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2014-2015学年福建省南平市水东学校八年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． a2•a3=a6 B． （a2）3=a5 C． x8÷x2=x4 D． a3+a3=2a3
2．如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． x＞1 B． x＜1 C． x≠1 D． x=1
3．下列长度的各组线段，可以组成一个三角形三边的是（ ）
A． 1，2，3 B． 3，3，6 C． 1，5，5 D． 4，5，10
4．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A． p=1，q=﹣12 B． p=﹣1，q=12 C． p=7，q=12 D． p=7，q=﹣12
5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． （x+2）（x+3）=x2+5x+6 B． ax﹣ay+1=a（x﹣y）+1
C． 8a2b3=2a2•4b3 D． x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
6．在△MNP中，Q为MN中点，且PQ⊥MN，那么下列结论中不正确的是（ ）
A． △MPQ≌△NPQ B． MP=NP C． ∠MPQ=∠NPQ D． MQ=NP
7．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①③ D． ①②③④
8．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（ ）
A． 160° B． 150° C． 140° D． 130°
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是（ ）
A． 3cm B． 6cm C． 9cm D． 12cm
10．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： ．（填“稳定性”或“不稳定性”）
12．用科学记数法表示0.0000508为 ．
13．分解因式：a2﹣25= ．
14．计算： = ．
15．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）面积，验证了一个等式，此等式是 ．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，图中全等的三角形有 对．
17．若4x2+kx+25=（2x﹣5）2，那么k的值是 ．
18．如图，正方形ABCD中，截去∠A，∠C后，∠1，∠2，∠3，∠4的和为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．）
19．（12分）（2014秋•南平校级月考）将下列各式分解因式
（1）6mx﹣4nx；
（2）x4﹣y4；
（3）﹣3a2+12ab﹣12b2．
20．（12分）（2014秋•南平校级月考）（1）计算：
（2）计算： ﹣
（3）化简： ÷ •（ ）2．
21．先将代数式 化简，并求当x=2时代数式的值．
22．如图：
（1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出各点的坐标：A1 ；B1 ；C1 ．
23．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．
24．如图，△ABC中，AD为角平分线，且DB=DC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：∠B=∠C．
25．如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
26．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．
2014-2015学年福建省南平市水东学校八年级（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列运算中，计算结果正确的是（ ）
A． a2•a3=a6 B． （a2）3=a5 C． x8÷x2=x4 D． a3+a3=2a3
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法则对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
C、x8÷x2=x8﹣2=x6，故本选项错误；
D、a3+a3=2a3，故本选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则，熟记运算性质和法则并理清指数的变化是解题的关键．
2．如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． x＞1 B． x＜1 C． x≠1 D． x=1
考点： 分式有意义的条件．
分析： 本题主要考查分式有意义的条件：分母不为0，即1﹣x≠0．
解答： 解：∵1﹣x≠0，
∴x≠1．
故选C．
点评： 本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
3．下列长度的各组线段，可以组成一个三角形三边的是（ ）
A． 1，2，3 B． 3，3，6 C． 1，5，5 D． 4，5，10
考点： 勾股数．
分析： 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解答： 解：A、1+2=3，不能组成三角形；
B、3+3=6，不能组成三角形；
C、1+5＞5，能够组成三角形；
D、4+5＜10，不能组成三角形．
故选C．
点评： 此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A． p=1，q=﹣12 B． p=﹣1，q=12 C． p=7，q=12 D． p=7，q=﹣12
考点： 多项式乘多项式．
分析： 此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
解答： 解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，
则p=1，q=﹣12．
故选A．
点评： 本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．
5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． （x+2）（x+3）=x2+5x+6 B． ax﹣ay+1=a（x﹣y）+1
C． 8a2b3=2a2•4b3 D． x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
考点： 因式分解的意义．
分析： 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解答： A （x+2）（x+3）=x2+5x+6是整式乘法，故A错误；
B ax﹣ay+1=a（x﹣y）+1，不是整式积的形式，故B错误；
C 8a2b3=2a2•4b3不是转化多项式，故C错误；
D x2﹣4=（x+2）（x﹣2）是因式分解，故D正确；
故选：D．
