【www.doubiweb.com--学校讲话】
2014-2015学年江苏省南通市海门市正余初中八年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择 题：（每小题2分，共20分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． a3•a4=a12 B． a3+a3=2a6 C． a3÷a3=0 D． 3x2•5x3=15x5
2．要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≤1 B． x≥1 C． x＞0 D． x＞﹣1
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A． 8，15，19 B． 1， ， C． 12，15，9 D． 0.3，0.4，0.5
4．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（ ）
A． B． C． 15 D． 2
5．若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A． x=3 B． x=0 C． x=﹣3 D． x=﹣4
6．若ab＜0，则代数式 可化简为（ ）
A． a B． a C． ﹣a D． ﹣a
7．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A． 50° B． 80° C． 50°或80° D． 40°或65°
8．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，E是CD的中点，则EO等于（ ）
A． 3 B． 4 C． 1.5 D． 2
9．若方程 有增根，则增根可能为（ ）
A． 0 B． 2 C． 0或2 D． 1
10．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A． 36° B． 18° C． 27° D． 9°
二、填空题（每题2分，共16分）
11．计算： = ．
12．已知|a+1|+ =0，则ab= ．
13．分解因式：x3y﹣xy3= ．
14．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，AB=6cm，两条对角线长的和为24cm，则△COD的周长为 ．
15．x2+kx+9是完全平方式，则k= ．
16．已知 ，那么 = ．
17．如图，▱ABCD放入直角坐标系，BC在x轴上，且AB=4，BC=3，∠ABC=45°，则点D的坐标为 ．
18．在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共64分）
19．计算
（1） ﹣（π﹣3）0+
（2）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）
20．先将代数式 化简，再从选取一个你喜欢的整数x代入求值．
21．解分式方程：
（1） =
（2） +1= ．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1=∠2
求证：BE=DF．
23．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）
24．某县城驻地为治理污水，需要铺一段全长为300m的污水排放管道．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
25．如图，在四边形ABCD中， ∠B=90°，AB= ，∠BAC=30°，CD=2，AD=2 ，求四边形ABCD的面积．
26．若x、y为实数，且满足 ，求 的值．
27．已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F，
（1）求证：△ACF是等腰三角形；
（2）若CD=16cm，AD=8cm，求△ACF的面积．
28．已知：如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动， 它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），
解答下列各问题：
（1）填空：△ABC的面积为 cm2．
（2）当t为何值时，△PBQ是等边三角形？
（3）当△PBQ是直角三角形时，求t的值．
2014-2015学年江苏省南通市海门市正余初中八年级（上）月考数学试卷（1月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题2分，共20分）
1．下列运算正确的是（ ）
A． a3•a4=a12 B． a3+a3=2a6 C． a3÷a3=0 D． 3x2•5x3=15x5
考点： 同底数幂的除法；同底数幂的乘法；单项式乘单项式．
分析： 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；单项式的乘法法则，合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
解答： 解：A、应为a3•a4=a7，故本选项错误；
B、应为a3+a3=2a3，故本选项错误；
C、应为a3÷a3=a0=1，错误；
D、3x2•5x3=15x5，正确．
故选D．
点评： 本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法和除法，单项式的乘法，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
2．要使式子 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≤1 B．x≥1 C． x＞0 D． x＞﹣1
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，1﹣x≥0，
解得x≤1．
故选A．
点评： 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A． 8，15，19 B． 1， ， C． 12，15，9 D． 0.3，0.4，0.5
考点： 勾股数．
分析： 根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，据此判断即可．
解答： 解：A、因为82+152≠192，故不是勾股数，故此选项错误；
B、因为不是正整数，故一定不是勾股数，故此选项错误；
C、因为122+92=152，故是勾股数．故此选项正确；
D、因为勾股数必须是正整数，故不是勾股数．故此选项错误；
故选：C．
点评： 此题主要考查了勾股数的判定方法，比较简单，首先看各组数据是否都是正整数，再检验是否符合勾股定理的逆定理．
4．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是（ ）
A． B． C． 15 D． 2
考点： 勾股定理；坐标与图形性质．
分析： 在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，由PE及OE的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
解答： 解：过P作PE⊥x轴，连接OP，
∵P（﹣2，3），
∴PE=3，OE=2，
∴在Rt△OPE中，根据勾股定理得：OP2=PE2+OE2，
∴OP= = ，则点P在原点的距离为 ．
故选B．
点评： 此题考查了勾股定理，以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键．
5．若分式 的值为0，则x的值是（ ）
A． x=3 B． x=0 C． x=﹣3 D． x=﹣4
考点： 分式的值为零的条件．
分析： 根据分式值为零的条件可得x﹣3=0，且x+4≠0，再解即可．
解答： 解：由题意得：x﹣3=0，且x+4≠0，
解得：x=3，
故选：A．
点评： 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．若ab＜0，则代数式 可化简为（ ）
A． a B． a C． ﹣a D． ﹣a
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 二次根式有意义，就隐含条件b＜0，由ab＜0，先判断出a、b的符号，再进行化简即可．
解答： 解：若ab＜0，且代数式 有意义；
故由b＞0，a＜0；
则代数式 =|a| =﹣a ．
故选C．
点评： 本题主要考查二次根式的化简方法与运用：当a＞0时， =a；当a＜0时， =﹣a；当a=0时， =0．
