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2014-2015学年浙江省宁波市宁海县东片八年级（上）期中数学试卷
一、精心选一选（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． 4cm、4cm、9cm B． 4cm、5cm、6cm C． 2cm、3cm、5cm D． 12cm、5cm、6cm
2．下列句子是命题的是（ ）
A． 画∠AOB=45°
B． 小于直角的角是锐角吗？
C． 连结CD
D． 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
3．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A． 60° B． 70° C． 80° D． 90°
4．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD），这样做的根据是（ ）
A． 矩形的对称性 B． 矩形的四个角都是直角
C． 三角形的稳定性 D． 两点之间线段最短
5．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A． 3，4，5 B． 4，5，6 C． 5，12，13 D． 6，8，10
6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A． （S．S．S．） B． （S．A．S．） C． （A．S．A．） D． （A．A．S．）
7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 18
8．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A． 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
B． 两直线平行，内错角相等
C． 等腰三角形的两个底角相等
D． 对顶角相等
9．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（ ）
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等边三角形 D． 锐角三角形
二．细心填一填（本题有10小题，每题3分，共30分）
11．如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=60°，则外角∠ACD= 度．
12．已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60度，则△ABC的周长为 ．
13．若△ABC的三个内角满足 ，则这个三角形是 三角形．
14．若a＞b，则a2＞b2，是 （真或假）命题．
15．图，已知AC=DB，再添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DCB．
（只需填写满足要求的一个条件即可）．
16．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= 度．
17．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．
18．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 ．
19．观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是 ．
20．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4= ．
三、简答题（共6小题，共60分）
21．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．
22．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，试判断△ABD是否为等腰三角形，并说明理由．
23．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？
24．如图，△ABC中，AB=AC，∠ A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=12，求BC长．
25．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点，判断BM与BN的关系 ，并说明理由．
26．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
2014-2015学年浙江省宁波市宁海县东片八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． 4cm、4cm、9cm B． 4cm、5cm、6cm C． 2cm、3cm、5cm D． 12cm、5cm、6cm
考点： 三角形三边关系．
分析： 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解答： 解：根据三角形的三边关系，得
A、4+4＜9，不能组成三角形，故此选项错误；
B、4+5＞6，能够组成三角形，故此选项正确；
C、3+2=5，不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+5＜12，不能组成三角形，故此选项错误．
故选：B．
点评： 此题主要考查了 三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．下列句子是命题的是（ ）
A． 画∠AOB=45°
B． 小于直 角的角是锐角吗？
C． 连结CD
D． 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
考点： 命题与定理．
分析： 根据命题的定义即可作出判断．
解答： 解：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，是命题；
小于直角的角是锐角吗，是询问的语句；
画∠AOB=45°，联结CD是描述性语句，都不是命题，正确的只有D．
故选D．
点评： 本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．
3．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（ ）
A． 60° B． 70° C． 80° D． 90°
考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数．
解答： 解：∵∠ACD=∠A+∠B，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．
故选：C．
点评： 本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
4．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD），这样做的根据是（ ）
A． 矩形的对称性 B． 矩形的四个角都是直角
C． 三角形的稳定性 D． 两点之间线段最短
考点： 三角形的稳定性．
分析： 根据三角形具有稳定性解答．
解答： 解：门框为防止变形钉上两条斜拉的木板条的根据是三角形具有稳定性．
故选C．
点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
5．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A． 3，4，5 B． 4，5，6 C． 5，12，13 D． 6，8，10
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：a2+b2=c2关系时是直角三角形．
解答： 解：A、能，因为32+42=52；
B、不能，因为不符合勾股定理的逆定理；
C、能，因为52+122=132；
D、能，因为62+82=102．
故选B．
点评： 本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形．
6．（3分）（200 9•西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A． （S．S．S．） B． （S．A．S．） C． （A．S．A．） D． （A．A．S．）
考点：全等三角形的判定．
专题： 作图题．
分析： 我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
