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2014-2015学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下图是各种汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句是命题的是（ ）
A． 画两条相等的线段 B． 在线段AB上取点P
C． 等腰三角形是轴对称图形 D． 垂线段最短吗？
3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A． a=﹣2 B． a=﹣1 C． a=1 D． a=2
4．下列命题是假命题的是（ ）
A． 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B． 等角的余角相等
C． 钝角三角形一定有一个角大于90°
D． 同位角相等
5．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A． a：b：c=2：3：4 B． a=3，b=4，c=3
C． ∠B=50°，∠C=80° D． ∠A：∠B：∠C=1：1：2
6．如图1是玩具拼图模板的一部分，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC完全重合的是（ ）
A． 甲和丙 B． 丙和乙 C． 只有甲 D． 只有丙
7．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． 75° B． 120° C． 30° D． 30°或120°
8．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为20，则△ABE的面积为（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 18
9．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点c，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．△ABC中，已知∠A=100°，∠B=60°，则∠C= ．
12．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 ．
13．如图，已知∠ABC=∠DBC，要使△ABC≌△DBC，请添加一个条件 ．（只需写出一个条件）
14．直角三角形两直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为 ．
15．在一个平面内把7根同样长的火柴棒首尾相接，围成一个等腰三角形，最多能围成 种不同的等腰三角形．
16．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF的锐角顶点D放在另一块直角三角板（∠B=60°）的斜边AB上，两块三角板的直角边交于点M．如果∠BDE=75°，那么∠AMD的度数是 ．
17．如图，AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD=8，则点C到AE，BF的距离之和为 ．
18．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 ．
三、解答题（共6小题，满分46分）
19．如图，已知AB=AC，∠1=∠2，∠B=∠C，则BD=CE．请说明理由：
解：∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAC=∠2+ ．
即∠EAC=∠DAB．
在△ABD和△ACE中，
∠B= （已知）
∵AB= （已知）
∠EAC= （已证）
∴△ABD≌△ACE（ ）
∴BD=CE（ ）
20．图（a）和图（b）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的长均为1．请分别画出符合要求的图形，所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合．
（1）请在图（a）中画出一个面积为6的等腰三角形．
（2）请在图（b）中画出一个边长为 的等腰直角三角形．
21．如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC．
（1）请找出图中的一个等腰三角形，并说明它是等腰三角形的理由．
（2）若∠A=70°，∠B=30°，求∠DEC的度数．
22．如图，有一个△ABC，三边长为AC=6，BC=8，AB=10，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）求线段CD的长．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC．
（1）求证：△BDA≌△CEA；
（2）请判断△ADE是什么三角形，并说明理由．
24．如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP=3，求△ABP的周长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D= ．（请直接写出答案）
2014-2015学年浙江省温州市永嘉县上塘城西中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下图是各种汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列语句是命题的是（ ）
A． 画两条相等的线段 B． 在线段AB上取点P
C． 等腰三角形是轴对称图形 D． 垂线段最短吗？
考点： 命题与定理．
分析： 根据命题的定义分别进行判断．
解答： 解：A、画两条相等的线段是描叙性语言，不是命题，所以A选项错误；
B、在线段AB上取点P是描叙性语言，不是命题，所以B选项错误；
C、等腰三角形是轴对称图形，它是命题，所以C选项正确；
D、垂相等最短吗是疑问句，不是命题，所以D选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（ ）
A． a=﹣2 B． a=﹣1 C． a=1 D． a=2
考点： 反证法．
分析： 根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解答： 解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，
∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；
故选：A．
点评： 此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A． 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B． 等角的余角相等
C． 钝角三角形一定有一个角大于90°
D． 同位角相等
考点： 命题与定理．
