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2015年长清九年级阶段检测（一模）
数学试题
本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）
1．5的相反数是
A．5 B．－5 C． D．
2.下列各运算中，计算正确的是
A.x2y÷y=x2 B.(2x2)3=6x5 C.(- )0=0 D.a6÷a3=a2
3．如右图，已知AB∥CD，与∠1是同位角的角是
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．化简(2x-3y)-3(4x-2y)结果为
A.-10x-3y B.-10x+3y C.10x-9y D.10x+9y
5．如右图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A（－4，6），B（－6，2），E（2，1），则点D的坐标为
A．（4，6） B．（－4，6）
C．（－2，1） D．（6，2）
6．一元二次方程 的解是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7．不等式组 的解集在数轴上表示为
A. B. C. D.
8．已知⊙ 的半径是5cm,⊙ 的半径是3cm, ＝2cm,则⊙ 和⊙ 的位置关系是
A．外离 B．外切 C．内切 D．相交
9．关于二次函数y=-(x+2)2-3，下列说法正确的是
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=2
C.当x＝－2时，有最大值－3 D.抛物线的顶点坐标是(2,-3)
10．右图是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成
图2的正方体，则图1中正方形顶点A,B在围成的正方体
的距离是
A．0 B．1
C． D．
11．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是
A． B． C． D．
12．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，PC是⊙O的
切线，切点为C，若∠ACP =55°，那么∠BAC等于
A.35° B.45° C.55° D.65°
13．如图，在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是
A. B. C. D.
14．已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的
个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=2；④若d=1，则m=3；⑤若d＜1，则m=4．
其中正确命题的个数是
A.5 B.4 C.3 D.2
15．定义新运算：a⊕b= 例如：4⊕5= ，4⊕（-5）= ．则函数y=2⊕x
（x≠0）的图象大致是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共75分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
16. 因式分解: = .
17. 据统计，2013年我国用义务教育经费支持了13940000名农民工随迁子女在城市接受义务教育，这个数字用科学记数法表示为 .
18. 如图，将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形= cm.
19.如图，点D(0,3)，O(0,0)，C(4,0)，B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦．则sin∠OBD= ．
20.分式方程 的解是 .
21.如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连
续翻转2015次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2015的
位置，则P2015的横坐标x2015=
三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
22．（本小题满分7分）
（1）化简：
（2）计算： + +（ ﹣5）0﹣ cos30°．
23.（本小题满分7分）
（1）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长
24.(本小题满分8分)
小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤.妈妈：“今天买这两样菜
共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）.
25．(本小题满分8分)
大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为q值，两次结果记为（p，q）．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率．
26．(本小题满分9分）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 （x＞0）的图象交于点P（４，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式；
（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
27．（本小题满分9分）在一个边长为6cm的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以 cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①当点F是边AB中点时，求CM的长度．
②在点E，M的运动过程中，除正方形的边长外，图中是否还存在始终相等的线段，若存在，请找出来，并加以证明；若不存在，请说明理由。
28．(本小题满分９分)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
一、
九年级数学参考答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
B A D B A A B C C B C A D A D
16. x(x-3y)(x+3y) 17. 18. 4 19. 20. x=3 21. 2014
22.⑴解：原式 1分
2分
..................................................................................................3分
（2）解：原式=4﹣2+1﹣ × ………………2分
=4﹣2+1﹣ ……………………3分
= ．…………………………4分
23（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，……………………1分
∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），………………2分
∴AD=BC．…………………………3分
（2）解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=3
设BE=EB′=x，则EC=4﹣x………………4分
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得， ，
∴B′C=5﹣3=2，……………5分
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4﹣x）2，……………6分
解得x=1.5．……………7分
24.解：设上月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤.--------------1分
根据题意得： ------4分
解之 ---------------5分
这天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)×2=3（元/斤）---------------6分
这天排骨的单价是(1+20%)y=(1+20%)×15=18(元/斤)---------------- ---7分
答:这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18/斤.----- -----8分
25.解：（1）画树状图得：
则共有9种等可能的结果；------------------4分
（2）由（1）可得：满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的有：（﹣1，1），（0，1），（1，1），-----------------6分
∴满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率为： = ．-----------------8分
26.解：（1）将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得： ，
解得：k= ，b=1，∴一次函数解析式为y= x+1，-----------------2分
将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y= ；---------------4分
（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，
对于一次函数y= x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1），
∴直线BC的斜率为 =﹣ ，
设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣ （x﹣4），即y= ，
与反比例解析式联立得： ，消去y得： = ，
整理得：x2﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，当x=8时，y=1，∴D（8，1），-----------------6分
此时PD= = ，BC= = ，即PD=BC，∵PD∥BC，
∴四边形BCPD为平行四边形，
∵PC= = ，即PC=BC，
∴四边形BCPD为菱形，满足题意，-----------------8分
则反比例函数图象上存在点D，
使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．-----------------9分
27、解：（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．-----------------2分
在△ADF与△DNC中，
，
∴△ADF≌△DNC（ASA），-----------------3分
∴DF=MN．-----------------4分
（2）解：①
理由如下：当点F是边AB中点时，则AF= AB=3
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，-----------------5分
∴ ，
∴AE= EC，则AE= AC= ，
∴ ，
∴t=2，CM=t=2．-----------------7分
②CM=DN．理由如下：
易证AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．
易证△MND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．
∴ND=CM=t．-----------------9分
28. 解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．--------1分
∵A（﹣3.0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4．-----------------3分
（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，
∴ 解得：
∴直线AB的解析式为y= x+ ．-----------------4分
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴yP= t+ ，yQ=﹣ t2+ t+4．
∴PQ=yQ﹣yP=﹣ t2+ t+4﹣（ t+ ） =﹣ t2+ t+4﹣ t﹣
=﹣ t2+ + =﹣ （t2﹣2t﹣15） =﹣ [（t﹣1）2﹣16] =﹣ （t﹣1）2+ ．
∵﹣ ＜0，﹣3≤1≤5， ∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为 ． -----6分
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣ =﹣ = ．-------7分
∴xH=xG=xM= ． ∴yG= × + = ．∴GH= ．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．
∴ ．∴ = ．
解得：MH=11．∴点M的坐标为（ ，﹣11）．-----8分
②当∠ABM=90°时，如图4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5﹣ = ，DG=4﹣ = ，
∴BG= = = ．
同理：AG= ．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°， ∴△AGH∽△MGB．
∴ = ． ∴ = ． 解得：MG= ．
∴MH=MG+GH = + =9． ∴点M的坐标为（ ，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（ ，9）和（ ，﹣11）．-------------9分