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2015年广东省初中毕业生学业考试
数 学
一、选择题
1.
A.2 B. C. D.
【答案】A.
【解析】由绝对值的意义可得，答案为A。
2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
13 573 000= ；
3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是
A.2 B.4 C.5 D.6
【答案】B.
【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为4，选B。
4. 如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是
A.75° B.55° C.40° D.35°
【答案】C.
【解析】两直线平行，同位角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以，
75°＝∠2＋∠3，所以，∠3＝40°，选C。
5. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形 的是
A.矩形 B.平行四边形 C.正五边形 D.正三角形
【答案】A
【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
6.
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】原式＝ ＝
7. 在0，2， ， 这四个数中，最大的数是
A.0 B.2 C. D.
【答案】B.
【解析】（－3）0＝1，所以，最大的数为2，选B。
8. 若关于 x的方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】△＝1－4（ ）＞0，即1＋4 －9＞0，所以，
9. 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】D.
【解析】显然弧长为BC＋CD的长，即为6，半径为3，则 .
10. 如题10图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设 △EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是
【答案】D.
【解析】根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，
故BE=CF=AG=2-x；故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．
在△AEG中，AE=x，AG=2-x，
则S △AEG = AE×AG×sinA= x（2-x）；
故y=S △ABC -3S △AEG = －3 x（2-x）＝ （3x 2 -6x+4）．
故可得其图象为二次函数，且开口向上，选D。
二、填空题
11. 正五边形的外角和等于 （度）.
【答案】360.
【解析】 n边形的外角和都等于360度。
12. 如题12图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是 .
【答案】6.
【解析】三角形ABC为等边 三角形。
13. 分式方程 的解是 .
【答案】 .
【解析】去分母，得：3x＝2x＋2，解得：x＝2。
14. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 .
【答案】4 ：9.
【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方。
15. 观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 .
【答案】 .
【解析】分母为奇数，分子为自然数，所以，它的规律为： ，将n＝10代入可得。
16. 如题16图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若 ，则图中阴影 部分面积是 .
【答案】4.
【解析】由中线性质，可得AG=2GD，则 ，∴阴影部分的面积为4；其实图中各个单独小三角形面 积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的.
三、解答题（一）
17. 解方程： .
【解析】
∴ 或
∴ ，
18. 先化简，再求值： ，其中 .
【解析】原式=
=
当 时，原式= .
19. 如题19图，已知锐角△ABC.
(1) 过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2) 在(1)条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD= ，求DC的长.
【解析】(1) 如图所示，MN为所作；
(2) 在Rt△ABD中，tan∠BAD= ，
∴ ，
∴BD=3，
∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2.
四、解答题（二）
20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的 卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上 的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的 方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，题 20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.
(1) 补全小明同学所画的树状图；
(2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.
【解析】(1) 如图，补全树状图；
(2) 从树状图可知，共有9种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有4种结果，
∴P(积为奇数)=
21. 如题21图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延 长交BC于点G，连接AG.
(1) 求证：△ABG≌△AFG；
(2) 求BG的长.
【解析】(1) ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
由折叠的性质可知
AD=AF，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，AB=AF，
∴∠AFG=∠B，
又AG=AG，
∴△ABG≌△AFG；
(2) ∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG= ，则GC= ,
∵E为CD的中点，
∴CF=EF=DE=3，
∴EG= ，
∴ ，
解得 ，
∴BG=2.
22. 某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润 120元.
(1) 求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）
(2) 商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的 计算器多少台？
【解析】(1) 设A，B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，得：
，解得x=42,y=56，
答：A，B两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；
(2) 设最少需要购进A型号的计算a台，得
解得
答：最少需要购进A型号的计算器30台.
五 、解答题（三）
23. 如题23图，反比例函数 ( ， )的图象与直线 相交于点C，过直线上点A(1，3)作 AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD.
(1) 求k的值；
(2) 求点C的坐标；
(3) 在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.
【解析】(1) ∵A(1，3)，
∴OB=1，AB=3，
又AB=3BD，
∴BD=1，
∴B(1，1)，
∴ ；
(2) 由(1)知反比例函数的解析式为 ，
解方程组 ，得 或 （舍去），
∴点C的坐标为( ， )；
(3) 如图，作点D关于y轴对称点E，则E( ,1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.
设直线CE的解析式为 ，则
，解得 ， ，
∴直线CE的解析式为 ，
当x=0时，y= ，
∴点M的坐标为(0， ).
24. ⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过 的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG， CP，PB.
(1) 如题24﹣1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2) 如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
(3) 如题24﹣3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH ⊥AB.
【解析】(1) ∵AB为⊙O直径， ，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，
∵D为OP的中点，
∴OD= ，
∴cos∠BOD= ，
∴∠BOD=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
(2) 由（1）知，CD=BD，
∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，
∴△PDB≌△CDK，
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
又∠G=∠OBP，
∴AG∥CK，
∴四边形AGCK是平行四边形；
(3) ∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，即DH∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG，
∴DH∥AG，
∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH，
又∠ODB=∠HOP，OB=OP，
∴△OBD≌△HOP，
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH⊥AB.
25. 如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.
(1) 填空：AD= (cm)，DC= (cm)；
(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C →B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点 运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；
(3) 在(2)的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中， △PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.
(参考数据：sin75°= ，sin15°= )
【解析】(1) ； ；
(2) 如图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.
∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，
∴∠NCF=75°，∠FNC=15°，
∴sin15°= ，又NC=x，
∴ ，
∴NE=DF= .
∴点N到AD的距离为 cm；
(3) ∵sin75°= ，∴ ，
∵PD=CP= ，
∴PF= ，
∴ •
即 ，
当 = 时，y有最大值为 .