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2014-2015学年浙江省温州市乐清市育英寄宿学校八年级（上）期中数学试卷（实验班）
一、填空题（本 题共10小题，每小题填对得3分，共30分．只要求填写最后结果）
1．计算： + = ．
2．方程x2﹣4x=0的解为 ．
3．2013年某市人均GDP约为2011年的1.21倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么该增长率为 ．
4．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MM=20m，那么A，B两点间的距离是 ．
5．已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 ．
6．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是 ．
7．一个多边形的每一个外角都等于30°，则该多边形的内角和等于 ．
8．李娜在一幅长90cm宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度为xcm，根据题意，所列方程为： ．
9．已知y= +2 ，若x是整数，则y的最小值是 ．
10．已知直线y=kx+b（k＜0）与x、y轴交于A、B两点，且与双曲线y=﹣ 交于点C（m，2），若△AOB的面积为4，则△BOC的面积为 ．
二、选择题（本题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题3分，共18分，）
11．化简 的结果是（ ）
A． ﹣2 B． ±2 C． 2 D． 4
12．已知一个直角三角形的两条边长恰好是方程x2﹣5x+6=0的两根，则此三角形的斜边长为（ ）
A． B． 13 C． D． 或3
13．下列二次根式不能再化简的是（ ）
A． B． C． D．
14．下列命题错误的是（ ）
A． 平行四边形的对角相等
B． 对角线互相垂直的四边形是菱形
C． 两条对角线相等的平行四边形是矩形
D． 等腰梯形的对角线相等
15．如图，直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是（ ）
A． 2 B． m﹣2 C． m D． 4
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A=x°，则∠FPC=（ ）
A． （ ）° B． （ ）° C． （ ）° D． （ ）°
三、解答题（本大题有6小题，共52分）
17．（1）化简：3 ﹣9（ ﹣ ）；
（2）解方程：（x﹣3）2=（2x﹣1）（x﹣3）．
18．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d=7× （t≥12）．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
19．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
20．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位：秒）：
类型 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
甲种电子钟 1 ﹣3 ﹣4 4 2 ﹣2 2 ﹣1 ﹣1 2
乙种电子钟 4 ﹣3 ﹣1 2 ﹣2 1 ﹣2 2 ﹣2 1
（1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；
（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？
21．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（2）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
22．如图，已知直线y= x与双曲线 交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线 上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线 于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
2014-2015学年浙江省温州市乐清市育英寄宿学校八年级（上）期中数学试卷（实验班）
参考答案与试题解析
一、填空题（本题共10小题，每小题填对得3分，共30分．只要求填写最后结果）
1．计算： + = ．
考点： 二次根式的加减法．
分析： 运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
解答： 解：原式= +2 =3 ．
点评： 合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．
2．方程x2﹣4x=0的解为 x1=0，x2=4 ．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： x2﹣4x提取公因式x，再根据“ 两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．
解答： 解：x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
x=0或x﹣4=0
x1=0，x2=4
故答案是：x1=0，x2=4．
点评： 本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．该题运用了因式分解法．
3．2013年某市人均GDP约为2011年的1.21倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么该增长率为 10% ．
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 利用2013年某市人均GDP约为2011年的1.21倍，得出等式求出即可．
解答： 解：设该增长率为x，根据题意可得：
（1+x）2=1.21
解得：x1=﹣2.1，x2=0.1=10%．
故答案为：10%．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用，正确利用增长率问题得出等式是解题关键．
4．如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MM=20m，那么A，B两点间的距离是 40m ．
考点： 三角形中位线定理．
专题： 应用题．
分析： 三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍．