分析： 根据等边三角形的判定方法对A进行判断；根据余角的定义对B进行判断；根据钝角三角形的定义对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断．
解答： 解：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是真命题；等角的余角相等是真命题；钝角三角形一定有一个角大于90°是真命题；两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题．
故选D．
点评： 本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
5．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A． a：b：c=2：3：4 B． a=3，b=4，c=3
C． ∠B=50°，∠C=80° D． ∠A：∠B：∠C=1：1：2
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
解答： 解：A、∵a：b：c=2：3：4，
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
B、∵a=3，b=4，c=3，
∴a=c，
∴△ABC是等腰三角形；
C、∵∠B=50°，∠C=80°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
点评： 此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．
6．如图1是玩具拼图模板的一部分，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中能和△ABC完全重合的是（ ）
A． 甲和丙 B． 丙和乙 C． 只有甲 D． 只有丙
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据“SAS”可判断图1中的△ABC与甲中的三角形全等，与乙中的三角形不全等；根据“AAS”可判断图1中的△ABC与丙中的三角形全等．
解答： 解：∵图1中a与c的夹角为50°，甲中a与c的夹角为50°，
∴图1中的△ABC与甲中的三角形全等；
图1中的△ABC与乙中的三角形不全等；
对于丙和图1的三角形，有两个角50°、72°分别相等，且72°所应的边相等，
∴图1中的△ABC与丙中的三角形全等．
故选A．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
7．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A． 75° B． 120° C． 30° D． 30°或120°
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
专题： 分类讨论．
分析： 等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算．
解答： 解：分两种情况：
当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；
当30°的角是顶角时候，则顶角为30°．
故选D．
点评： 在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．
8．已知AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为20，则△ABE的面积为（ ）
A． 5 B． 10 C． 15 D． 18
考点： 三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
分析： 利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．
解答： 解：∵AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，
∴S△ABE= S△ABC= ×20=5．
故选A．
点评： 本题利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形的性质求解．
9．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A． B． C． D．
考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
分析： 连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
解答： 解：连接AM，
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM= = =4，
又S△AMC= MN•AC= AM•MC，
∴MN= = ．
故选：C．
点评： 综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
10．如图，直线m，n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点c，使△ABC是等腰三角形，这样的C点有多少个？（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 线段AB可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分情况进行讨论．
解答： 解：分两种情况：
①当AB为腰长时，存在3个等腰三角形，如图，
其中AB=AC时，有1个；AB=BC时，有2个；
②当AB为底边时，有1个，如图．
所以△ABC是等腰三角形时，这样的C点有4个．
故选D．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定，难度适中，运用数形结合及分类讨论是正确解答本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．△ABC中，已知∠A=100°，∠B=60°，则∠C= 20° ．
考点： 三角形内角和定理．
分析： 由三角形的内角和定理可得到∠A+∠B+∠C=180°，再把∠A、∠B代入计算即可．
解答： 解：由三角形的内角和定理可得到∠A+∠B+∠C=180°，
∵∠A=100°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣100°﹣60°=20°，
故答案为：20°．
点评： 本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形的三个内角和为180°是解题的关键．
12．请写出定理：“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ．
考点： 命题与定理．
分析： 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
