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昌平区2013-2014学年第一学期初二年级期末质量抽测
数学试卷 （120分，120分钟） 2014．1
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．?
1．下面所给的图形中， 不是轴对称图形的是
2．下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．点P（2，-3）关于y轴的对称点是xK b1 .C o m
A．（2，3） B．（2，-3） C．（-2，3） D．（-2，-3）
4．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是
A． B．
C． D．
5． 若分式 的值为0，则x的值为
A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2
6. 下列各式中，正确的是
A． B． C． D．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若BC=4cm，BD=5cm，则点D到AB的距离是
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
8．如图，从边长为a +1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是
A． 2 B． 2a C． 4a D． a2﹣1
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．二次根式 中，x的取值范围是 ．
10．等腰三角形两边长分别为6和8，则这个等腰三角形的周长为 ．
11．已知 ，那么 的值为 ．
12．如图，OP=1，过P作 且 ，根据勾股定理，得 ；
再过 作 且 =1，得 ；又过 作 且
，得 2；…；依此继续，得 ， （n为自然数，且n＞0）．
三、解答题（共6 道小题，每小题5分，共 30 分）
13．计算： - ．
14．分解因式：ax2–2ax + a．
15．计算： ．
16．已知：如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE =∠BCD．求证：AD=BE．
17．解方程： ．
18．已知x2=3，求（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2的值．
四、解答题（共 4 道小题，每小题5分，共 20 分）
19．如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．
20．如图1，已知三角形纸片ABC，AB=AC，∠A = 50°，将其折叠，如图2，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，求∠DBC的大小．
21．甲、乙两人分别从距目的地6公里和12公里的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前10分钟达到目的地．求甲、乙的速度．
22．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB=∠B，若AC=10，AB=26，求AD的长．
五、解答题（共3道小题，23，24小题每题7分，25小题8分，共 22 分）
23．如图，四边形ABCD中，AD=2，∠A =∠D = 90°，∠B = 60°，BC=2CD．
（1）在AD上找到点P，使PB+PC的值最小．保留作图痕迹，不写证明；
（2）求出PB+PC的最小值．
24．如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且FD=BD．
（1）求证∠B+∠AFD=180°；
（2）如果∠B+2∠DEA=180°，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．
25．已知A (-1，0)，B (0，-3)，点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E．
（1）若点D ( 0，1)， 过点B作BFCD于F，求DBF的度数及四边形ABFD的面积；
（2）若点G（G不与C重合）是动直线CD上一点，点D在点（0，1）的上方，且BG=BA，试探究ABG与ECA之间的等量关系.
昌平区2013—2014学年第一学期初二年级质量监控
数学试卷参考答案及评分标准 2014．1
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D D C A B C C
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题 号 9 10 11 12
答 案 x≥-2 20或22 4 ，
三、解答题（共6 道小题，每小题5分，共 30 分）
13．解：原式= ……………………………………………… 4分
= ． ……………………………………… 5分
14．解：原式=a(x2-2x+1) ………………………………………… 2分
=a(x -1)2 ． ………………………………………………… 5分
15．解：原式= ……………………………………… 2分
= ……………………………………… 3分
= …………………………………………… 4分
= ． …………………………………… 5分
16．证明：∵ C是线段AB的中点，
∴ AC=BC． ……………………… 2分
∵ ∠ACE =∠BCD，
∴ ∠ACD=∠BCE． ……………………………………… 3分
∵ ∠A=∠B，
∴ △ADC≌△BEC． ……………………… 4分
∴ AD = BE． ……………………………………………………………… 5分
17．解： 2(x+2)+x(x+2)=x2 ………………………………………………………… 2分
2x+4+x2+2x=x2
4x=-4． …………………………………………………………… 3分
x=-1． ……………………………………………………… 4分
经检验x=-1是原方程的解． ………………………………………… 5分
∴ 原方程的解为x =-1．
18．解：原式=4x2-9-4x2+4x+x2-4x+4 ……………………… 3分
=x2-5． ……………………………………… 4分
当x2=3时，原式=3-5=-2． ………………………………… 5分
四、解答题（共 4 道小题，每小题5分，共 20 分）
19．解：画出一种方法，给2分，画出两种方法给5分．
20．解：∵ △ABC中，AB=AC，∠A = 50°，
∴ ∠ABC =∠C=6 5°. ……………… 2分
由折叠可知：∠ABD =∠A=50°. ……………… 4分
∴ ∠DBC=6 5°-50°=15°. ……………… 5分
21．解：设甲、乙两人的速度分别为每小时3x千米和每小时4x千米． ………………………… 1分
根据题意，得 ． ……………………………… 3分
解这个方程，得 x=6． ……………………………… 4分
经检验：x=6是所列方程的根，且符合题意．
∴ 3x=18，4x=24．
答：甲、乙两人的速度分别为每小时18千米和每小时24千米． ……………… 5分
22．解：如图，延长CD交AB于点E. ……………… 1分
∵ AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，
∴ ∠EAD= ∠CAD，∠ADE=∠ADC =90°.
