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浙江省11市2015年中考数学试题分类解析汇编
专题9：平面几何基础
1. （2015年浙江湖州3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于【 】
A.10 B.7 C.5 D.4
【答案】C.
【考点】角平分线的性质；三角形面积的计算.
【分析】如答图，过点 作 于点 ，
∵CD是AB边上的高线，∴ .
∵BE平分∠ABC，DE=2，∴ .
∵BC=5，∴ .
故选C.
2. （2015年浙江嘉兴4分） 如图，直线 ∥ ∥ ，直线AC分别交 ， ， 于点A，B，C；直线DF分别交 ， ， 于点D，E，F. AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为【 】
A. B. 2 C. D.
【答案】D.
【考点】平行线分线段成比例的性质.
【分析】∵AG=2，GB=1，BC=5，∴ .
∵直线 ∥ ∥ ，∴ .
故选D.
3. （2015年浙江嘉兴4分） 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 和 外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥ 于点Q”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是【 】
A. B. C. D.
【答案】A.
【考点】尺规作图.
【分析】根据垂线的作法，选项A错误. 故选A.
4. （2015年浙江金华3分） 已知 ，则 的补角的度数是【 】
A. 55° B. 65° C. 145° D. 165°
【答案】C.
【考点】补角的计算.
【分析】根据“当两个角的度数和为180 °时，这两个角互为补角”的定义计算即可：
∵ ，∴ 的补角的度数是 .
故选C.
5. （2015年浙江丽水3分） 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是【 】
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
【答案】C.
【考点】多边形的外角性质．
【分析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°．
∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6．
故选C．
6. （2015年浙江宁波4分）如图，直线 ∥ ，直线 分别与 ， 相交，∠1=50°，则∠2的度数为【 】
A. 150° B. 130° C. 100° D. 50°
【答案】 B.
【考点】平行线的性质；补角的定义.
【分析】如答图，∵ ∥ ，∴∠1=∠3.
∵∠1=50°，∴∠3=50°.∴∠2=130°.
故选B.
7. （2015年浙江衢州3分）数学课上，老师让学生尺规作图画 ，使其斜边 ，一条直角边 .小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断 是直角的依据是【 】
A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B．
【考点】尺规作图（复杂作图）；圆周角定理．
【分析】小明的作法是：①取 ，作 的垂直平分线交 于点 ；
②以点 为圆心， 长为半径画圆；
③以点 为圆心， 长为半径画弧，与 交于点 ；
④连接 .
则 即为所求.
从以上作法可知， 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.
故选B．
8. （2015年浙江绍兴4分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【 】
A. ②号棒 B. ⑦号棒 C. ⑧号棒 D. ⑩号棒
【答案】D.
【考点】探索规律题（图形变化类）.
【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.
9. （2015年浙江义乌3分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【 】
A. ②号棒 B. ⑦号棒 C. ⑧号棒 D. ⑩号棒
【答案】D.
【考点】探索规律题（图形变化类）.
【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.
10. （2015年浙江舟山3分） 如图，直线 ∥ ∥ ，直线AC分别交 ， ， 于点A，B，C；直线DF分别交 ， ， 于点D，E，F. AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为【 】
A. B. 2 C. D.
【答案】D.
【考点】平行线分线段成比例的性质.
【分析】∵AG=2，GB=1，BC=5，∴ .
∵直线 ∥ ∥ ，∴ .
故选D.
11. （2015年浙江舟山3分） 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 和 外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥ 于点Q”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是【 】
A. B. C. D.
【答案】A.
【考点】尺规作图.
【分析】根据垂线的作法，选项A错误. 故选A.
1. （2015年浙江杭州4分）如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为α度，则∠GFB为 ▲ _度(用关于α的代数式表示)
【答案】 .
【考点】平角定义；平行的性质.
【分析】∵ 度，∴ 度.
∵CD平分∠ECB，∴ 度.
∵FG∥CD，∴ 度.
2. （2015年浙江嘉兴5分）下图是百度地图的一部分（比例尺1:4 000 000）.按图可估测杭州在嘉兴的南偏西 ▲ 度方向上，到嘉兴的实际距离约为 ▲ .
【答案】45； .
【考点】地图的识读；比例的计算.
【分析】按图可估测杭州在嘉兴的南偏西45度方向上，经测量，到嘉兴的实际距离约为：
（由于图的原因可能有差异）.
3. （2015年浙江金华4分）如图，直线 是一组等距离的平行线，过直线 上的点A作两条射线，分别与直线 ， 相交于点B，E，C，F. 若BC=2，则EF的长是 ▲
【答案】5.
【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质.
【分析】∵直线 是一组等距离的平行线，∴ ，即 .
又∵ ∥ ，∴ . ∴ .
∵BC=2，∴ .
4. （2015年浙江台州5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 ▲
【答案】3.
【考点】角平分线的性质.
【分析】如答图，过点D作DH⊥AB于点H，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC.
又∵AD是△ABC的角平分线，DC=3，
∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得DE= DC=3，即点D到AB的距离是3.
1. （2015年浙江杭州10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；
（2）用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹).
【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.
（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即 时满足a<b<c.
如答图的 即为满足条件的三角形.
【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.
【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.
（2）首先判断满足条件的三角形只有一个： ，再作图：
①作射线AB，且取AB=4；
②以点A为圆心，3为半径画弧；以点B为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C；
③连接AC、BC.
则 即为满足条件的三角形.
2. （2015年浙江丽水6分）如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.
【答案】解：（1）作图如下：
（2）∵△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=37°，∴∠BAC=53°.
∵AD=BD，∴，∠B=∠BAD=37°
∴∠CAD=∠BAC ∠BAD=16°.
【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质.
【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.
（2）根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出∠BAD，从而作差求得∠CAD的度数.
3. （2015年浙江台州14分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究 ， 和 的数量关系，并说明理由.
【答案】解：（1）∵点M，N是线段AB的勾股分割点， AM=2，MN=3，
∴若MN为斜边，则 ，即 ，解得 .
若BN为斜边，则 ，即 ，解得 .
∴BN的长为 或 .
（2）证明：∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，
∴ .
∵在△ABC中，FG是中位线，AD，AE分别交FG于点M，N，
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线.
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG.
∴ ，即 .
∴ .
∴点M，N是线段FG的勾股分割点.
（3）如答图1，C，D是线段AB的勾股分割点.
（4） .理由如下：
设 ， ， ，
∵ 是 的中点，∴ .
∵△ ，△ 均为等边三角形，∴ .
∵ ，∴△ ≌△ .∴ .∴ .
∵ ，∴△ ∽△ .
∴ .∴ .
∵点 ， 是线段 的勾股分割点，∴ .∴ ，
又∵ .∴ .
在△ 和△ 中， ， ， ，
∴△ ≌△ .
∴ .
∵ ，∴ .
∴ .
∵ ， ，
∴ .
【考点】新定义和阅读理解型问题；开放型和探究型问题；勾股定理；三角形中位线定理；尺规作图（复杂作图）；等边三角形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；分类思想和数形结合思想的应用.
【分析】（1）根据定义，分MN为斜边和BN为斜边两种情况求解即可.
（2）判断FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线后代入 即可证明结论.
（3）①过点C作AB的垂线MN，
②在MN截取CE=CA；
③连接BE，作BE的垂直平分线PQ交AB于点D.
则点C，D是线段AB的勾股分割点.（作法不唯一）
（4）首先根据全等、相似三角形的判定和性质证明△AMC和△NBM是全等的等边三角形，再证明 .