解答： 解：根据等角对等边知，“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
点评： 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．如图，已知∠ABC=∠DBC，要使△ABC≌△DBC，请添加一个条件 AB=DB或∠A=∠D或∠ACB=∠DCB ．（只需写出一个条件）
考点： 全等三角形的判定．
分析： 已知∠ABC=∠DBC，BC=BC，要使△ABC≌△DBC，还缺一角或一边，结合图形可得答案．
解答： 解：已知∠ABC=∠DBC，BC=BC，
当AB=DB时，
∵ ，
∴△ABC≌△BDC（SAS）；
当∠A=∠D时，
∵ ，
∴△ABC≌△BDC（AAS）；
当∠ACB=∠DCB时，
∵ ，
∴△ABC≌△BDC（ASA）．
故答案为：AB=DB或∠A=∠D或∠ACB=∠DCB．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．直角三角形两直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为 2.5 ．
考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
分析： 已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．
解答： 解：已知直角三角形的两直角边为3、4，
则斜边长为 =5，
故斜边的中线长为 ×5=2.5．
故应填：2.5．
点评： 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了斜边中线长为斜边长的一半的性质，本题中正确的运用勾股定理求斜边的长是解题的关键．
15．在一个平面内把7根同样长的火柴棒首尾相接，围成一个等腰三角形，最多能围成 2 种不同的等腰三角形．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形腰的情况讨论求解．
解答： 解：腰长为2根火柴棒时，底边是7﹣2×2=3，
能组成三角形，
腰长是3个火柴棒时，底边是7﹣3×2=1，
能组成三角形，
综上所述，最多能围成2种本同的等腰三角形．
故答案为：2．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了两腰相等的性质，要注意利用三角形的三边关系判断能否组成三角形．
16．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF的锐角顶点D放在另一块直角三角板（∠B=60°）的斜边AB上，两块三角板的直角边交于点M．如果∠BDE=75°，那么∠AMD的度数是 90° ．
考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．
分析： 由题意得：∠A=30°，∠FDE=45°，利用平角等于180°，可得到∠ADF的度数，在△AMD中，利用三角形内角和为180°，可以求出∠AMD的度数．
解答： 解：∵∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵∠BDE=75°，∠FDE=45°，
∴∠ADF=180°﹣75°﹣45°=60°，
∴∠AMD=180°﹣30°﹣60°=90°，
故答案为：90°．
点评： 此题主要考查了三角形的内角和定理的应用，题目比较简单，关键是要注意角之间的关系．
17．如图，AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD=8，则点C到AE，BF的距离之和为 16 ．
考点： 角平分线的性质．
分析： 首先过点C作CM⊥AE于点M，过点C作CN⊥BF于点N，由AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，△ABC的高CD=8，根据角平分线的性质，可得CM=CD=8，CN=CD=8，继而求得答案．
解答： 解：过点C作CM⊥AE于点M，过点C作CN⊥BF于点N，
∵AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，△ABC的高CD=8，
∴CM=CD=8，CN=CD=8，
∴点C到AE，BF的距离之和为：CM+CN=16．
故答案为：16．
点评： 此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．
18．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 76 ．
考点： 勾股定理的证明．
分析： 由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
解答： 解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则
x2=4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5=30
则x=13，y=6．
∴这个风车的外围周长是：4（x+y）=4×19=76．
故答案是：76．
点评： 本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题．
三、解答题（共6小题，满分46分）
19．如图，已知AB=AC，∠1=∠2，∠B=∠C，则BD=CE．请说明理由：
解：∵∠1=∠2
∴∠1+∠BAC=∠2+ ∠BAC ．
即∠EAC=∠DAB．
在△ABD和△ACE中，
∠B= ∠C （已知）
∵AB= AC （已知）
∠EAC= ∠DAB （已证）
∴△ABD≌△ACE（ ASA ）
∴BD=CE（ 全等三角形的对应边相等 ）
考点： 全等三角形的判定．
分析： 根据∠1=∠2，可得∠1+∠BAC=∠2+∠BAC，∠EAC=∠DAB，然后根据已知条件∠B=∠C，BD=CE，利用ASA证明△ABD≌△ACE，然后根据全等三角形的对应边相等可证明BD=CE．
解答： 解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC，
即∠EAC=∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
∠B=∠C（已知），
∵AB=AC（已知），
∠EAC=∠DAB（已证），
∴△ABD≌△ACE（ ASA），
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：∠BAC，∠C，AC，∠DAB，ASA，全等三角形的对应边相等．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．图（a）和图（b）是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的长均为1．请分别画出符合要求的图形，所画图形的各顶点必须与方格纸中的小正方形的顶点重合．
（1）请在图（a）中画出一个面积为6的等腰三角形．
（2）请在图（b）中画出一个边长为 的等腰直角三角形．
考点： 作图—应用与设计作图．
