小正周期为1的偶函数
C． 是最小正周期为2的奇函数 D． 是最小正周期为2的偶函数
3．满足 的一组 、 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．设变量x、y满足约束条件 则目标函数 的最小值是（ ）
A．－7 B．－4 C．1 D．2
5．设函数 在（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若向量 ， 且 ∥ 则实数k=（ ）
A． B．－2 C． D．
7．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若A=60º，B=75º，C=10，则b=（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，设 其大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．在△OAB中（O为坐标原点）， ， ，若 =－5，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中错误的是（ ）
A．命题“若p则q”与命题“若¬q则¬p”互为逆否命题
B．命题 ，命题 ， 为真
C．“若 ”，则 的逆命题为真命题
D．若 为假命题，则p、q均为假命题
11．若点P是函数 上任意一点，则点P到直线 的最小距离为（ ）
A． B． C． D．3
12．关于x的方程 在区间 上解的个数为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
第II卷
二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分）
13．函数 且在 上， 是减函数，则n= .
14．若 在 处的切线与x轴平行，则此切线方程是 .
15．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c若△ABC的面积 ，则 （ ）
16．如图直角三角形ABC中， ，点E1F分别在CA、
CB上，EF∥AB， ，则 =
三、解答题
17．（本题满分12分）已知函数
（I）求 的单调减区间
（II）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c且满足 ，求 的取值范围.
18．（本题满分12分）
已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c，且
（I）求 的值.
（II）若C=2，求△ABC面积的最大值.
19．（本题满分12分）
甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品，（生产条件为 ），每一小时可获得利润是 元.
（I）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围.
（II）要使生产90千克该产品获得的利润最大，甲厂应选取何种生产速度？并求此最大利润.
20．（本题满分12分）
已知函数
（I）求函数 的解析式.
（II）对于 、 ，求证
21．（本题满分12分）
已知函数
（I）当b=3时，函数在 上既存在极大值，又有在极小值，求t的取值范围.
（II）若 对于任意的 恒有 成立，求b的取值范围.
四、选考题（10分）
请考生在第22、23、24题任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，设C为线段AB的中点，BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD为半径的圆与AB及其延长线交于点H及K.
（I）求证： .
（II）若圆B半径为2，求 的值.
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，动点 运动时， 与 成反比，动点P的轨迹经过点（2,0）
（I）求动点 的轨迹其极坐标方程.
（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点P轨迹是何种曲线.
24．选修4-5：不等式选讲
（I）解不等式
（II） ，证明：
一、选择题：BDCAB AACDC AB
二、填空题
13、1或2 14、 15、4 16、－5
17、解：（I） …………3分
得 的单调减区间 …………6分
（II）∵ 由正弦定理得
∴
∴ …………8分
又∵A、C均为锐角 ∴ …………10分
…………12分
18、解：（I） …………2分
∴ ………6分
（II） 且c=2
又 ∴ …………8分
∴ …………10分
△ABC面积最大值为 …………12分
19、解：（I）依题题得
∴要使该产品2小时获利不低于3000元，x取值范围[3，10] ……6分
（II）设生产此产品获得利润为y元
………8分
…………9分
当 时 （元）
甲厂应造生产速度为6千克/小时时获得最大利润45750元。 ……12分
20、解：（I）
…………6分
（II）由（I）
得 …………7分
与 在[0,3]上的情况如下
x 0 (0,2) 2 (2,3) 3
— 0 +
1 ↘ －9 ↗
…………9分
∴ …………12分
21、解：（I）b=3时
由 得 …………1分
当 或 时
时
故得 在 时取得极大值，在 时取得极小值，函数在 上既能取到最大值又能取得最小值只须
∴t取值范围为(-1,0)
（II） 对于任意的 上恒成立
即 对任意的 上恒成立
上恒成立 …………7分
在 上为增函数
时 有最小值
∴b取值值围为 …………12分
22、（I）证明：连结DH、DK，别，DH⊥DK …………2分
Rt△DHC∽Rt△KDC
∵DC=BC ∴ …………5分
（II）连结AD则AC=CD=BC ∴AB⊥BD，AD=BD=2 …………7分
AD为圆B切线
∴ …………10分
23、解：（I）设
则 …………5分
（II）
…………7分
∴
P点轨迹是开口向下，顶点为（0,1）的抛物线 …………10分
24、解：（I） …………2分
或 或
得不等式解为 …………5分
（II）证明：