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2014-2015学年福建省龙岩市永定县高陂中学八年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列所给的各组线段，能组成三角形的是（ ）
A． 10cm、20cm、30cm B． 20cm、30cm、40cm
C． 10cm、20cm、40cm D． 10cm、40cm、50cm
2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A． 带①去 B． 带②去 C． 带③去 D． ①②③都带去
3．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ）
A． 2012边形 B． 2013边形 C． 2014边形 D． 2015边形
4．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形．
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
5．OP是∠AOB的平分线，则下列说法正确的是（ ）
A． 射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离相等
B． 射线OP上的点与边OA，OB的距离相等
C． 射线OP上的点与OA各点的距离相等
D． 射线OP上的点与OB上各的距离相等
6．下列说法正确的是（ ）
A． 全等三角形是指形状相同大小相等的三角形
B． 全等三角形是指面积相等的三角形
C． 周长相等的三角形是全等三角形
D． 所有的等边三角形都是全等三角形
7．如图，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB=CD，AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
8．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A． AB=DE B． DF∥AC C． ∠E=∠ABC D． AB∥DE
9．如图，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，则△ABD的周长为（ ）
A． 21 B． 18 C． 13 D． 9
10．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． △ACE≌△BCD B． △BGC≌△AFC C． △DCG≌△ECF D． △ADB≌△CEA
二、填空题（每空3分，共30分）
11．如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=32°，∠A=68°，AB=13cm，则∠F= 度，DE= cm．
12．如图，已知∠1=∠2，要说明△ABC≌△BAD，
（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是 ；
（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是 ；
（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是 ．
13．如图，∠1= ．
14．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为8cm2，则EF边上的高为 cm．
15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=10cm，则△DEB的周长是 cm．
16．如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
17．在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是 ．
三、解答题（共80分）
18．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
19．已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，求它的周长．
20．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．
21．已知：如图，AB与CD相交于点O，∠ACO=∠BDO，OC=OD，CE是△ACO的角平分线．请你先作△ODB的角平分线DF（用尺规作图，不要求写出作法与证明，但要保留作图痕迹）；再证明CE=DF．
22．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD．求证：BC=AD．
23．如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．
24．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：BD=CE．
25．如图，△ABC中，∠A=36°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．
26．如图，点E，F分别在OA，OB上，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°，求证：OD平分∠AOB．
27．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
28．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
2014-2015学年福建省龙岩市永定县高陂中学八年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列所给的各组线段，能组成三角形的是（ ）
A． 10cm、20cm、30cm B． 20cm、30cm、40cm
C． 10cm、20cm、40cm D． 10cm、40cm、50cm
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．
解答： 解：A、∵10+20=30∴不能构成三角形；
B、∵20+30＞40∴能构成三角形；
C、∵20+10＜40∴不能构成三角形；
D、∵10+40=50∴不能构成三角形．
故选B．
点评： 此题主要考查了三角形三边关系，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A． 带①去 B． 带②去 C． 带③去 D． ①②③都带去
考点： 全等三角形的应用．
分析： 本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
解答： 解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
3．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（ ）
A． 2012边形 B． 2013边形 C． 2014边形 D． 2015边形
考点： 多边形的对角线．
分析： 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
解答： 解：设多边形有n条边，
则n﹣2=2011，
解得：n=2013．
所以这个多边形的边数是2013．
故选：B．
点评： 本题考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
4．正多边形的一个内角等于144°，则该多边形是正（ ）边形．
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
考点： 多边形内角与外角．
分析： 根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
解答： 解：设正多边形是n边形，由题意得
（n﹣2）×180°=144°n．
解得n=10，
故选；C．
点评： 本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式．
5．OP是∠AOB的平分线，则下列说法正确的是（ ）
A． 射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离相等
B． 射线OP上的点与边OA，OB的距离相等
C． 射线OP上的点与OA各点的距离相等
D． 射线OP上的点与OB上各的距离相等
考点： 角平分线的性质．
分析： 根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和具体图形进行分析即可．
解答： 解：OP是∠AOB的平分线，射线OP上的点与OA，OB上任意一点的距离不一定相等，A错误；
射线OP上的点与边OA，OB的距离相等，B正确；
射线OP上的点与OA各点的距离不一定相等，C错误；
射线OP上的点与OA上各点的距离不一定相等，D错误，
故选：B．
点评： 本题考查的是平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．下列说法正确的是（ ）
A． 全等三角形是指形状相同大小相等的三角形
B． 全等三角形是指面积相等的三角形
C． 周长相等的三角形是全等三角形
D． 所有的等边三角形都是全等三角形
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 常规题型．
分析： 根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确；
B、面积相等的三角形形状不一定相同，所以不一定完全重合，故本选项错误；
C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误；
D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误．
故选A．
点评： 本题主要考查了全等三角形的概念，熟记概念，从形状与大小两方面考虑两三角形是否能够完全重合是解题的关键．
