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2014-2015学年江苏省盐城市盐都区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列实数3.14， ， ，0.121121112， 中，无理数有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．设三角形的三边长分别等于下列各数，能构成直角三角形的是（ ）
A． 2，4，6 B． 4，5，6 C． 5，6，10 D． 6，8，10
4．如果等腰直角三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ）
A． 8cm B． 10cm C． 11cm D． 8cm或10cm
5．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
6．如图，△ABC中，AB=5，AC=8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A． 12 B． 13 C． 14 D． 18
7．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填在题中横线上
9．4的平方根是 ．
10．如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是 ．
11．如果△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠B=55°，那么∠E= ．
12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若AB=10，则CD的长等于 ．
13．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 cm．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于D，则∠DBC= 度．
15．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇向一边倾斜，顶端齐至水面，芦苇移动的距离为5尺，则芦苇的长度是 尺．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
17．若直角三角形的三边分别为3，4，x，则x= ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为 ．
三、解题题：本大题共9小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．计算：
（1） ﹣（1﹣π）0
（2）已知（x﹣1）2=25，求x的值．
20．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若∠D=35°，求∠DCE的度数．
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 ．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E．
（1）求∠DBC的度数；
（2）猜想△BCD的形状并证明．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=3，求DF的长．
24．（10分）（2014秋•盐都区期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，
（1）若∠1=55°，求∠2，∠3的度数；
（2）若AB=8，AD=16，求AE的长度．
25．（10分）（2011秋•都江堰市校级期末）如图，一架梯子的长度为25米，斜靠在墙上，梯子低部离墙底端为7米．
（1）这个梯子顶端离地面有 米；
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
26．（10分）（2014秋•盐都区期中）△ABC中，DE，FG分别垂直平分边AB，AC，垂足分别为点D，G．
（1）如图，①若∠B=30°，∠C=40°，求∠EAF的度数；
②如果BC=10，求△EAF的周长；
③若AE⊥AF，则∠BAC= °．
（2）若∠BAC=n°，则∠EAF= °（用含n代数式表示）
27．（12分）（2015•盘锦四模）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
2014-2015学年江苏省盐城市盐都区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形和的概念和各图形特点解答即可．
解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选A．
点评： 本题考查了轴对称图形的特点，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合；
2．下列实数3.14， ， ，0.121121112， 中，无理数有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 无理数．
分析： 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
解答： 解： ，π是无理数，
故选：B．
点评： 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．设三角形的三边长分别等于下列各数，能构成直角三角形的是（ ）
A． 2，4，6 B． 4，5，6 C． 5，6，10 D． 6，8，10
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
解答： 解：A、22+42≠62，不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+52≠62，不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠102，不是直角三角形，故此选项错误；
D、62+82=102，是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
4．如果等腰直角三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ）
A． 8cm B． 10cm C． 11cm D． 8cm或10cm
考点： 勾股定理．
分析： 分两种情况：①底为2cm，腰为4cm时，求出三角形的周长即可；
②底为4cm，腰为2cm时；2+2=4，由三角形的三边关系得出不能构成三角形．
解答： 解：分两种情况：
①底为2cm，腰为4cm时，
等腰三角形的周长=2+4+4=10（cm）；
②底为4cm，腰为2cm时，
∵2+2=4，
∴不能构成三角形；
∴等腰三角形的周长为10cm；
故选：B．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A． CB=CD B． ∠BAC=∠DAC C． ∠BCA=∠DCA D． ∠B=∠D=90°
考点： 全等三角形的判定．
分析： 本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．
解答： 解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图，△ABC中，AB=5，AC=8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（ ）
A． 12 B． 13 C． 14 D． 18
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
分析： 根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果．
解答： 解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，
∴ED=EB，FD=FC，
∵AB=5，AC=8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=5+8=13．
故选B．
点评： 此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．
7．在△ABC中，①若AB=BC=CA，则△ABC为等边三角形；②若∠A=∠B=∠C，则△ABC为等边三角形；③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 等边三角形的判定．
分析： 根据等边三角形的判定判断即可．
解答： 解：①根据等边三角形的定义可得△ABC为等边三角形，结论正确；
