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银川一中2015/2016学年度(上)高二期中考试
数学试卷(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2. 一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数 据,则所得新数据的平均数和方差分别为( )
A. 57.2 3.6 B. 57.2 56.4 C. 62.8 63.6 D. 62.8 3.6
3. 某产品分甲、乙、丙三级 ,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为( )
A. 0.09 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96
4．已知命题 ；命题 ， ．则下列命题为真命题的是 ( ）
A． B． C． D．
5．椭圆x212＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（ ）
A．±34 B．±32 C．±22 D．±34
6．“ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 C．既不充分也不必要条件
7. 方程 表示的曲线是( )
A. 一个椭圆 B. 一个圆 C. 两个圆 D. 两个半圆
8．某学校对高二年级一次考试进行抽样分析.
右图是根据抽样分析后的考试成绩绘制
的频率分布直方图,其中抽样成绩的范围
是[96,106]，样本数据分组为[96，98），
[98,100)，[100，102)，[102,104),[ 104,106].
已知样本中成绩小于100分的人数是36，
则样本中成绩大于或等于98分且小于 104
分的人数 是（ ）
A. 90 B. 75 C. 60 D. 45
9. 椭圆 (a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点
分别是F1,F2.若 是|AF1|,|F1B|的等比中项，则此椭圆的离
心率为（ ）
A． B． C． D．2
10. 阅读程序框图,运行相应的程序,输出S的值为( )
A. 15 B. 105 C. 245 D. 945
11．已知椭圆 的焦点分别为 ，P是椭圆上一点，若连接 ，P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是（ ）
A. 3 B. C. 或 D.
12．如图，点A为椭圆E： 的右顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB=30°，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13. 一枚均匀 的硬币连续掷三次,则至少出现一次正面向上的概率是
14．若不等式 |成立的充分条件是 ，则实数 的取值范围是__________．
15．短轴长为2 ，离心率e= 的椭圆的两焦点为 ，过 作直线交椭圆于A、B两点，则 周长为_____________。
16. 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点．若AF→＝3FB→，则k＝________．
三、解答题
17．(本小题满分10分)
已知 ，设命题 ：函数 为减函数．命题 ：当x∈12，2 时，函数 恒成立．如果命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围．
18. (本小题满分12分)
设有关于x的一元二次方程 ＝0．
(1)若a是从集合A={x∈Z|0≤x≤3}中任取一个元素，b是从集合B={x∈Z|0≤x≤2}中任取一个元素，求方程 ＝0恰有两个不相等实根的概率;
(2) 若a是从集合A={x|0≤x≤3}中任取一个元素，b是从集合B={x|0≤x≤2}中任取一个元素，求上述方程有实根的概率．
19. (本小题满分12分)
已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且 ，求点P的轨迹C的方程．
20．(本小题满分12分)
学校从参加高二年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100],4．
(1)在给出的样本频率分布表中，求A,B,C,D的值；
(2)估计成绩在80分以上(含80分)学生的比例；
(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[90,100]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
样本频率分布表如下：
分组 频数 频率
[40,50) 2 0．04
[50,60) 3 0．06
[60,70) 14 0．28
[70,80) 15 0．30
[80,90) A B
[90,100] 4 0．08
合计 C D
21. (本小题满分12分)
已知椭圆C： 的右焦点 ，过 的直线交椭圆C于A，B两点，且M（1，-1）是线段AB的中点。
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 是椭圆的左焦点，求 的面积。
22. (本小题满分12分)
如图，椭圆 的一个焦点是
F（1，0），O为坐标原点.
（1）已知椭圆短轴的两个三等分点M，N与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（2）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，则有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范围.
银川一中期中考试高二数学（理）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D D A A D A B B B D
二、填空题
13. 14． 15．12 16.
三、解答题
17. 【解答】：若命题p为真命题，则0<c<1 .
若命题q为真命题，则x∈12，2 时， ，
而 ，∴
有已知得，命题p，q中有且只有一个真命题，有两种情况：
p真q假时， ， p假q真时，
∴实数c的取值范围是 或
18.【 解答】: (1)由题意知a取集合{0，1，2，3}中任一个元素，b取集合{0，1，2}中任一个元素，a，b取值的所有情况是:(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12. 记“方程 恰有两个不相等的实根”为事件A， 其等价于a>b. 而当a>b时，a，b取值的情况有(1，0)， (2，0)，(2，1)， (3，0)，(3，1)，(3，2)，即A包含的基本事件数为6，所以方程 恰有两个不相等实根的概率P(A)= = .
(2)设事件B为“方程 有实根”．当a≥0，b≥0时，方程 有实根需满足a≥b．试验的全部结束所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件B的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如答图1所示的阴影部分）.因此所求的概率为P(B)＝ ．
答图1
19【解答】：设P(x,y)， ，
， ，
， ，
所以点P的轨迹方程为
20.【解答】：(1)A=12 ； B=0．24 ； C=50 ； D=1 ．
(2)估计成绩在80分以上(含80分)的学生比例为
0．24+0．08=0．32．
(3)成绩在[40,50)内有2人，记为甲、A，成绩在[90,100]内有4人，记为乙、B、C、D．则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD．
其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D．所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为
P＝ ＝ ．
21.【解答】：（1）
（2）由（1）可知直线AB： ，
由 ， 得 ，
又|F1F2|=2c=6
所以
22、（本小题满分12分）
【解答】：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，△MNF为正三角形，所以 ,
椭圆方程为 ………6分
(Ⅱ) 设
(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，
………8分
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为： 整理得 因恒有 ，所以 AOB恒为钝角.即
恒成立. ………10分
又 ，所以 对 恒成立，即 对 恒成立,当 时， 最小值为0，所以 ， ,
因为 ，即 ,解得 或 (舍去)，即 ,
综合（i）(ii)，a的取值范围为 .………12分