解答： 解：∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN= AB，
∴AB=2MN=2×20=40（m）．
故答案为：40m．
点评： 本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质，熟记性质是应用性质解决实际问题的关键．
5．已知一组数据：1，a，3，6，7，它的平均数是4，这组数据的众数是 3 ．
考点： 众数；算术平均数．
分析： 首先根据平均数的计算公式，可以算出a的值，再根据众数的定义解答．
解答： 解：据题意得：（1+a+3+6+7）÷5=4，得a=3，
所以这组数据的众数是3．
故填3．
点评： 本题为统计题，考查众数与平均数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面 积是 2.5 ．
考点： 菱形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
解答： 解：设AP与EF相交于O点．
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，AB∥CD．
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE．
∴四边形AEFP是平行四边形．
∴S△POF=S△AOE．
即阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积= AC•BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故答案为：2.5．
点评： 本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
7．一个多边形的每一个外角都等于30°，则该多边形的内角和等于 1800° ．
考点： 多边形内角与外角．
分析： 多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．
解答： 解：多边形的边数是： =12．
则内 角和是：（12﹣2）•180=1800°
点评： 本题主要考查了多边形的内角之间之间的关系．根据多边形的外角和不随边数的变化而变化，转化为考虑内角的关系可以把问题简化．
8．李娜在一幅长90cm宽40cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的54%，设金色纸边的宽度为xcm，根据题意，所列方程为： ．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 如果设金色纸边的宽度为xcm，那么挂图的面积就应该为（90+2x）（40+2x），根据题意即可列出方程．
解答： 解：设金色纸边的宽度为xcm，
那么挂图的面积就应该为（90+2x）（40+2x），
∴（90+2x）（40+2x）= ．
故填空答案：（90+2x）（40+2x）= ．
点评： 本题掌握好长方形的面积公式，注意挂图的长和宽就能准确的列出方程．
9．已知y= +2 ，若x是整数，则y的最小值是 3 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根．
分析： 根据被开方数大于等于0列式求出x的取值范围，然后确定出x的值，再计算即可得解．
解答： 解：由题意得，﹣3x﹣1≥0，
解得x≤﹣ ，
∵x是整数，
∴x=﹣1时，﹣3x﹣1有最小值（﹣3）×（﹣1）﹣1=2，
y的最小值是 +2 =3 ．
故答案为：3 ．
点评： 本题考查了算术平方根非负数的性质，主要利用了被开方数大于等于0．
10．已知直线y=kx+b（k＜0）与x、y轴交于A、B两点，且与双曲线y=﹣ 交于点C（m，2），若△AOB的面积为4，则△BOC的面积为 2 ±2 ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 根据自变量的值，可得函数值，根据点的坐标满足函数解析式，把点的坐标代入函数解析式，可得二元一次方程，根据三角形的面积公式，可得二元一次方程，根据解方程组，可得b值，再根据三角形的面积，可得答案．
解答： 解：双曲线y=﹣ 过点C（m，2），得
2=﹣ ，解得m=﹣1．
C点坐标是（﹣1，2）．
直线y=kx+b（k＜0）过点C，得
﹣k+b=2．①
直线y=kx+b（k＜0）与x、y轴交于A、B两点，得
B（0，b），A（﹣ ，0）．
S△AOB= ×（﹣ ）•b=4 ②，
联立①②，得 ，
解得 或 ．
当b=﹣4+4 时，S△BOC= ×|﹣1||b|=2 ﹣2，
当b=﹣4﹣4 时，S△BOC= ×|﹣1||b|=2 +2，
故答案为：2 ±2．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了交点坐标得出二元一次方程，解二元一次方程组，三角形的面积公式．
二、选择题（本题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题3分，共18分，）
11．化简 的结果是（ ）
A． ﹣2 B． ±2 C． 2 D． 4
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 本题可先将根号内的数化简， 再开根号，根据开方的结果为正数可得出答案．
解答： 解： = =2．
故选C．
点评： 本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意算术平方根为非负数．
12．已知一个直角三角形的两条边长恰好是方程x2﹣5x+6=0的两根，则此三角形的斜边长为（ ）
A． B． 13 C． D． 或3
考点： 解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．
分析： 根据一元二次方程形式，选取因式分解法解答，然后根据勾股定理分类讨论．
解答： 解：x2﹣5x+6=0，
因式分解得（x﹣3）（x﹣2）=0，
解得x1=3，x2=2，
则①当3，2为直角边长时，斜边长为 = ；
②当2为直角边长，3为斜边长．
故选D．
点评： 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题与三角形结合，要注意分类讨论．
13．下列二次根式不能再化简的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
分析： A、B选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有D选项符合最简二次根式的要求．
解答： 解：因为：A、 =2 ；
B、 =|x| ；
C、 = ；
它们都能化简，不是最简二次根式．
所以，只有D、 不能再化简．故选D．
