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2015年房山区初三毕业会考试卷
数学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是
A．点A B．点B C．点C D．点D
2.据海关统计，2015年前两个月，我国进出口总值为37900亿元人民币，将37900用科学记数法表示为
A．3.79×102 B．0.379×105 C．3.79×104 D．379×102
3.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是
A. B. C. D.
4.如图，直线 a∥b,点C在直线 上，∠DCB=90°，若∠1=70°，则∠2的度数为
A．20° B． 25° C．30° D． 40°
5. 右图是某几何体的三视图,该几何体是
A. 圆柱 B.正方体 C. 圆锥 D.长方体
6.某地为了缓解旱情进行了一场人工降雨，现测得6个面积相等区域的降雨量如下表所示:
区域 1 2 3 4 5 6
降雨量(mm) 14 12 13 13 17 15
则这6个区域降雨量的众数和平均数分别为
A.13，13.8 B.14，15 C.13，14 D.14，14.5
7.小强骑自行车去郊游，9时出发，15时返回．右图表示他距家的距离y（千米）与相应的时刻x（时）之间的函数关系的图象．根据这个图象，小强14时距家的距离是
A.13 B.14 C.15 D.16
8. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，∠BOC＝70°，则∠D等于
A．25° B．35° C．55° D．70°
9.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是
A． B．
C． D．
10.如图，已知抛物线 ，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点 , 且平行于 轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m,则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 分解因式： ＝________________.
12. 把代数式x24x1化成 (xh)2k的形式，其结果是_____________．
13.请写出一个 随 的增大而增大的反比例函数的表达式: ________________.
14.甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次．已知他们的平均成绩相同，方差分别是 ， ，那么甲、乙两人成绩较为稳定的是________________.
15.随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用.新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价.具体来说：
乘车路程计价区段 0-10 11-15 16-20
对应票价(元) 2 3 4
另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠.
小明用学生卡乘车，上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是22，那么，小明乘车的费用是________________元.
16.如图,在平面直角坐标系中放置了5个正方形，点 （0，2）在y轴上，点 ， ， ， ， ， ， 在x轴上， 的坐标是（1，0）, ∥ ∥ ．则点A1到x轴的距离是________________，点A2到x轴的距离是________________，点A3到x轴的距离是________________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．计算： ．
18.解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
19.如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB．求证：DE=AB．
20.已知 ，求代数式 的值.
21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（0，﹣2），
B（1，0）两点，与反比例函数 （m≠0）的图象在第一象限内交于点M，若△OBM的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P是x轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形,请直接写出点P的坐标．
22.列方程或方程组解应用题
为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）.规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．下图是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据：
请问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若AB=4，CF=1，∠ABC=60°，求 的值．
24. 某校开展“人人读书”活动.小明为调查同学们的阅读兴趣，抽样调查了40名学生在本校图书馆的借阅情况（每人每次只能借阅一本图书），绘制了统计图1. 并根据图书馆各类图书所占比例情况绘制了统计图2,已知综合类图书有40本.
（1）补全统计图1；
（2）该校图书馆共有图书________________本；
（3）若该校共有学生1000人，试估算，借阅文学类图书的有______________人.
25．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延长线于点E. 过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G.
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
26.小明遇到这样一个问题：
如图1，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠AFE=∠ACB.
小明是这样思考问题的：如图2，以BC为直径做半⊙O，则点F、E在⊙O上，
∠BFE+∠BCE=180°，所以∠AFE=∠ACB.
请回答：若∠ABC= ，则∠AEF的度数是 .
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在锐角△ABC中，AD、BE、CF分别为△ABC的高，求证：∠BDF=∠CDE.
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的两个交点分别为A（-3，0）,
B（1，0），顶点为C.
(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2) 过点C作CH⊥x轴于点H，若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.
28．如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.
(1) 依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
(2) 若∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△ ，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.
①如图2，当α=30°时，连接 ．证明： = ；
②如图3，点M为DC中点，点P为线段 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？
29.【探究】如图1，点 是抛物线 上的任意一点，l是过点 且与 轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H.
①计算: m=0时，NH= ; m=4时，NO= .
②猜想: m取任意值时，NO NH(填“＞”、“＝”或“＜”).
【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O即为抛物线 的“焦点”，直线l: 即为抛物线 的“准线”.可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上.
【应用】（1）如图2，“焦点”为F(-4，-1)、“准线”为l的抛物线 与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点.MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H.
①直接写出抛物线y2的“准线”l： ；
②计算求值：1MQ+1NH =；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线y= 33x+n与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线 的表达式.