分析： （1）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质得出即可；
（2）利用勾股定理得出当直角边为 或斜边为 时，任画一种即可．
解答： 解：（1）如图所示：有三种画法，任画一种即可；
（2）如图所示：图（b）有二种画法，任画一种即可．
点评： 此题主要考查了三角形面积求法以及等腰三角形的性质和勾股定理应用等知识，注意答案不唯一．
21．如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC．
（1）请找出图中的一个等腰三角形，并说明它是等腰三角形的理由．
（2）若∠A=70°，∠B=30°，求∠DEC的度数．
考点： 等腰三角形的判定与性质．
分析： （1）△CDE是等腰三角形，利用等腰三角形的定义进行判定即可；
（2）利用DE∥AC及余角与补角即可求解；
解答： 解：（1）△CDE是等腰三角形，理由如下：
∵CD平分∠ACB
∴∠ECD=∠DCA
∵DE∥AC
∴∠EDC=∠DCA
∴∠ECD=∠EDC
∴EC=ED，即△CDE是等腰三角形；
（2）∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A=70°
∴∠DEC=∠B+∠BDE=30°+70°=100°．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的判定与性质．
22．如图，有一个△ABC，三边长为AC=6，BC=8，AB=10，沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）求线段CD的长．
考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
分析： （1）利用勾股定理得的逆定理判断得出即可；
（2）设CD=x，则DE=x，BD=8﹣x在Rt△BDE中，则DE2+BE2=BD2，进而求出即可．
解答： 解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，∵62+82=102，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°；
（2）∵△ADE是△ADC沿直线AD翻折而成，
∴∠C=∠DEB=90°，CD=DE，AC=AE=6，
设CD=x，则DE=x，BD=8﹣x，
在Rt△BDE中，∵DE2+BE2=BD2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
∴x2+16=64﹣16x+x2，
∴x=3，即CD长为3．
点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，根据已知表示出DE，BD的长利用勾股定理得出是解题关键．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD=EC．
（1）求证：△BDA≌△CEA；
（2）请判断△ADE是什么三角形，并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
分析： （1）易证∠ACE=∠CBD，BC=AC，即可证明△BDA≌△CEA，即可解题；
（2）根据（1）中结论可得AE=CD，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质可得DE=AD，即可解题．
解答： 证明：（1）∵D是AC中点，
∴∠CBD=∠ABD=30°，∠BDA=90°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACE=30°，
在△BDA和△CEA中，
，
∴△BDA≌△CEA（AAS）；
（2）∵△BDA≌△CEA，
∴AE=CD，
∵RT△AEC中，∠ACE=30°，
∴DE= AC=AD，
∵AD=CD，
∴AD=DE=AE．
点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDA≌△CEA是解题的关键．
24．如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP=3，求△ABP的周长．
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由．
（3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D= ．（请直接写出答案）
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理的应用．
分析： （1）根据勾股定理直接求出AP的值就可以求出结论；
（2）延长线段AP、DC交于点E，就可以得出△DPA≌△DPE，就有AP=PE，在证明△APB≌△EPC就可以得出结论；
（3）连接AB′，PB′，作B′E⊥CD于E，就可以得出PB′=CE=1，DE=2，在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出结论．
解答： 解：（1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°，
∴AP2=AB2+BP2，
∴ ，
∴AP+AB+BP= ，
∴△APB的周长为 ；
（2）PB=PC，
理由如下：
延长线段AP、DC交于点E
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠EDP．
∵DP⊥AP，
∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．
在△DPA和△DPE中，
，
∴△DPA≌△DPE（ASA），
∴PA=PE．
∵AB⊥BP，CM⊥CP，
∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．
在△APB和△EPC中，
，
∴△APB≌△EPC（AAS），
∴PB=PC；
（3）∵△PDC是等腰三角形，∠C=90°，
∴PC=CD，∠DPC=∠PDC=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°，
∵∠APB+∠DPC=90°．
∴∠APB=45°°
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=45°，
∴∠BAP=∠BPA，
∴AB=PB=1．
∴PC=3
∵点B与点B′关于AP 对称，
∴△ABP≌AB′P，
∴BP=PB′=1．AB=AB′．
∵∠B=90°，
∴四边形ABPB′是正方形，
∴∠BPB′=90°，
∴∠B′PC=90°，
∵B′E⊥CD，
∴∠B′EC=90°．
∴四边形B′PCE是矩形，
∴PB′=CE=1，B′E=PC=3
∴DE=2，
在Rt△B′DE中，由勾股定理，得
B′D= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，矩形的性质的运用，解答时正确添加辅助线，灵活运用勾股定理是关键．