点评： 本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6．在△MNP中，Q为MN中点，且PQ⊥MN，那么下列结论中不正确的是（ ）
A． △MPQ≌△NPQ B． MP=NP C． ∠MPQ=∠NPQ D． MQ=NP
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 该题看上去是道选择题，其实是一道证明题，需要对每一个选项进行验证，从而确定正确答案．由已知我们可以推出△MPQ≌△NPQ，再利用全等三角形的性质验证其它选项．
解答： 解：∵MQ=NQ，且PQ⊥MN
∴△MPQ≌△NPQ
∴MP=NP，∠MPQ=∠NPQ
即前三项均正确
∴第四项不正确．
故选D．
点评： 此题考查了两三角形全等的条件及全等三角形的性质等知识点；做题时要依据已知结合三角形的判定方法和性质对选项逐一验证．
7．下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①③ D． ①②③④
考点： 等边三角形的判定．
分析： 根据等边三角形的判定判断．
解答： 解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确．
所以都正确．
故选D．
点评： 此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．
8．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（ ）
A． 160° B． 150° C． 140° D． 130°
考点： 三角形的外角性质．
分析： 先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE，再根据三角形外角性质即可求出∠BHC的度数．
解答： 解：∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，
∴∠ABE=90°﹣50°=40°，
∵CF为△ABC的高，
∴∠BFC=90°，
∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．
故选D．
点评： 本题考查直角三角形两锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角的和．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，AD=3cm，则AB的长度是（ ）
A． 3cm B． 6cm C． 9cm D． 12cm
考点： 含30度角的直角三角形．
分析： 先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
解答： 解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等），
∵AD=3cm，
在Rt△ACD中，AC=2AD=6cm，
在Rt△ABC中，AB=2AC=12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选D．
点评： 本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
10．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
专题： 动点型．
分析： 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
解答： 解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： 稳定性 ．（填“稳定性”或“不稳定性”）
考点： 三角形的稳定性．
分析： 根据三角形具有稳定性解答．
解答： 解：根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
12．用科学记数法表示0.0000508为 5.08×10﹣5 ．
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 根据科学计数法表示的方法，a×10n，可得答案．
解答： 解：0.0000508=5.08×10﹣5，
故答案为：5.08×10﹣5．
点评： 本题考查了科学计数法，注意a是一位整数，n是第一个非0数的前面0的个数的相反数．
13．分解因式：a2﹣25= （a﹣5）（a+5） ．
考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 利用平方差公式分解即可求得答案．
解答： 解：a2﹣25=（a﹣5）（a+5）．
故答案为：（a﹣5）（a+5）．
点评： 本题考查了利用平方差公式分解因式的方法．题目比较简单，解题需细心．
14．计算： = ．
考点： 分式的混合运算．
专题： 计算题．
分析： 应先把除法运算统一为乘法运算，再进行计算．
解答： 解：a2÷b• =a2• • = ．
点评： 本题考查分式的乘除混合运算，注意应先把除法运算统一为乘法运算．
15．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）面积，验证了一个等式，此等式是 a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ．
考点： 平方差公式的几何背景．
分析： 左边图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），根据阴影部分的面积相等得．
解答： 解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
点评： 本题考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，图中全等的三角形有 2 对．
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据全等三角形的判定定理，可得到△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD；
解答： 解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∵BD=CE，
∴BE=CD，
同理得△ABE≌△ACD（SAS）；
故答案为：2．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的判定定理，是解决问题的基础．
17．若4x2+kx+25=（2x﹣5）2，那么k的值是 ﹣20 ．
考点： 完全平方式．
分析： 此题可以先将等式右边的完全平方式展开，再与等式左边对照即可得出k的值．
解答： 解：4x2+kx+25=（2x﹣5）2=4x2﹣20x+25，
故k=﹣20．
点评： 本题只需将完全平方式展开即可得到答案，较为简单．
18．如图，正方形ABCD中，截去∠A，∠C后，∠1，∠2，∠3，∠4的和为 540° ．
考点： 多边形内角与外角．
分析： 根据多边形内角和为（n﹣2）×180°，再根据正方形性质即可得出答案．
解答： 解：根据多边形内角和为（n﹣2）×180°，
∴截得的六边形的和为（6﹣2）×180°=720°，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠1，∠2，∠3，∠4的和为720°﹣180°=540°．
