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广东省深圳市2015年中考数学试卷
一、选择题：
1、 的相反数是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：相反数．
分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
解答：解：﹣15的相反数是15，
故选：A．
点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2、用科学计数法表示 为（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：科学记数法—表示较大的数．.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将316000000用科学记数法表示为：3.16×108．
故选B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【答案】B.
3、下列说法错误的是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.
分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．
解答：解：A、a•a=a2，正确，故本选项错误；
B、2a+a=3a，正确，故本选项错误；
C、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确；
D、a3÷a﹣1=a3﹣（﹣1）=a4，正确，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4、下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（ ）
考点：中心对称图形；轴对称图形．.
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答：解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
5、下列主视图正确的是（ ）
考点：简单组合体的三视图．.
分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
解答：解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故选：A．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
6、在一下数据 中，众数、中位数分别是（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：众数；中位数．.
分析：首先找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这组数据的众数；然后把这组数据从小到大排列，则中间的数就是这组数据的中位数，据此解答即可．
解答：解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，
∴这组数据的众数是80；
把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得
75，80，80，85，90，
所以这组数据的中位数是80．
故选：B．
点评：（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7、解不等式 ，并把解集在数轴上表示（ ）
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．.
分析：先移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
解答：解：2x≥x﹣1，
2x﹣x≥﹣1，
x≥﹣1．
故选：B．
点评：本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集．把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8、二次函数 的图像如下图所示，下列说法正确的个数是（ ）
○1 ；○2 ；○3 ；○4 。
A、 B、 C、 D、
考点：二次函数图象与系数的关系．.
专题：数形结合．
分析：根据抛物线开口方向对①进行判断；根据抛物线的对称轴位置对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点位置对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．
解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故选B．点评：
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9、如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20o,则∠DBA为（ ）
A、 B、 C、 D、
考点：圆周角定理．.
专题：计算题．
分析：先根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用互余得∠ACD=90°﹣∠DCB=70°，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．
解答：解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣20°=70°，
∴∠DBA=∠ACD=70°．
故选D．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10、某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元。
A、 B、 C、 D、
考点：一元一次方程的应用．.
分析：设商品进价为每件x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．
解答：解：设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得
0.8×200=x+40，
解得：x=120．
故选：B．
点评：本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
11、如图，已知⊿ABC，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（ ）
考点：作图—复杂作图．.
分析：由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
解答：解：∵PB+PC=BC，
而PA+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选D．
点评：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
12、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：○1⊿ADG≌⊿FDG；○2GB=2AG；
○3⊿GDE∽BEF；○4S⊿BEF= 。在以上4个结论中，正确的有（ ）
A、
B、
C、
D、
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．.
分析：根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF，∠A=∠GFD=90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，再由GF+GB=GA+GB=12，EB=EF，△BGE为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG=4，BG=8，进而求出△BEF的面积，再抓住△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，判断③是错误的．
解答：解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DEF=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；
S△GFB= ×6×8=24，S△BEF= •S△GFB= = ，④正确．
故选：C．
点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二、填空题：
13、因式分解： 。
考点：提公因式法与公式法的综合运用．.
专题：计算题．
分析：原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
解答：解：原式=3（a2﹣b2）=3（a+b）（a﹣b），
故答案为：3（a+b）（a﹣b）
点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14、在数字1,2,3中任选两个组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 。
考点：列表法与树状图法．.
分析：利用树状图法列举出所有可能，看是否能被3整除．找出满足条件的数的个数除以总的个数即可．
解答：解：如图所示：
共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．因此概率为 = ．
故答案为： ．
点评：本题考查了树状图法求概率以及概率公式，注意能被3整除即两位数加起来和为3的倍数．
15、观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有 个太阳。
考点：规律型：图形的变化类．.
分析：由图形可以看出：第一行小太阳的个数是从1开始连续的自然数，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，由此计算得出答案即可．
解答：解：第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，
第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，第5个图形有24=16个太阳，
所以第5个图形共有5+16=21个太阳．
故答案为：21．
点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．第二行的规律是1，2，4，8，…，故第五个数是16；故第五个图中共有21个太阳。
16、如图，已知点A在反比例函数 上，作RT⊿ABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若⊿BCE的面积为8，则k= 。
考点：反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质．.
分析：根据反比例函数系数k的几何意义，证明△ABC∽△EOB，根据相似比求出BA•BO的值，从而求出△AOB的面积．
解答：解：∵△BCE的面积为8，
∴ ，
∴BC•OE=16，
∵点D为斜边AC的中点，
∴BD=DC，
∴∠DBC∠DCB=∠EBO，
又∠EOB=∠ABC，
∴△EOB∽△ABC，
∴ ，
∴AB•OB•=BC•OE
∴k=AB•BO=BC•OE=16．
故答案为：16．
点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解决本题的关键是证明△EOB∽△ABC，得到AB•OB•=BC•OE．
三、解答题：
17、计算： 。
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．.