②根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；
③一个三角形中有两个角都是60°时，根据三角形内角和定理可得第三个角也是60°，那么这个三角形的三个角都相等，根据判定定理1可得△ABC为等边三角形，结论正确；
④根据判定定理2可得△ABC为等边三角形，结论正确．
故选D．
点评： 本题考查了等边三角形的判定，等边三角形的判定方法有三种：
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
注意：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
8．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色的图形称为轴对称图形，这样的白色小方格有（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点： 利用轴对称设计图案．
分析： 根据轴对称图形的概念求解．
解答： 解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故选C．
点评： 此题考查的是利用轴对称设计图案，解答此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填在题中横线上
9．4的平方根是 ±2 ．
考点： 平方根．
专题： 计算题．
分析： 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解答： 解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10．如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是 80° ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去2个50°就是等腰三角形的顶角的度数．
解答： 解：180°﹣50°×2
=180°﹣100°
=80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
故答案为：80°．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角．
11．如果△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠B=55°，那么∠E= 55° ．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形的性质可得∠B=∠E=55°．
解答： 解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E，
∵∠B=55°，
∴∠E=55°，
故答案为：55°．
点评： 此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若AB=10，则CD的长等于 5 ．
考点： 直角三角形斜边上的中线．
分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解答： 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD= AB，
∵AB=10，
∴CD= ×10=5．
故答案为5．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 8 cm．
考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD= BC=6cm，然后在直角△ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度．
解答： 解：如图，AD是BC边上的高线．
∵AB=AC=10cm，BC=12cm，
∴BD=CD=6cm，
∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD= = =（8cm）．
故答案是：8．
点评： 本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理．等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于D，则∠DBC= 20 度．
考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
分析： 根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．
解答： 解：∵AB=AC，∠A=40°
∴∠ABC=∠ACB=70°
∵BD⊥AC
∴∠DBC=90°﹣70°=20°．
点评： 综合运用了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．
15．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇向一边倾斜，顶端齐至水面，芦苇移动的距离为5尺，则芦苇的长度是 13 尺．
考点： 勾股定理的应用．
分析： 设水池深度为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，此题中水深、芦苇长及芦苇移动的水平距离构成一直角三角形，利用勾股定理可得x2+52=（x+1）2，再解即可．
解答： 解：设水池深度为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得x2+52=（x+1）2，
解得：x=12，
即水池深度为12尺，则芦苇长度为13尺，
故答案为：13．
点评： 本题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4﹣x，在Rt△BEC中，利用勾股定理解出x的值即可．
解答： 解：BC= =4，
由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，
设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+22=（4﹣x）2，
解得：x= ．
故答案为： ．
点评： 本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折变换的性质及勾股定理的表达式．
17．若直角三角形的三边分别为3，4，x，则x= 5或 ．
考点： 勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解答： 解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42=x2，所以x=5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2=42，所以x= ；
所以第三边的长为5或 ，
故答案为5或 ．
点评： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为 20°或40°或70°或100° ．
考点： 等腰三角形的判定．
分析： 分四种情况：①AB=BP1时，②当AB=AP3时，③当AB=AP2时，④当AP4=BP4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°，
当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B= ∠BAC= ×40°=20°，
当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B= ×（180°﹣40°）=70°，
当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，
∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°，
∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．
故答案为：20°或40°或70°或100°．
点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定，分类讨论思想的运用是解题关键．
三、解题题：本大题共9小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
19．计算：
（1） ﹣（1﹣π）0
（2）已知（x﹣1）2=25，求x的值．
考点： 实数的运算；平方根；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）已知方程开方即可求出x的值．
解答： 解：（1）原式=3+3﹣ ﹣1=5﹣ ；