7．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A． 50° B． 80°C． 50°或80° D． 40°或65°
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
专题： 分类讨论．
分析： 因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．
解答： 解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2=80°；
②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．
故选：C．
点评： 根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．
8．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，E是CD的中点，则EO等于（ ）
A． 3 B． 4 C． 1.5 D． 2
考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=4，又由点O、E分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=4，BO=DO，
∵点O、E分别是BD、CD的中点，
∴EF=BC= ×4=2．
故选D．
点评： 此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
9．若方程 有增根 ，则增根可能为（ ）
A． 0 B． 2 C． 0或2 D． 1
考点： 分式方程的增根．
专题： 计算题．
分析： 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的最简公分母是x（x﹣2），方程有增根，那么最简公分母为0，进而舍去不合题意的解即可．
解答： 解：∵最简公分母是x（x﹣2），
方程有增根，则x（x﹣2）=0，
∴x=0或x=2．
去分母得：3x=a（x﹣2）+4
当x=0时，﹣2a=4，
a=﹣2；
当x=2时，3x=4，
此时x= ≠2，
∴增根只能为x=0，
故选A．
点评： 增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．
10．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（ ）
A． 36° B． 18° C． 27° D． 9°
考点： 矩形的性质；三角形内角和定理．
分析： 本题首先根据∠ADE：∠EDC=3：2可推出∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出△ODC各角的度数便可求出∠BDE．
解答： 解：已知∠ADE：∠EDC=3：2⇒∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又因为DE⊥AC，所以∠DCE=90°﹣36°=54°，
根据矩形的性质可得∠DOC=180°﹣2×54°=72°
所以∠BDE=180°﹣∠DOC﹣∠DEO=18°
故选：B．
点评： 本题考查的是三 角形内角和定理以及矩形的性质，难度一般．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．计算： = 7 ．
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 根据算术平方根的定义即可求解．
解答： 解： = =7．
故答案是：7．
点评： 本题考查了二次根式的性质，理解算术平方根的定义是关键．
12．已知|a+1|+ =0，则ab= ﹣2 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
分析： 根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：由题意得，a+1=0，b﹣2=0，
解得a=﹣1，b=2，
所以，ab=﹣1×2=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评： 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
13．分解因式：x3y﹣xy3= xy（x+y）（x﹣y） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： 首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解．
解答： 解：x3y﹣xy3，
=xy（x2﹣y2），
=xy（x+y）（x﹣y）．
点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，AB=6cm，两条对角线长的和为24cm，则△COD的周长为 18cm ．
考点： 平行四边形的性质．
分析： 根据平行四边形的对角线互相平分，求出DO+CO的值，继而可得△COD的周长．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO+CO= （AC+BD）=12cm，CD=AB=6cm，
∴△COD的周长=12cm+6cm=18cm．
故答案为：18cm．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
15．x2+kx+9是完全平方式，则k= ±6 ．
考点： 完全平方式．
分析： 这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k=±6．
解答： 解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k=±6．
点评： 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
16．已知 ，那么 = ± ．
考点： 完全平方公式．
专题： 计算题．
分析： 根据知 ，求出a2+（ ）2=8，再将 化为± ，据此求出 的值．
解答： 解：∵ ，
∴（ ）2=（ ）2，
∴a2+2a• +（ ）2=10，
∴a2+2+（ ）2=10，
∴a2+（ ）2=10﹣2，
∴a2+（ ）2=8，
∴ =±
=±
=±
=± ．
故答案为± ．
点评： 本题考查了完全平方式，整体思想的正确运用是解题的关键，同时要熟悉完全平方式．
17．如图，▱ABCD放入直角坐标系，BC在x轴上，且AB=4，BC=3，∠ABC=45°，则点D的坐标为 （3+2 ，2 ） ．
考点： 平行四边形的性质；坐标与图形性质．
分析： 过点D作DE⊥BC于E，分别求出BE和DE的长，即可求出点D的坐标．
解答： 解：过点D作DE⊥BC于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AD=BC=3，AB∥CD，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCE=45°，
∴DE=CE=2 ，
∴BE=BC+CE=3+2 ，
∴点D的坐标为（3+2 ，2 ），
故答案为：（3+2 ，2 ）．
点评： 本题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解题的 关键是作出点D到BE的距离，构造直角三角形利用特殊角的锐角三角函数值求出DE的长．
18．（2分）（2012• 襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 或4 或4 ．
考点： 等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁 优网版权所有
专题： 压轴题；分类讨论．
分析： 此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．
解答： 解：（1）当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD= AC= ×8=4；
（2）当AB=BC时，
则∠A=∠ACB=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4 ；
（3）当AC=BC时，
则AD=4，
∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4= ；
故答案为： 或4 或4．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．
三、解答题（本大题共10小题，共64分）
19．计算
（1） ﹣（π﹣3）0+
（2）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）