专题：计算题．
分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=2﹣ +2× +2﹣1=3．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18、解方程： 。
考点：解分式方程．.
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15=4（2x﹣3）（3x﹣2），
整理得：3x2﹣2x+10x﹣15=24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13=0，
分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）=0，
解得：x1=1，x2= ，
经检验x1=1与x2= 都为分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19、11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：
（1）三本以上的x值为 ，参加调差的总人数为 ，补全统计图；
（2）三本以上的圆心角为 。
（3）全市有6.7万学生，三本以上有 万人。
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．.
分析：（1）根据看1本书的人数为40人，所占的百分比为10%，40÷10即可求出总人数，用100%﹣10%﹣25%﹣45%即可得x的值，用总人数乘以x的值，即可得到3本以上的人数，即可补全统计图；
（2）用x的值乘以360°，即可得到圆心角；
（3）用6.7万乘以三本以上的百分比，即可解答．
解答：解：（1）40÷10%=400（人），
x=100%﹣10%﹣25%﹣45%=20%，400×20%=80（人），
故答案为：20%，400；
如图所示；
（2）20%×360°=72°，
故答案为：72°；
（3）67000×20%=13400（人），
故答案为：13400．
点评：此题主要考查了条形图与扇形图的综合应用，解决此类问题注意图形有机结合，综合分析获取正确信息．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20、小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
分析：关键三角形外角的性质求得∠DAF=30°，得出AF=DF=10，在Rt△FGA中，根据正弦函数求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度．
解答：解：如图，∵∠ADG=30°，AFG=60°，
∴∠DAF=30°，
∴AF=DF=10，
在Rt△FGA中，
AG=AF•sin∠AFG=10× =5 ，
∴AB=1.5+5 ．
答：旗杆AB的高度为（1.5+5 ）米．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
21、下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）。
用水量 单价
剩余部分
（1）某用户用水10立方米，公交水费23元，求 的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
考点：一元一次方程的应用．.
分析：（1）直接利用10a=23进而求出即可；
（2）首先判断得出x＞22，进而表示出总水费进而得出即可．
解答：解：（1）由题意可得：10a=23，
解得：a=2.3，
答：a的值为2.3；
（2）设用户水量为x立方米，
∵用水22立方米时，水费为：22×2.3=50.6＜71，
∴x＞22，
∴22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）=71，
解得：x=28，
答：该用户用水28立方米．
点评：此题主要考查了一元一次方程的应用，根据图表中数据得出用户用水为x米3（x＞22）时的水费是解题关键．
22、如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上， 开始的时候BD=1cm,现在三角板以2cm/s的速度向右移动。
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证： 。
考点：圆的综合题．.
分析：（1）根据题意得出BO的长，再利用路程除以速度得出时间；
（2）根据切线的性质和判定结合等腰直角三角形的性质得出AO的长，进而求出答案；
（3）利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，进而求出△CFG∽△CEF，即可得出答案．
解答：（1）解：由题意可得：BO=4cm，t= =2（s）；
（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，
又∵∠A=45°，
∴AO= OH=3 cm，
∴AD=AO﹣DO=（3 ﹣3）cm；
（3）证明：如图3，连接EF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF=90°，
∠DEC=∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG，
又∵∠FCG=∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴ = ，
∴CF2=CG•CE．
点评：此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据题意得出△CFG∽△CEF是解题关键．
23、如图1，关于 的二次函数 经过点 ，点 ，点 为二次函数的顶点， 为二次函数的对称轴， 在 轴上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到 轴的距离相等，若存在求出点P，若不存在请说明理由；
（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S⊿FBC=3 S⊿EBC，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由。
考点：二次函数综合题．.
分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；
（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；
（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．
解答：
解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，
（2）存在，
当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，
设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE= （4﹣m），PE=m，
∵PM=PE，
∴ （4﹣m）=m，m= ﹣1，
∴P点坐标为（﹣1， ﹣1）；
当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，
设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE= （4﹣n），PE=﹣n，
∵PM=PE，
∴ （4﹣n）=﹣n，n=﹣ ﹣1，
∴P点坐标为（﹣1，﹣ ﹣1）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1， ﹣1）或（﹣1，﹣ ﹣1）；
（3）∵S△EBC=3，2S△FBC=3S△EBC，
∴S△FBC= ，
过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，如图3，
∵S△FBC= FQ•OB= FQ= ，
∴FQ=9，
∵BC的解析式为y=﹣3x+3，
设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），
∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，
解得：x0= 或 （舍去），
∴点F的坐标是（ ， ）．
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中．