（2）方程（x﹣1）2=25，
开方得：x﹣1=5或x﹣1=﹣5，
解得：x=6或x=﹣4．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若∠D=35°，求∠DCE的度数．
考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE；
（2）由△ACD≌△CBE，可知∠A=∠BCE，则AD∥CE，所以∠DCE=∠D．
解答： 解：（1）∵C是AB的中点（已知），
∴AC=CB（线段中点的定义）．
∵CD∥BE（已知），
∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
（2）∵△ACD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE，
∴AD∥CE，
∴∠DCE=∠D，
∵∠D=35°，
∴∠DCE=35°．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 5 ．
考点： 作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
分析： （1）根据轴对称的性质画出△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可；
（3）连接BC′交直线l于点P，则P点即为所求点，PB+PC的最短长度为线段BC′的长．
解答： 解：（1）如图所示；
（2）S△ABC=4×3﹣ ×1×3﹣ ×2×3﹣ ×1×4
=12﹣ ﹣3﹣2
= ．
故答案为： ；
（3）连接BC′交直线l于点P，则P点即为所求点，此时PB+PC的最短长度为线段BC′的长，BC′= =5．
故答案为：5．
点评： 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称图形的作法是解答此题的关键．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E．
（1）求∠DBC的度数；
（2）猜想△BCD的形状并证明．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
分析： （1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，求出∠DBC的度数；
（2）根据等腰三角形的性质得到答案．
解答： 解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=36°；
（2）△BCD是等腰三角形，
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形．
点评： 本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=3，求DF的长．
考点： 等边三角形的判定与性质．
分析： （1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
解答： 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=3，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=6．
点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
24．（10分）（2014秋•盐都区期中）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，
（1）若∠1=55°，求∠2，∠3的度数；
（2）若AB=8，AD=16，求AE的长度．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： （1）根据平行线的性质得到∠2的度数，根据翻折变换的性质得到∠BEF的度数，根据三角形内角和定理得到答案；
（2）AE=x，根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解答： 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠2=∠1=55°，
由翻折变换的性质得∠BEF=∠2=55°，
∴∠3=180°﹣∠BEF﹣∠2=70°；
（2）设AE=x，则ED=16﹣x，
∴EB=16﹣x，
∵AB2+AE2=BE2，即82+x2+（16﹣x）2，
解得x=6．
答：AE的长为6．
点评： 本题考查的是翻折变换的性质，找出对应线段、对应角是解题的关键．注意方程思想的运用．
25．（10分）（2011秋•都江堰市校级期末）如图，一架梯子的长度为25米，斜靠在墙上，梯子低部离墙底端为7米．
（1）这个梯子顶端离地面有 24 米；
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 在直角三角形中，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求出另一条直角边；根据求得的数值减去下滑的4米即可求得新直角三角形中直角边，根据梯子长度不变的等量关系即可解题．
解答： 解：（1）水平方向为7米，且梯子长度为25米，
则在梯子与底面、墙面构成的直角三角形中，
梯子顶端与地面距离为 =24，
故答案为24；
（2）设梯子的底部在水平方向滑动了x米
则（24﹣4）2+（7+x）2=252
（7+x）2=252﹣202=225
∴7+x=15
x=8
答：梯子在水平方向移动了8米．
点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理的巧妙运用，本题中找到梯子长度不变的等量关系是解题的关键．
26．（10分）（2014秋•盐都区期中）△ABC中，DE，FG分别垂直平分边AB，AC，垂足分别为点D，G．
（1）如图，①若∠B=30°，∠C=40°，求∠EAF的度数；
②如果BC=10，求△EAF的周长；
③若AE⊥AF，则∠BAC= 135° °．
（2）若∠BAC=n°，则∠EAF= 2n﹣180 °（用含n代数式表示）
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： （1）①根据三角形内角和定理得到∠BAC=110°，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据等腰三角形的性质得到答案；
②根据线段垂直平分线的性质求出△EAF的周长；
③根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数；
（2）根据三角形内角和定理和（1）中的结论得到答案．
解答： 解：（1）①∵∠B=30°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣40°=110°，
∵DE，FG分别垂直平分边AB，AC，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠BAE=∠B=30°，∠FAC=∠C=40°，
∴∠EAF=110°﹣30°﹣40°=40°；
②△EAF的周长=EA+FA+EF=BE+EF+FC=BC=10；
③由①得，∠BAE=∠B，∠FAC=∠C，
∴2∠BAE+2∠FAC+∠EAF=180°，
∴∠BAE+∠FAC=45°，
∴∠BAC=90°+45°=135°；
（2）∠B+∠C=180°﹣n°，
∠EAF=n°﹣（180°﹣n°）=2n﹣180．
点评： 本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
27．（12分）（2015•盘锦四模）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 AE∥BF ，QE与QF的数量关系是 AE=BF ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
分析： （1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．
解答： 解：（1）如图1，
当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中
∴△AEQ≌△BFQ，
∴AE=BF，
故答案为：AE∥BF，AE=BF；
（2）
QE=QF，
证明：延长EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长EQ交FB于D，如图3，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．
点评： 本题考查了平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ，用了运动观点，难度适中．