点评： 判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法 是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分 母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
14．下列命题错误的是（ ）
A． 平行四边形的对角相等
B． 对角线互相垂直的四边形是菱形
C． 两条对角线相等的平行四边形是矩形
D． 等腰梯形的对角线相等
考点： 等腰梯形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．
分析： 平行四边形的对角相等，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，两条对角线相等平行四边形是矩形，等腰梯形的对角线相等．
解答： 解：A、行四边形的对角相等，故A选项不符合题意．
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项符合题意．
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．
D、等腰梯形的对角线相等．故本选项不符合题意．
故选B．
点评： 本题考查等腰梯形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，矩形的判定定理．以及命题与定理的概念等知识点．
15．如图，直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是（ ）
A． 2 B． m﹣2 C． m D． 4
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
分析： 由题意得：S△ABM=2S△AOM，又S△AOM= |k|，则k的值即可求出．
解答： 解：设A（x，y），
∵直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点，
∴B（﹣x，﹣y），
∴S△BOM= |xy|，S△AOM= |xy|，
∴S△BOM=S△AOM，
∴S△ABM=S△AOM+S△BOM=2S△AOM=2，S△AOM= |k|=1，则k=±2．
又由于反比例函数位于一三象限，k＞0，故k=2．
故选A．
点评： 本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．
16．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A=x°，则∠FPC=（ ）
A． （ ）° B． （ ）° C． （ ）° D． （ ）°
考点： 菱形的性质．
分析： 延长PF交AB的延长线于H，利用“角边角”求出△PCF和△HBF全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=HF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出EF=PF= PH，根据等边对等角可得∠PEF=∠EPF，从而得到∠FPC=∠BEF，再根据菱形的性质求出BE=BF，根据等边对等角可得∠BEF=∠BFE，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
解答： 解：如图，延长PF交AB的延长线于H，
在菱形ABCD中，AB∥CD，
所以，∠C=∠HBF，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△PCF和△HBF中，
，
∴△PCF≌△HBF（ASA），
∴PF=HF，
∵EP⊥CD，AB∥CD，
∴EP⊥AB，
∴PF= PH，
∴∠PEF=∠EPF，
∴∠FPC=∠BEF，
∵E，F分别是边AB和BC的中点，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE，
∵∠A=x°，
∴∠ABC=180°﹣x，
∴∠BEF= [180°﹣（180°﹣x）]=（ x）°，
∴∠FPC=（ x）°，
故选D．
点评： 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题有6小题，共52分）
17．（1）化简：3 ﹣9（ ﹣ ）；
（2）解方程：（x﹣3）2=（2x﹣1）（x﹣3）．
考点： 二次根式的加减法；解一元二次方程-因式分解法．
分析： （1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可；
（2）先移项，再提取公因式，求出x的值即可．
解答： 解：（1）原式=3 ﹣9 +9
=3 ﹣18 +3
=6 ﹣18 ；
（2）移项得，（x﹣3）2﹣（2x﹣1）（x﹣3）=0，
提取公因式得，（3﹣x）（x+2）=0，解得x1=3，x2=﹣2．
点评： 本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
18．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d=7× （t≥12）．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
考点： 平方根．
专题： 应用题．
分析： （1）根据题意可知分别是求当t=16时，d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；
（2）根据题意可知是求当d=35时，t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．
解答： 解：（1）当t=16时，d=7× =7×2=14cm；
（2）当d=35时， =5，即t﹣12=25，解得t=37年．
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14cm，冰川约是在37年前消失的．
点评： 本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．会根据题意把数值准确的代 入对应的关系式中是解题的关键．
19．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 其他问题．
分析： 本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．
解答： 解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x=81，
整理得（1+x）2=81，
则x+1=9或x+1=﹣9，
解得x1=8，x2=﹣10（舍去），
∴（1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3=（1+8）3=729＞700．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