7．如图，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB=CD，AE=CF，则图中全等三角形共有（ ）
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
考点： 全等三角形的判定．
分析： 由于AE⊥BD于E，CF⊥BD于F得到∠AEB=∠CFD=90°，则可根据“HL”证明出Rt△ABE≌Rt△CDF，根据全等的选择得BE=DF，∠ABE=∠CDF，于是利用“SAS“可证明
△AED≌△CFB，则有AD=CB，所以利用”SSS”证明△ABD≌△CDB．
解答： 解：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，
∴DE=BF，
同样可利用“SAS”证明△AED≌△CFB，
∴AD=BC，
∴可利用”SSS”证明△ABD≌△CDB．
故选C．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
8．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A． AB=DE B． DF∥AC C． ∠E=∠ABC D． AB∥DE
考点： 全等三角形的判定．
分析： 由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
解答： 解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．
B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．
C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．
D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．
故选：A．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，则△ABD的周长为（ ）
A． 21 B． 18 C． 13 D． 9
考点： 线段垂直平分线的性质．
专题： 计算题．
分析： 由已知可得，DE是线段BC的垂直平分线，根据其性质可得BD=CD，根据等量代换，即可得出；
解答： 解：∵DE⊥BC，BE=EC，
∴DE是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+8=13．
故选C．
点评： 本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． △ACE≌△BCD B． △BGC≌△AFC C． △DCG≌△ECF D． △ADB≌△CEA
考点： 全等三角形的判定；等边三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．
解答： 解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∴在△BCD和△ACE中 ，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
故A成立，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACD=60°，
在△BGC和△AFC中 ，
∴△BGC≌△AFC，
故B成立，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDB=∠CEA，
在△DCG和△ECF中 ，
∴△DCG≌△ECF，
故C成立，
故选：D．
点评： 此题主要考查了三角形全等的判定以及等边三角形的性质，解决问题的关键是根据已知条件找到可证三角形全等的条件．
二、填空题（每空3分，共30分）
11．如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=32°，∠A=68°，AB=13cm，则∠F= 80 度，DE= 13 cm．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 先运用三角形内角和求出∠C，再运用全等三角形的性质可求∠F与DE．
解答： 解：∵∠B=32°，∠A=68°
∴∠C=180°﹣32°﹣68°=80°
又△ABC≌△DEF
∴∠F=80度，DE=13cm．
点评： 本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，是需要识记的内容．
12．如图，已知∠1=∠2，要说明△ABC≌△BAD，
（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是 AC=BD ；
（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是 ∠C=∠D ；
（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是 ∠ABC=∠BAD ．
考点： 全等三角形的判定．
分析： 本题要判定△ABC≌△BAD，已知∠1=∠2，AB是公共边，具备了一边、一角对应相等，故添加AC=BD、∠C=∠D、∠ABC=∠BAD，可分别根据SAS、AAS、ASA判定全等．
解答： 解：（1）若以“SAS”为依据，则需添加一个条件是AC=BD；
（2）若以“AAS”为依据，则需添加一个条件是∠C=∠D；
（3）若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是∠ABC=∠BAD．
故答案为：（1）AC=BD；（2）∠C=∠D；（3）∠ABC=∠BAD．
点评： 本题考查了三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13．如图，∠1= 120° ．
考点： 三角形的外角性质．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可直接求出∠1=（180°﹣140°）+80°=120°．
解答： 解：∠1=（180°﹣140°）+80°=120°．
点评： 本题主要考查三角形的外角性质及邻补角的定义．解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
14．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为8cm2，则EF边上的高为 cm．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥EF于N，求出△DEF的面积，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：
解：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥EF于N，
∵△ABC≌△DEF，
∴△ABC的面积和△DEF的面积相等，
∵EF=6cm，△ABC的面积为8cm2，
∴ ×EF×DN=8，
∴DN= （cm），
故答案为： ．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，关键是能根据已知得出△DEF的面积．
15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=10cm，则△DEB的周长是 10 cm．
考点： 角平分线的性质．
分析： 由已知利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得到DE=CD，AC=AE，加上BC=AC，三角形的周长为BE+BD+DE=BE+CB=AE+BE，于是周长可得．
解答： 解：CD=DE
∵AC=BC
∴∠B=45°
∴DE=BE
∵△DEB的周长=DB+DE+BE=AC+BE=AB=10．
故填10．
点评： 本题主要考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质和线段的和差关系求值．利用线段相等，进行线段的转移是解决本题的关键．
16．如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 240 m．
考点： 多边形内角与外角．
专题： 应用题．
分析： 由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
解答： 解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×10=240米．
故答案为：240．
点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
17．在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是 3＜AB＜13 ．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．
分析： 作出图形，延长AD至E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
解答： 解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中， ，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=4，
∴AE=4+4=8，
∵8+5=13，8﹣5=3，
∴3＜CE＜13，
即3＜AB＜13．
故答案为：3＜AB＜13．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共80分）
18．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．
考点： 多边形内角与外角．
分析： 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解答： 解：设这个多边形有n条边．
由题意得：（n﹣2）×180°=360°×4，
解得n=10．
故这个多边形的边数是10．