故答案为540°．
点评： 本题主要考查了多边形内角和公式及正方形性质，难度适中．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．）
19．（12分）（2014秋•南平校级月考）将下列各式分解因式
（1）6mx﹣4nx；
（2）x4﹣y4；
（3）﹣3a2+12ab﹣12b2．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： （1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式分解即可；
（3）原式提取﹣3，利用完全平方公式分解即可．
解答： 解：（1）原式=2x（3m﹣2n）；
（2）原式=（x2+y2）（x2﹣y2）=（x2+y2）（x+y）（x﹣y）；
（3）原式=﹣3（a2﹣4ab+4b2）=﹣3（a﹣2b）2．
点评： 此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（12分）（2014秋•南平校级月考）（1）计算：
（2）计算： ﹣
（3）化简： ÷ •（ ）2．
考点： 分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义化简即可得到结果；
（2）原式利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果．
解答： 解：（1）原式=2+1﹣3+1=1；
（2）原式= = =﹣ ；
（3）原式= • • = ．
点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．先将代数式 化简，并求当x=2时代数式的值．
考点： 分式的化简求值．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．
解答： 解：原式= ÷
= •
=x﹣1，
当x=2时，原式=2﹣1=1．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．如图：
（1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出各点的坐标：A1 （﹣2，﹣2） ；B1 （﹣1，0） ；C1 （2，﹣1） ．
考点： 作图-轴对称变换．
分析： （1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于x轴的对称点，A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）结合坐标系写出A1、B1、C1的坐标．
解答： 解：（1）如图所示：
；
（2）由图可得，坐标分别为：
A1（﹣2，﹣2），B1（﹣1，0），C1（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣2），（﹣1，0），（2，﹣1）．
点评： 本题主要考查了轴对称图形的作图方法，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：
①先确定图形的关键点；
②利用轴对称性质作出关键点的对称点；
③按原图形中的方式顺次连接对称点．
23．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．
考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 已知图形∠A=∠A，根据ASA证△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质即可求出答案．
解答： 证明：∵在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE=CD．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，用ASA（还有∠A=∠A）即可证出△ABE≌△ACD．
24．如图，△ABC中，AD为角平分线，且DB=DC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
求证：∠B=∠C．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据角平分线的性质可知：DE=DF，再证明△DEB≌△DFC即可得到：∠B=∠C．
解答： 证明：∵AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴△DEB和△DFC是直角三角形，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌△RtDFC（HL），
∴∠B=∠C．
点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
25．如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．
（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．
（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．
考点： 整式的混合运算；代数式求值．
专题： 应用题．
分析： （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化美面积即可；
（2）将a与b的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2=5a2﹣3ab；
（2）当a=3，b=2时，原式=45﹣18=23．
点评： 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．
考点： 等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据直角三角形斜边上中线性质推出即可；
（2）根据等腰三角形性质求出∠B=∠C=45°=∠BOA=∠CAO，根据SAS证△BOM≌△AON，推出OM=ON，∠AON=∠BOM，求出∠MON=90°，根据等腰直角三角形的判定推出即可．
解答： 解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA=OB=OC；
（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，
证明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，
∴OA=OB=OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，∠B=∠C=45°，∠BAO=∠CAO=45°，
∴∠CAO=∠B，
在△BOM和△AON中
∵ ，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴OM=ON，∠AON=∠BOM，
∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上中线，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，题目比较好，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．