2015年房山区初中毕业会考试卷
数学参考答案和评分参考
一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．
1．A 2．C 3．B 4．A 5． D 6．C 7．C 8．B 9．D 10．B
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11． 12． 13． （答案不唯一）
14．甲 15．1 16．3, ，
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．原式= ………………………………………4分
=4 ………………………………………5分
………………………………………4分
…………5分
19.∵ ，
∴
……………………1分 分
20.原式= ………………………………………1分
= ………………………………………2分
………………………………………4分
原式= ………………………………………5分
21.(1)一次函数解析式： ………………………………………2分
反比例函数解析式： ………………………………………3分
（2） 或 ………………………………………5分
22.设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得：
………………………………………1分
………………………………………3分
解得 ………………………………………5分
答：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元.
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，
∴∠AEO=∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS）
∴OE=OF， ………………………………………1分
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE是平行四边形； ………………………………………2分
（2） 菱形ABCD,
∴
为等边三角形
24．
（1）如图所示………………………………………1分
(2) 800 ………………………………………3分
（3）300 …………………………………5分
25．（1）
证明：连接OD
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC
∵OC⊥AB
∴∠COF=90° ……………………………………1分
∴∠OCD+∠CFO=90°
∴∠ODC+∠CFO=90°
∵∠EFD=∠FDE
∠EFD=∠CDE
∴∠CDO+∠CDE=90°
∴DE为⊙O的切线………………………………2分
（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD2+DE2=OE2，
∴32+x2=（x+1）2，解得x=4……………………3分
∴DE=4，OE=5，
∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
而∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA， ………………………4分
∴ ，即 ，
∴AG=6．…………………………………………5分
26. （1） ……………………1分
（2）如图
由题意：∵ ,
∴点A、E、D、B在以AB为直径的半圆上
∴∠BAE+∠BDE=180°………………3分
又∵∠CDE+∠BDE=180°
∴∠CDE=∠BAE ……………………4分
同理：点A、F、D、C在以AC为直径的半圆上.
∴∠BDF=∠BAC
∴∠BDF =∠CDE ……………………5分
五、解答题（本题22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27. （1）由题意，得
解得，
抛物线的解析式为y=-x2-2x+3 ………………………2分
顶点C的坐标为（-1，4） ………………………3分
（2）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.
延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2.
设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则 ， 解之得 ， .
∴直线CM的解析式 .…………………………………4分
，
解得 ， (舍去).
.
∴ . ………………………………………………5分
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.
由△CFA∽△CAH得 ，
由△FNA∽△AHC得 .
∴ , 点F坐标为（-5,1）.
设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则 ，解之得 .
∴直线CF的解析式 .……………………………………6分
，
解得 ， (舍去).
∴ . …………………………………7分
∴满足条件的点P坐标为 或
28.
解：（1）补全图形，如图1所示； ……1分
证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD
∴EB=ED
又∵ED=BD
∴EB=ED=BD
∴△EBD是等边三角形 ………………2分
（2）①证明：如图2：由题意可知∠BCD=90°，BC=DC
又∵点C与点F关于BD对称
∴四边形BCDF为正方形，
∴∠FDC=90°,
∵
∴
由（1）△BDE为等边三角形
∴ ,ED=BD
∴ …………………3分
又∵ 旋转得到的
∴
∴
∴ …………………………4分
②线段PM的取值范围是：
设射线CA交BD于点O，
I：如图3（1）
当 ，D、M、P、C共线时，PM有最小值.
此时DP=DO=2 ，DM=1
∴PM=DP-DM=2-1 ………………………5分
II：如图3（2）
当点P与点 重合，且P、D、M、C共线时，PM有最大值.
此时DP=DE′=DE=DB=22 ，DM=1
∴PM= DP+DM=22+1 ………………………6分
∴线段PM的取值范围是：
………………7分
29.
解：【探究】① 1 ; 5 ; ……………2分
② ＝ . …………………3分
【应用】（1）① ； ……………………4分
② 1 . ……………………5分
（2）如图3，设直线 与x轴相交于点C.
由题意可知直线CF切⊙O于F，连接OF.
∴∠OFC=90°
∴∠COF=60°
又∵OF=1，
∴OC=2
∴
∴“焦点” 、 .………6分
∴抛物线 的顶点为 .
①当“焦点”为 ，顶点为 ， 时，
易得直线CF1： .
过点A作AM⊥x轴，交直线CF1于点M.
∴
∴ 在抛物线 上.
设抛物线 ，将M点坐标代入可求得：
∴ ………………………7分
②当“焦点”为 ，顶点为 ， 时，
由中心对称性可得：
…………………………8分
综上所述：抛物线 或 .