函数的奇偶性同步检测2（有解析新人教A版必修1）

【www.doubiweb.com--高考作文】

函数的奇偶性同步检测2（有解析新人教A版必修1）
 
一、选择题
1．(2014•全国高考卷Ⅰ)设函数f(x)、g(x)定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)•g(x)|是奇函数
[答案]　C
[解析]　设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故A错，同理可知B、D错，C正确．
2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是(　　)
A．f(x)＝x＋1x  B．f(x)＝x2－1x
C．f(x)＝1－x2  D．f(x)＝x3
[答案]　D
[解析]　∵对于A，f(－x)＝(－x)＋1－x＝－(x＋1x)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)上的表达式为(　　)
A．y＝x(x－2)  B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2)  D．y＝x(|x|－2)
[答案]　D
[解析]　当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝x2＋2x.又f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
∴f(x)＝x2－2x，x≥0，－x2－2x，x<0.
∴f(x)＝x(|x|－2)．故选D.
4．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为(　　)
A．－5  B．－1
C．－3  D．5
[答案]　B
[解析]　解法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，
则F(x)为奇函数．
∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，
∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.
又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)≤3⇔－F(x)≤3
⇔F(x)≥－3.
∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B.
5．函数y＝f(x)对于任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当x＞0时，f(x)＞1，且f(3)＝4，则(　　)
A．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝3
B．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝3
C．f(x)在R上是减函数，且f(1)＝2
D．f(x)在R上是增函数，且f(1)＝2
[答案]　D
[解析]　设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1.
∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f(x)＞1，
∴f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在R上是增函数．
∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋[f(1)＋f(1)－1]－1＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.
6．(2013～2014胶州三中高一模块测试)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　 B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－1,0)∪(0,1)
[答案]　D
[解析]　奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，fx－f－xx＝2fxx<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
二、填空题
7．(2013～2014上海大学附中高一期末考试)设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.
[答案]　－1
[解析]　f(x)＝1x(x＋1)(x＋a)为奇函数
⇔g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
8．(2013～2014山东冠县武训中学月考试题)对于函数f(x)，定义域为D＝[－2,2]以下命题正确的是________(只填命题序号)
①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)在D上为偶函数
②若f(－1)＜f(0)＜f(1)＜f(2)，则y＝f(x)在D上为增函数
③若对于x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)在D上是奇函数
④若函数y＝f(x)在D上具有单调性且f(0)＞f(1)则y＝f(x)在D上是递减函数
[答案]　③④
[解析]　显然①②不正确，③④正确．
9．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______．
[答案]　f(x1)>f(x2)
[解析]　∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．
三、解答题
10．设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
[解析]　由条件知f(－x)＋f(x)＝0，
∴ax2＋1bx＋c＋ax2＋1c－bx＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，
∵f(2)<3，∴4a＋12b<3，∴4a＋1a＋1<3，
解得：－1<a<2，∴a＝0或1，
∴b＝12或1，由于b∈Z，∴a＝1，b＝1，c＝0.
11．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
[分析]　(1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．
[解析]　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1<x2，则有f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2•[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则需f(x1)－f(x2)<0恒成立．
∵x1－x2<0，x1x2>4，
∴只需使a<x1x2(x1＋x2)恒成立．
又∵x1＋x2>4，
∴x1x2(x1＋x2)>16，
故a的取值范围是(－∞，16]．
12．已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x•y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(1)；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f(13)＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
[分析]　(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x•y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x•y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．
[解析]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y＝1x，得f(1)＝f(x)＋f(1x)＝0，故f(1x)＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(1x1)＝f(x2x1)．
由于x2x1>1，故f(x2x1)>0，从而f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f(13)＝－1，而f(13)＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x•y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得
f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，
∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤94，
又x>0x－2>0，∴2<x≤94，
∴x的取值范围是(2，94]．
 规律总结：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(x•y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f(1x)＝－f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据．

 

本文来源：http://www.doubiweb.com/yxzw/745758.html