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2014-2015学年浙江省温州市泰顺县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等边三角形
C． 直角三角形 D． 等腰直角三角形
3．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A． 3，4，5 B． 5，12，13 C． 6，8，10 D． 4，5，6
4．下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
5．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A． 第1块 B． 第2块 C． 第3块 D． 第4块
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A． 直角都相等 B． 等边三角形是锐角三角形
C． 相等的角是对顶角 D． 全等三角形的对应角相等
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD的长度相等的线段有（ ）
A． AD与BD B． BD与BC C． AD与BC D． AD、BD与BC
8．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）
A． 180° B． 150° C． 135° D． 120°
9．下列条件中 ，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A． 两个锐角对应相等
B． 一条边和一个锐角对应相等
C． 两条直角边对应相等
D． 一条直角边和一条斜边对应相等
10．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 14
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．等腰三角形一边长为1cm，另一边长为2cm，它的周长是 cm．
12．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B= ．
13．一个等腰三角形底边上的高、 和顶角的 互相重合．
14．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是 ．
15．如图，把一副三角板按如图所示放置，已知∠A=45°，∠E=30°，则两条斜边相交所成的钝角∠AOE的度数为 度．
16．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C ′=∠DOC．由这种作图方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依据是 （写出全等判定方法的简写）．
17．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面积是 cm2．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
三、解答题（共38分）
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高线，若AB=10，BC=12，求AD的长．
20．先填空，后作图：
（1）到一个角的两边距离相等的点在它的 上；
（2）到线段两端点距离相等的点在它的 上；
（3）如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
21．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
22．已知：等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，求证：∠APE=60°．
23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1） 特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
2014-2015学年浙江省温州市泰顺县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）
A． B． C． D．
考点： 全等图形．
分析： 根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
解答： 解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
点评： 此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状大小完全相同的两个图形是全等形．
2．下列图形中，对称轴最多的是（ ）
A． 等腰三角形 B． 等边三角形
C． 直角三角形 D． 等腰直角三角形
考点： 轴对称的性质．
分析： 根据轴对称图形的对称轴的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．
解答： 解：A、等腰三角形的对称轴有1条；
B、等边三角形有3条对称轴；
C、直角三角形不一定有对称轴；
D、等腰直角三角形的对称轴有1条；
综上所述，对称轴最多的是等边三角形．
故选：B．
点评： 考查了轴对称图形的对称轴的概念，能够正确找到各个图形的对称轴．
3．以下列各数为边长，不能组成直角三角形的是（ ）
A． 3，4，5 B． 5，12，13 C． 6，8，10 D． 4，5，6
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理知，当三角形中三边存在：a2+b2=c2关系时是直角三角形．
解答： 解：A、能，因为32+42=52；
B、能，因为52+122=132；
C、能，因为62+82=102；
D、不能，因为42+52=≠62，不符合勾股定理的逆定 理．
故选D．
点评： 本题考查了用勾股定理的逆定理判定直角三角形，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 三角形的稳定性；多边形．菁 优网版权所有
分析： 三角形具有稳定性，只要选项中的图形可以分解成三角形，则图形就有稳定性，据此即可确定．
解答： 解：A、可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
B、可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；
C、可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
D、可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解各个图形具有稳定性的条件是解题的关键．
5．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去．
A． 第1块 B． 第2块 C． 第3块 D． 第4块
考点： 全等三角形的应用．
分析： 本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
解答： 解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选B．
点评： 本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A． 直角都相等 B． 等边三角形是锐角三角形
C． 相等的角是对顶角 D． 全等三角形的对应角相等
考点： 命题与定理．
分析： 先分别写出四个命题的逆命题，然后根据直角的定义、等边三角形的判定、对顶角的性质和全等三角形的判定分别进行判断．
解答： 解：A、直角都相等的逆命题为相等的角都是直角，此逆命题为假命题，所以A选项错误；
B、等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C、相等的角是对顶角的逆命题为对顶角相等，此逆命题为真命题，所以C选项正确；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角 形全等，此逆命题为假命题，所以D选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，则图中与CD的长度相等的线段有（ ）
A． AD与BD B． BD与BC C． AD与BC D． AD、BD与BC
考点： 直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形．菁优网 版权所有
分析： 根据直角三角形的性质可得CD=BD=AD，再结合∠A=30°，可得BC= AB，可得结论．
解答： 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=BC=BD=AD= AB，
故选D．
点评： 本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
8．如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ）
A． 180° B． 150° C． 135° D． 120°
考点： 圆心角、弧、弦的关系．
专题： 压轴题．
分析： 根据点A、B、C、D、E五等分圆可求出每条弧的度数，再根据圆周角定理即可得出答案．
解答： 解：∵点A、B、C、D、E五等分圆，
∴ = = = = = =72°，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，
∵∠ADB= = ×72°=36°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×36°=180°．
故选A．
点评： 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，能根据题意得出每条弧的度数是解答此题的关键．
9．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A． 两个锐角对应相等
B． 一条边和一个锐角对应相等
C． 两条直角边对应相等
D． 一条直角边和一条斜边对应相等
考点： 直角三角形全等的判定．
分析： 直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
解答： 解：A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；
C、符合判定ASA，故本选项不符合题意；
D、符合判定HL，故本选项不符合题意．
故选A．
点评： 本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 14
考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
分析： 如图，易证△CDE≌△ABC，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=1+3=4．
解答： 解：∵在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB=CD，BC=DE，
∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，
同理可证FG2+LK2=HL2=1，
∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．
故选A．
点评： 本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB2+DE2=DE2+C D2=CE2是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．等腰三角形一边长为1cm，另一边长为2cm，它的周长是 5 cm．
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为1cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解答： 解：分两种情况：
当腰为1cm时，1+1=2，所以不能构成三角形；
当腰为2cm时，1+2＞2，所以能构成三角形，周长是：1+2+2=5（cm）．
故答案为：5．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B= 20° ．
考点： 直角三角形的性质．
分析： 根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
解答： 解：∵∠C=Rt∠，∠A=70°，
∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣70°=20°．
故答案为：20°．
点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
13．一个等腰三角形底边上的高、 底边上的中线 和顶角的 平分线 互相重合．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
解答： 解：一个等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合．
故答案为底边上的中线，
点评： 本题考查了等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
14．如图，已知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是 ∠ACB=∠DBC（或AB=CD） ．
考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 要使△ABC≌△DCB，根据三角形全等的判定方法添加适合的条件即可．
解答： 解：∵AC=BD，BC=BC，
∴可添加∠ACB=∠DBC或AB=CD分别利用SAS，SSS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：∠ACB=∠DBC（或AB=CD）．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15．如图，把一副三角板按如图所示放置，已知∠A=45°，∠E=30°，则两条斜边相交所成的钝角∠AOE的度数为 165 度．
考点： 三角形的外角性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先求出∠EBO的度数，然后再求∠AOE．
解答： 解：∵∠A=45°，∠E=30° ，
∴∠EBO=∠A+∠C=45°+90°=135°，
∠AOE=∠EBO+∠E=135°+30°=165°．
故答案为：165．
点评： 本题主要考查了三角形的外角性质，是基础题，需要熟练掌握．
16．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△D′O′C′≌△DOC，所以∠D′O′C′=∠DOC．由这种作图方法得到的△D′O′C′和△DOC全等的依据是 SSS （写出全等判定方法的简写）．
考点： 全等三角形的判定；作图—基本作图．
专题： 常规题型．
分析： 利用基本作图得到OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，于是可利用“SSS”判断△D′O′C′≌△DOC，然后根据全等三角形的性质得到角相等．
解答： 解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，
所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′≌△DOC，
所以∠D′O′C′=∠DOC．
故答案为“SSS”．
点评： 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
17．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面积是 30 cm2．
考点： 角平分线的性质．
专题：
分析： 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC的距离等于5，从而求得△APC的面积．
解答： 解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，PB=5cm，
∴点P到AC的距离等于5cm，
∵AC=12cm，∴△APC的面积=12×5÷2=30cm2，
故答案为30．
点评： 本题主要考查了角平分线的性质定理，难度适中．
18．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．
考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为：15．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．
三、解答题（共38分）
19．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高线，若AB=10，BC=12，求AD的长．
考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
分析： 先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理求出AD的长即可．
解答： 解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=6．
由勾股定理得，AD= = =8．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
20．先填空，后作图：
（1）到一个角的两边距离相等的点在它的 角平分线 上；
（2）到线段两端点距离相等的点在它的 垂直平分线（或中垂线） 上；
（3）如图，两条公路AB与CB，C、D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
考点： 作图—应用与设计作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
分析： （1）根据角平分线的性质填空即可；
（2）根据线段垂直平分线定理填空即可；
（3）作 出∠ABC的角平分线BE，与线段CD的垂直平分线有一交点就是菜市场的位置．
解答： 解：（1）角平分线；
（2）垂直平分线（或中垂线）；
（3）如图所示：点P就是菜市场的位置．
点评： 此题主要考查了作图与应用作图，以及线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
21．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 证明题．
分析： 根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全等三角形分别为：△AOB≌△AOD，
△COB≌△COD，△ABC≌△ADC．
解答： （1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（3分）
（2）证明△ABC≌△ADC．
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．（6分）
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．已知：等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于P点，求证：∠APE=60°．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题： 证明题．
分析： 先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，故可得出∠BAD=∠EBC，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解答： 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠EBC，
∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°．
点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
23．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．
考点： 全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形的判 定与性质．
专题： 计算题；证明题；压轴题；分类讨论．
分析： （1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，∠ABC=60°，求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE即可得到答案；
（2）作EF∥BC，证出等边三角形AEF，再证△DBE≌△EFC即可得到答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．
解答： 解：（1）答案为：=．
（2）答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD．
（3）解：分为四种情况：
如图1：
∵AB=AC=1，AE=2，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=1+2=3．
如图2，
过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN= BC= ，CM=MD= CD，AN∥EM，
∴△BAN∽△BEM，
∴ = ，
∵△ABC边长是1，AE=2，
∴ = ，
∴MN=1，
∴CM=MN﹣CN=1﹣ = ，
∴CD=2CM=1；
如图3，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED；
如图4
∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是3或1．
点评： 本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．