考点： 实数的运算；整式的混合运算；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．
解答： 解：（1）原式=5﹣1﹣3=1；
（2）原式=4x2﹣y2+x2+2xy+y2﹣4x2+2xy=x2+4xy．
点评： 此题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．先将代数式 化简，再从选取一个你喜欢的整数x代入求值．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式= ÷
= ×
=x﹣1，
当x=2时，原式=2﹣1=1．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意x的取值范围要保证分式有意义．
21．解分式方程：
（1） =
（2） +1= ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：（1）去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解；
（2）去分母得：4x+2x+6=7，
移项合并得：6x=1，
解得：x= ，
经检验x= 是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．如图 ，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD上的点，∠1=∠2
求证：BE=DF．
考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据平行四边形ABCD的性质可得∠B=∠D，AB=CD，然后证明△ABE≌△CDF，利用全等三角形的性质即可证得．
解答： 证明：∵平行四边形ABCD中，∠B=∠D，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF．
点评： 本题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证明两线段相等的常用方法是证明三角形全等．
23．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）
考点： 作图—应用与设计作图．
专题： 网格型；开放型．
分析： （1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为无理数的线段，画三角形即可．
解答： 解：
点评： 本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．
24．某县城驻地为治理污水，需要铺一段全长为300m的污水排放管道．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．
考点： 分式方程的应用．
分析： 设原计划每天铺设管道的长度为xm，则增加后每天的工作效率为（1+20%）x，找出等量关系：铺设120m的时间+铺设（300﹣120）m的时间=30天，列方程求解即可．
解答： 解：设原计划每天铺设xm管道，则后来的工作效率为（1+20%）x，
根据题意，得 + =30，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设管道的长度为9m．
点评： 本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量÷工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
25．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB= ，∠BAC=30°，CD=2，AD=2 ，求四边形ABCD的面积．
考点： 勾股定理的逆定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析： 首先根据三角函数计算出BC、AC的长，再根据数之间的关系证明AC2+CD2=AD2，进而得到∠ACD=90°，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算即可．
解答： 解：∵AB= ，∠BAC=30°，
∴BC=AB•tan30°= × =1，
∴AC=2，
∵22+22=（2 ）2，
即：AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×1× + 2×2= +2．
点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理，以及三角函数，关键是证明∠ACD=90°．
26．若x、y为实数，且满足 ，求 的值．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题；分类讨论．
分析 ： 根据二次根式的被开方数大于等于0，求得x、y的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
解答： 解：由二次根式有意义可得： →x2=4x=2或x=﹣2y=3（3分）
（1）当 时
（2）当 时
所以原式的值为 或2（6分）
点评： 本题主要考查了二次根式有意义的条件．解答该题时，利用了“分类讨论”的数学思想，以防漏解．
27．已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F，
（1）求证：△ACF是等腰三角形；
（2）若CD=16cm，AD=8cm，求△ACF的面积．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 计算题．
分析： （1）由折叠得到一对角相等，再利用两直线平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到AF=CF，得证；
（2）设DF=xcm，可得出AF=FC=（16﹣x）cm，在直角三角形ADF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FC的长，即可求出三角形ACF面积．
解答： （1）证明：∵将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，
∴∠EAC=∠BAC，
∵长方形ABCD，即DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AF=CF，
则△ACF为等腰三角形；
（2）解：设DF=xcm，则AF=CF=CD﹣DF=（16﹣x）cm，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AF2=AD2+DF2，
即（16﹣x）2=82+x2，
解得：x=6，
∴CF=16﹣6=10cm，
则S△ACF= CF•AD=40cm2．
点评： 此题考查了折叠变换，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
28．已知：如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），
解答下列各问题：
（1）填空：△ABC的面积为 9 cm2．
（2）当t为何值时，△PBQ是等边三角形？
（3）当△PBQ是直角三角形时，求t的值．
考点： 等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
专题： 动点型．
分析： （1）如图1，作辅助线；求出AM的长度，借助面积公式，即可解决问题．
（2）由BP=BQ，列出关于t的方程，即可解决问题．
（3）运用分类讨论的数学思想，按∠PQB=90°或∠BP′Q′=90°两种情况逐一解析，即可解决问题．
解答： 解：（1）如图1，过点A作AM⊥BC于点M；
∵△ABC为等边三角形，且边长为6，
∴AB=AC=6，BM=CM=3，∠B=60°，
∴BM= AB=3，AM=3 ；
∴△ABC的面积= ×6×3 =9 （cm2）．
故答案为9 ．
（2）如备用图1，由（1）知∠B=60°，
∴当PB=BQ时，△PBQ为等边三角形；
∴6﹣t=t，解得：t=3，
即当t=3s时，△PBQ为等边三角形．
（3）如备用图2，若∠PQB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，PB=2BQ；
即6﹣t=2t，解得：t=2s；
若∠BP′Q′=90°，
同理可求：t=4s．
∴当t=2s或4s时，△PBQ是直角三角形．
点评： 该题主要考查了等边三角形的判定及其性质、直角三角形的边角关系等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．