解答： 解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、O B于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：A．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A． 12 B． 15 C． 12或15 D． 18
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解答： 解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3=6=6，
∴不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有15．
故选B．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A． 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半
B． 两直线平行，内错角相等
C． 等腰三角形的两个底角相等
D． 对顶角相等
考点： 命题与定理．
分析： 先写出各命题的逆命题，然后再判断真假即可．
解答： 解：A、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题为：
“三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形”，逆命题为真命题，故此选项错误；
B、两直线平行，内错角相等的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题为真命题，故此选项错误；
C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为“两底角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故此选项错误；
D、对顶角相等的逆命题为“相等的两角是对顶角”，逆命题为假命题，符合题意；
故选：D．
点评： 本题考查了命题与定理的知识，注意掌握逆命题的书写方法，及真假命题的判断，属于基础题．
9．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（ ）
A． 10 B． 11 C． 12 D． 13
考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长．
解答： 解：∵BE⊥AC，
∴△AEB是直角三角形，
∵D为AB中点，DE=10，
∴AB=20，
∵AE=16，
∴BE= =12，
故选C．
点评： 本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大．
10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等边三角形 D． 锐角三角形
考点： 因式分解的应用．
专题： 计算题．
分析： 把b2﹣2bc+c2分解得到（a﹣b）（b﹣c）2（c﹣a）=0，则a﹣b=0或（b﹣c）2=0或c﹣a=0，所以a=b或b=c或c=a，然后根据等腰三角形的判定方法进行判断．
解答： 解：∵（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，
∴（a﹣b）（b﹣c）2（c﹣a）=0，
∴a﹣b=0或（b﹣c）2=0或c﹣a=0，
∴a=b或b=c或c=a．
即△ABC是以a、b为腰的等腰三角形或以b、c为腰的等腰三角形或以a、c为腰的等腰三角形．
故选A．
点评： 本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
二．细心填一填（本题有10小题，每题3分，共30分）
11．如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=60°，则外角∠ACD= 115 度．
考点： 三角形的外角性质．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解答： 解：∵∠A=55°，∠B=60°，
∴∠ACD=∠A+∠B=55°+60°=115°．
故答案为：115．
点评： 本题主要考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60度，则△ABC的周长为 12 ．
考点： 等边三角形的判定与性质．
分析： 由条件易证△ABC是等边三角形，由此可得到BC的值，即可求出△ABC的周长．
解答： 解：∵AB=AC=4，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC=4，
∴△ABC的周长为12．
故答案为12．
点评： 本题考查的是等边三角形的判定与性质，突出了对基础知识的考查．
13．若△ABC的三个内角满足 ，则这个三角形是 直角 三角形．
考点： 三角形内角和定理．
专题： 计算题．
分析： 由于 ，则∠C=3∠A，∠B=2∠A，再根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+2∠A+3∠A=180°，然后分别计算出∠A、∠B、∠C，再根据三角形的分类进行判断．
解答： 解：∵ ，
∴∠C=3∠A，∠B=2∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∠C=90°，
∴此三角形为直角三角形．
故答案为直角．
点评： 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
14．若a＞b，则a2＞b2，是 假 （真或假）命题．
考点： 命题与定理．
分析： 根据真假命题的定义进行判断即可．
解答： 解：∵当0＞a＞b，a2＜b2，
∴若a＞b，则a2＞b2，不成立，是假命题．
故答案为：假．
点评： 本题主要考查了命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．图，已知AC=DB，再添加一个适当的条件 AB=DC ，使△ABC≌△DCB．
（只需填写满足要求的一个条件即可）．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 压轴题；开放型．
分析： 要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
解答： 解：添加AB=DC
∵AC=DB，BC=BC，AB=DC
∴△ABC≌△DCB
∴加一个适当的条件是AB=DC．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形 全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
16．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= 20 度．
考点： 三角形内角和定理；平行线的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据平行线的性质和三角形的内角和定理求得．
解答： 解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，
∴∠CBD=∠1=130°．
∵∠BDC=∠2，
∴∠BDC=30°．
在△BCD中，∠CBD=130°，∠BDC=30°，
∴∠C=180°﹣130°﹣30°=20°．
点评： 本题应用的知识点为：三角形的外角与内角的关系及两直线平行，同位角相等．
17．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= 70° ．
考点： 线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．
解答： 解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°，
∴∠C=∠AOC﹣∠ADC=125°﹣90°=35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠C=35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBC=2×35°=70°．
故答案为：70°．
点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．
18．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 100mm ．
考点： 勾股定理的应用．
分析： 如图，在Rt△ABC中，AC=120﹣60=60，BC=140﹣60=80，然后利用勾股定理即可求出两圆孔中心A和B的距离．
解答： 解：如图，在Rt△ABC中，∵AC=120﹣60=60，BC=140﹣60=80，
∴AB= =100（mm），
∴两圆孔中心A和B的距离为100mm．
故答案为：100mm．