点评： 此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．
19．已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，求它的周长．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：分两种情况：
当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；
当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键
20．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数．
考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．
分析： 根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
解答： 解：∵∠AFE=90°，
∴∠AEF=90°﹣∠A=90°﹣35°=55°，
∴∠CED=∠AEF=55°，
∴∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠D=180°﹣55°﹣42°=83°．
答：∠ACD的度数为83°．
点评： 三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°．
21．已知：如图，AB与CD相交于点O，∠ACO=∠BDO，OC=OD，CE是△ACO的角平分线．请你先作△ODB的角平分线DF（用尺规作图，不要求写出作法与证明，但要保留作图痕迹）；再证明CE=DF．
考点： 作图—复杂作图；全等三角形的判定．
专题： 作图题；证明题．
分析： 易证△DOF≌△COE（ASA），那么CE=DF．
解答： 解：如图，DF就是所作的角平分线．
证明：∵∠ACO=∠BDO，
又∵∠ECO= ∠ACO，∠FDO= ∠BDO，
∴∠ECO=∠FDO，
又∠DOF=∠COE，OC=OD，
∴△DOF≌△COE（ASA），
∴CE=DF．
点评： 本题综合考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
22．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD．求证：BC=AD．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据直角三角形的全等判定证明即可．
解答： 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
在RT△ADB与RT△BCA中，
，
∴RT△ADB≌RT△BCA（HL），
∴BC=AD．
点评： 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据直角三角形的全等判定即可．
23．如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE．求证：BE∥CF．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 欲证BE∥CF，需先证得∠EBC=∠FCD或∠E=∠CFD，那么关键是证△BED≌△CFD；这两个三角形中，已知的条件有：BD=DC，DE=DF，而对顶角∠BDE=∠CDF，根据SAS即可证得这两个三角形全等，由此可得出所证的结论．
解答： 证明：∵AD是BC上的中线，
∴BD=DC．
又∵DF=DE（已知），
∠BDE=∠CDF（对顶角相等），
∴△BED≌△CFD（SAS）．
∴∠E=∠CFD（全等三角形的对应角相等）．
∴CF∥BE（内错角相等，两直线平行）．
点评： 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
24．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：BD=CE．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据等式的性质得出∠CAE=∠BAD，再利用SAS证明△CAE与△BAD全等证明即可．
解答： 证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAE=∠BAD，
在△CAE与△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴BD=CE．
点评： 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出∠CAE=∠BAD．
25．如图，△ABC中，∠A=36°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．
考点： 三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析： 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD= （∠A+∠ABC），∠EBC= ∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．
解答： 证明：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD= （∠A+∠ABC）．
又∵∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC= （∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC= ∠ABC，
∴ ∠ABC+∠E= （∠A+∠ABC），
∴∠E= ∠A= 36°=18°．
点评： 本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，三角形的角平分线性质，解答的关键是理清各角之间的关系．
26．如图，点E，F分别在OA，OB上，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°，求证：OD平分∠AOB．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： 过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，进而得出△EDM≌△FDN，由全等三角形的性质得出DM=DN，从而得出结论．
解答： 解：过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，
∴∠DME=∠DNF=90°．
∵∠OED+∠OFD=180°，且∠OED+∠MED=180°，
∴∠MED=∠OFD．
在△EDM和△FDN中，
，
∴△EDM≌△FDN，
∴DM=DN．
∵DM⊥OA，DN⊥OB，
∴OD平分∠AOB．
点评： 本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时得出三角形全等是关键．
27．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 首先在AB上截取AF=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≌△FAE，继而可证得∠EFB=∠C，然后利用AAS证得△BEF≌△BEC，即可得BC=BF，继而证得AD+BC=AB．
解答： 证明：在AB上截取AF=AD，
∵AE平分∠PAB，
∴∠DAE=∠FAE，
在△DAE和△FAE中，
∵ ，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴∠AFE=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠C=180°，
∵∠AFE+∠EFB=180°，
∴∠EFB=∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
在△BEF和△BEC中，
∵ ，
∴△BEF≌△BEC（AAS），
∴BC=BF，
∴AD+BC=AF+BF=AB．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
28．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析： （1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，证明△AME≌△BCF，从而可得到AE=EF；
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，然后证明△ANE≌△ECF，从而可得到AE=EF．
解答： 解：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME．
∵AB=BC，AM=EC，
∴BM=BE．
∴∠BME=45°．
∴∠AME=135°．
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=135°．
∴∠AME=∠ECF．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△BCF．
∴AE=EF．
（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE．
∵AB=BC，AN=CE，
∴BN=BE．
∴∠N=∠FCE=45°．．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE．
∴∠DAE=∠BEA．
∴∠NAE=∠CEF．
在△ANE和△ECF中，
∴△ANE≌△ECF．
∴AE=EF．
点评： 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、正方形的性质的应用，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键．