点评： 本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
20．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位：秒）：
类型 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
甲种电子钟 1 ﹣3 ﹣4 4 2 ﹣2 2 ﹣1 ﹣1 2
乙种电子钟 4 ﹣3 ﹣1 2 ﹣2 1 ﹣2 2 ﹣2 1
（1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；
（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的 电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？
考点： 方差；算术平均数．
专题： 图表型．
分析： 根据平均数与方差的计算公式易得（1）（2）的答案，再根据（2）的计算结果进行判断．
解答： 解：（1）甲种电子钟走时误差的平均数是： （1﹣3﹣4+4+2﹣2+2﹣1﹣1+2）=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是： （4﹣3﹣1+2﹣2+1﹣2+2﹣2+1）=0．
（2）S2甲= [（1﹣0）2+（﹣3﹣0）2+…+（2﹣0）2]= ×60=6（s2），
S2乙= [（4﹣0）2+（﹣3﹣0）2+…+（1﹣0）2]= ×48=4.8（s2），
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是6s2和4.8s2；
（3）我会买乙种电子钟，因为两种类型的电子钟价格相同，且甲的方差比乙的大，说明乙的稳定性更好，故乙种电子钟的质量更优．
点评： 本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．同时考查平均数公式： ．
21．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F ，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（2）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
考点： 平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
专题： 证明题．
分析： （1）等边三角形的三边相等，三个角也相等，根据等边三角形的性质能证明AF∥BD，AB∥FD，所以四边形ABDF是怎样的四边形．
（2）过点E作EG⊥AB于点G，可求出EG的长，面积可求．
解答： 解：（1）∵CD=CE，∠BCA=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴AB∥DF，
∵EF=AE，∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）∵四边形ABDF是平行四边形，
∴EF∥AB，且EF≠AB，
∴四边形ABEF是梯形．
过点E作EG⊥AB于点G，
∵BD=2DC，AB=6，
∴AE=BD=EF=4，
∵∠AGE=90°，∠BAC=60°，
∴∠AEG=30°，
∴AG= AE=2，
EG= = =2 ，
∴S= （4+6）×2 =10 ．
点评： 本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的判定和性质等．
22．如图，已知直线y= x与双曲线 交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）若双曲线 上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线 于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
考点： 反比例函数综合题．
专题： 综合题；压轴题．
分析： （1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；
（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）∵点A横坐标为4，
把x=4代入y= x中
得y=2，
∴A（4，2），
∵点A是直线y= x与双曲线y= （k＞0）的交点，
∴k=4×2=8；
（2）解法一：如图，
∵点C在双曲线上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）．
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．
∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．
∴S△AOC=S矩形ONDM﹣S△ONC﹣S△CDA﹣S△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；
解法二：如图，
过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点C在双曲线 上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为（1，8）．
∵点C、A都在双曲线 上，
∴S△COE=S△AOF=4，
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．
∴S△COA=S梯形CEFA．
∵S梯形CEFA= ×（2+8）×3=15，
∴S△COA=15；
（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA=S平行四边形APBQ× = ×24=6，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），
得P（m， ），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0＜m＜4，如图，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴ （2+ ）•（4﹣m）=6．
∴m1=2，m2=﹣8（舍去），
∴P（2，4）；
若m＞4，如图，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴ （2+ ）•（m﹣4）=6，
解得m1=8，m2=﹣2（舍去），
∴P（8，1）．
∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．
点评： 本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．