∴ ∠AED=∠ACD. ……………… 2分
∴ AE=AC.
∵ AC=10，AB=26，
∴ AE=10，BE=16. ……………… 3分
∵ ∠DCB=∠B，
∴ EB= EC=16.
∵ AE= AC ，CD⊥AD，
∴ ED= CD=8. ……………………………………………… 4分
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∴ = =6． ……………………………………… 5分
五、解答题（共3道小题，23，24小题每题7分，25小题8分，共 22 分）
23．解：（1）如图，延长CD到点E使DE=CD，连接BE交AD于点P． ……………… 2分
PB+PC的最小值即为BE的长．
（2）过点E作EH⊥AB，交BA的延长线于点H．
∵ ∠A =∠ADC = 90°，
∴ CD∥AB．
∵ AD=2，
∴ EH=AD=2． ……………… 4分
∵ CD∥AB，
∴ ∠1=∠3．
∵ BC=2CD,CE=2CD，
∴ BC= CE．
∴ ∠1=∠2．
∴ ∠3=∠2．
∵ ∠ABC = 60°，
∴ ∠3=30°． ……………… 6分
在Rt△EHB中，∠H=90°，
∴ BE=2HE=4． ………………………………………………… 7分
即 PB+PC的最小值为4．
24．解：（1）在AB上截取AG=AF．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD=∠DAG．
又∵AD=AD，
∴△AFD≌△AGD．
∴∠AFD=∠AGD，FD=GD．
∵FD=BD，
∴BD=GD，
∴∠DGB=∠B，
∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°． ………………………………………………… 4分
（2）AE= AF+FD． ………………………………………………… 5分
过点E作∠DEH=∠DEA，点H在BC上．
∵∠B+2∠DEA=180°，
∴∠HEB=∠B．
∵∠B+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠AGD=∠GEH，
∴GD∥EH．
∴∠GDE=∠DEH=∠DEG．
∴GD=GE．
又∵AF=AG，
∴AE=AG+GE=AF+FD． ………………………………………………… 7分
25．解：（1）如图1，依题意，C（1，0），OC＝1.
由D（0，1）,得OD＝1.
在△DOC中，∠DOC＝90°，OD＝OC＝1.
可得 ∠CDO＝45°. …………………1分
∵ BF⊥CD于F，
∴ ∠BFD＝90°.
∴ ∠DBF＝90°-∠CDO =45°. …………………2分
∴ FD=FB。
由D（0，1）, B（0，-3）,得BD＝4.
在Rt△DFB中，∠DFB=90°，根据勾股定理，得
∴ FD=FB=2 ．
∴ .
而 ,
四边形ABFD的面积=4+2=6. …………………5分
（2）如图2，连接BC.
∵ AO=OC，BO⊥AC，
∴ BA=BC.
∴ ∠ABO=∠CBO.
设 ∠CBO=，则∠ABO=，∠ACB=90-.
∵ BG=BA，
∴ BG=BC.
∵ BF⊥CD，
∴ ∠CBF=∠GBF.
设∠CBF=，则∠GBF=，∠BCG＝90-.
∵ ∠ABG=
∠ECA=
∴ ∠ABG=2∠ECA. ……………………8分