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专题五 方案与设计
⊙热点一：图案设计
1．(2012年黑龙江牡丹江)如图Z54，已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线．
2．(2013年江苏无锡)如图Z55，下面给出的正多边形的边长都是20 cm，请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明)．
(1)将图Z55(1)中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；
(2)将图Z55(2)中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；
(3)将图Z55(3)中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等．
⊙热点二：方案设计
1．(2013年广西桂林)在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案；方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用500元；设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．
(1)直接写出y1，y2与x的函数关系式；
(2)如图Z56在同一平面直角坐标系内，画出函数y1，y2的图象；
(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？
图Z56
2．(2013年广西贺州)某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等．
(1)篮球和足球的单价各是多少元？
(2)该校打算用1000元购买篮球和足球，问恰好用完1000元，并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种？
⊙热点三：最值问题
1．(2012年四川泸州)某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．
(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)．
2．(2013年江苏南通)某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润y(单位：万元)与销售产品x(单位：吨)之间存在二次函数关系y＝ax2＋bx.
当x＝1时，y＝1.4；当x＝3时，y＝3.6.
信息2：销售B种产品所获利润y(单位：万元)与销售产品x(单位：吨)之间存在正比例函数关系y＝0.3x.
根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
方案与设计
热点一
1．解：能拼成3种平行四边形，如图86.
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图86
图86(1)中，对角线的长为5；
图86(2)中，对角线的长为3和32＋82＝73；
图86(3)中，对角线的长为4和42＋62＝2 13.
2．解：(1)如图87(1)，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可；
(2)如图87(2)，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可；
(3)如图87(3)，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可．
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图87
热点二
1．解：(1)由题意，得y1＝250x＋3000，y2＝500x＋1000.
(2)如图88.
图88
(3)由图象可知：①当使用时间大于8个月时，直线y1落在直线y2的下方，y1＜y2，即方案1省钱；
②当使用时间小于8个月时，直线y2落在直线y1的下方，y2＜y1，即方案2省钱；
③当使用时间等于8个月时，y1＝y2，即方案1与方案2一样．
2．解：(1)设足球单价为x元，则篮球单价为(x＋40)元，由题意，得1500x＋40＝900x，解得x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解．则x＋40＝100.
答：篮球和足球的单价分别是100元、60元．
(2)设恰好用完1000元，可购买篮球m个和购买足球n个，由题意，得100m＋60n＝1000.
整理，得m＝10－35n.
∵m，n都是整数，∴当n＝5时，m＝7；当n＝10时，m＝4；当n＝15，m＝1.
∴有三种方案：
①购买篮球7个，足球5个；
②购买篮球4个，足球10个；
③购买篮球1个，足球15个．
热点三
1．解：(1)设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，
根据题意，得x＋y＝100，15x＋35y＝2700.解得x＝40，y＝60.
答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件．
(2)设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品(100－a)件，根据题意，得
15a＋35100－a≤3100，5a＋10100－a≥890.
解得20≤a≤22.
∵总利润W＝5a＋10(100－a)＝－5a＋1000，
W是关于x的一次函数，W随x的增大而减小，
∴当x＝20时，W有最大值，此时W＝900，且100－20＝80.
答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．
2．解：(1)∵当x＝1时，y＝1.4；当x＝3时，y＝3.6，
∴a＋b＝1.4，9a＋3b＝3.6.解得a＝－0.1，b＝1.5.
∴二次函数解析式为y＝－0.1x2＋1.5x.
(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10－m)吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W元，
则W＝－0.1m2＋1.5m＋0.3(10－m)
＝－0.1m2＋1.2m＋3＝－0.1(m－6)2＋6.6，
∵－0.1＜0，∴当m＝6时，W有最大值6.6.
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．