点评： 此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先正确从图中找到所需要的数量关系，然后利用公式即可解决问题．
19．观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是 12，35，37 ．
考点： 勾股数．
专题： 规律型．
分析： 根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．
解答： 解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．
所以第⑤组勾股数是12，35，37．
故答案为：12，35，37．
点评： 观察已知的几组数的规律，是解决本题的关键．
20．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4= 2 ．
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
分析： 首先证明△CDE≌△ABC可得AB=CD，BC=DE，同理可得FG2+LK2=HL2=1，进而得到S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．再由S2+S3=2，可得S1+S4=2．
解答： 解： 在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，
同理可证FG2+LK2=HL2=1，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．
∵S2+S3=2，
∴S1+S4=2，
故答案为：2．
点评： 本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解题的关键．
三、简答题（共6小题，共60分）
21．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．
考点： 利用轴对称设计图案．
专题： 网格型．
分析： 作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
解答： 解：如图所示：
点评： 解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形，然后将对称部分涂黑，即为所求．
22．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，试判断△ABD是否为等腰三角形，并说明理由．
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 利用AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，BD平分∠ABC，得出∠ABD=∠DBC，进一步得出∠ABD=∠ADB，得出答案即可．
解答： 解：△ABD是等腰三角形，理由如下：
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
点评： 此题考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识．
23．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？
考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： 由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．
解答： 解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．
∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C =90°，
∴AC= = =2
∵BD=0.5，
∴在Rt△ECD中，
CE= = = =1.5．
∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．
答：滑杆顶端A下滑0.5米．
点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
24．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=12，求BC长．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： （1）根据线段垂直平分线得出AE=CE，推出∠ECD=∠ A即可；
（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，求出∠BEC=∠B，推出BC=CE即可．
解答： （1）解：∵DE垂直平分AC，
∴CE=AE，
∴∠ECD=∠A=36°．
（2）解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵∠ECD=36°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECD=36°，
∠BEC=72°=∠B，
∴BC=EC=12．
点评： 本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
25．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD=∠DBC，AB=DB，EB=CB，M、N分别是AE、CD的中点，判断BM与BN的关系，并说明理由．
考点： 全 等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据SAS推出△ABE≌△DBC，推出AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，求出∠ABD=∠DBC=90°，BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD，推出∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC即可．
解答： 解：BM=BN，BM⊥BN，
理由是：在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，
∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，
∴∠ABD=∠DBC=90°，
∵M为AE的中点，N为CD的中点，
∴BM=AM=EM= AE，BN=CN=DN= CD，
∴BM=BN，∠EAB=∠MBA，∠CDB=∠DBN，∠AEB=∠EBA，∠NCB=∠NBC，
∵∠EAB=∠BDC，∠AEB=∠DCB，
∴∠ABM=∠DBN，∠EBM=∠NBC，
∴∠ABC=2∠DBN+2∠EBM=180°，
∴∠EBN+∠EBM=90°，
∴BM⊥BN．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．
26．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
考点： 勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．
专题： 动点型．
分析： （1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）设出发t秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8﹣t，列式求得t即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
解答： 解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= = = =2 ；
（2）BQ=2t，
BP=8﹣t …1′
2t=8﹣t，
解得：t= …2′；
（3）①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5，
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．…1′
②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．…1′
③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= = ，
所以CE= ，
故CQ=2CE=7.2，
所以BC+CQ=13.2，
∴t=13.2÷2=6.6秒．…2′
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
点评： 本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用．