【www.doubiweb.com--试题资料】
2015年山东省潍坊市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对的3分，选错、不选或选出的答案超出一个均记0分．）
1．（3分）（2015•潍坊）在|﹣2|，20，2﹣1， 这四个数中，最大的数是（ ）
A． |﹣2| B． 20 C． 2﹣1 D．
考点： 实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．.
分析： 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，首先求出|﹣2|，20，2﹣1的值是多少，然后根据实数比较大小的方法判断即可．
解答： 解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5，
∵ ，
∴ ，
∴在|﹣2|，20，2﹣1， 这四个数中，最大的数是|﹣2|．
故选：A．
点评： （1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（3）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．
2．（3分）（2015•潍坊）如图所示几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．.
分析： 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
解答： 解：从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线．
故选C．
点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3．（3分）（2015•潍坊）2015年5月17日是第25个全国助残日，今年全国助残日的主题是“关注孤独症儿童，走向美好未来”．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国0～6岁精神残疾儿童约为11.1万人．11.1万用科学记数法表示为（ ）
A．x k 1.11×104 B． 11.1×104 C． 1.11×105 D． 1.11×106
考点： 科学记数法—表示较大的数．.
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：将11.1万用科学记数法表示为1.11×105．
故选C．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2015•潍坊）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．.
分析： 根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故正确；
C、是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故错误．
故选B．
点评： 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（3分）（2015•潍坊）下列运算正确的是（ ）
A． + = B． 3x2y﹣x2y=3
C． =a+b D． （a2b）3=a6b3
考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；约分；二次根式的加减法．.
分析： A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可．
B：根据合并同类项的方法判断即可．
C：根据约分的方法判断即可．
D：根据积的乘方的运算方法判断即可．
解答： 解：∵ ，
∴选项A不正确；
∵3x2y﹣x2y=2x2y，
∴选项B不正确；
∵ ，
∴选项C不正确；
∵（a2b）3=a6b3，
∴选项D正确．
故选：D．
点评： （1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n =amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（2）此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次根式的加减法的步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．
（3）此题还考查了合并同类项，以及约分的方法的应用，要熟练掌握．
6．（3分）（2015•潍坊）不等式组 的所有整数解的和是（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 6
考点： 一元一次不等式组的整数解．.
分析： 先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可．
解答： 解：
∵解不等式①得；x＞﹣ ，
解不等式②得；x≤3，
∴不等式组的解集为﹣ ＜x≤3，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，
0+1+2+3=6，
故选D．
点评： 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集，难度适中．
7．（3分）（2015•潍坊）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（ ）
A． 70° B． 50° C． 45° D． 20°
考点： 切线的性质．.
分析： 由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°．
解答： 解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
点评： 本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键．
8．（3分）（2015•潍坊）若式子 +（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考 点： 一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．.
分析： 首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a 0=1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．
解答： 解：∵式子 +（k﹣1）0有意义，
∴
解得k＞1，
∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，
∴一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：
．
故选：A．
点评： （1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
9．（3分）（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于 AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
考点： 平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．.
分析： 根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出 = ，代入求出即可．
解答： 解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴ = ，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴ = ，
∴BE=8，
故选D．
点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
10．（3分）（2015•潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（ ）
A． （ π﹣4 ）cm2 B． （ π﹣8 ）cm2 C． （ π﹣4 ）cm2 D． （ π﹣2 ）cm2
考点： 垂径定理的应用；扇形面积的计算．.
分析： 作OD⊥AB于C，交 小⊙O于D，则CD=2，由垂径定理可知AC=CB，利用正弦函数求得∠OAC=30°，进而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出AB的值，从而利用S扇形﹣S△AOB求得杯底有水部分的面积．
解答： 解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
在RT△AOC中，sin∠OAC= = ，
∴∠OAC=30°，
∴∠AOC=120°，
AC= =2 ，
∴AB=4 ，
∴杯底有水部分的面积=S扇形﹣S△AOB= ﹣ × ×2=（ π﹣4 ）cm2
故选A．
点评： 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．（3分）（2015•潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
考点： 二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.
分析： 如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．
解答： 解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A= ∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，
∴DE=6﹣2 x，
∴纸盒侧面积=3x（6﹣2 x）=﹣6 x2+18x，
=﹣6 （x﹣ ）2+ ，
∴当x= 时，纸盒侧面积最大为 ．
故选C．
点评： 本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．
12．（3分）（2015•潍坊）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 二次函数图象与系数的关系．.
分析： ①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可．
②根据二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得△=0，即b2﹣4ac=0．
③首先根据对称轴x=﹣ =﹣1，可得b=2a，然后根据b2﹣4ac=0，确定出a的取值范围即可．
④根据对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，可得x=﹣2时，y＞2，据此判断即可．
解答： 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左边，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴结论①不正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，
∴△=0，
即b2﹣4ac=0，
∴结论②正确；
∵对称轴x=﹣ =﹣1，
∴b=2a，
∵b2﹣4ac=0，
∴4a2﹣4ac=0，
∴a=c，
∵c＞0，
∴a＞0，
∴结论③不正确；
∵对称轴是x=﹣1，而且x=0时，y＞2，
∴x=﹣2时，y＞2，
∴4a﹣2b+c+2＞2，
∴4a﹣2b+c＞0．
∴结论④正确．
综上，可得
正确结论的个数是2个：②④．
故选：B．
点评： 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于 （0，c）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果．）
13．（3分）（2015•潍坊）“植树节”时，九年级一班6个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x，6，4．已知这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是 5 ．
考点： 算术平均数；众数．.
分析： 首先根据众数为5得出x=5，然后根据平均数的概念求解．
解答： 解：∵这组数据的众数是5，
∴x=5，
则平均数为： =5．
故答案为：5．
点评： 本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
14．（3分）（2015•潍坊）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=50，AB=20，∠B=60°，则AD= 30 ．
考点： 等腰梯形的性质．.
分析： 首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=AB=20，AD=EC，易得△ABE是等边三角形，即可求得AD的长．
解答： 解：过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=AB=20，AD=EC，
∵∠B=60°，
∴BE=AB=AE=20，
∴AD=BC﹣CE=50﹣20=30．
故答案为：30
点评： 此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线．
15．（3分）（2015•潍坊）因式分解：ax2﹣7ax+6a= a（x﹣1）（x﹣6） ．
考点： 因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．.
专题： 计算题．
分析： 原式提取a，再利用十字相乘法分解即可．
解答： 解：原式=a（x2﹣7x+6）=a（x﹣1）（x﹣6），
故答案为：a（x﹣1）（x﹣6）
点评： 此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提取公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．（3分）（2015•潍坊）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 135 m．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
分析： 根据“爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°”可以求出CD的长．
解答： 解：∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，
∴∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，
tan30°= ，
解得， = ，
∴AD=45 ，
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，
∴在Rt△ACD中，
CD=AD•tan60°=45 × =135米．
故答案为135米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形．
17．（3分）（2015•潍坊）如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn= （ ）n ．（用含n的式子表示）
考点： 等边三角形的性质．.
专题： 规律型．
分析： 由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出S1，同理求出S2，依此类推，得到Sn．
解答： 解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1= ，
∴S1= × ×（ ）2= （ ）1；
∵等边三角形AB1C1的边长为 ，AB2⊥B1C1，
∴B1B2= ，AB1= ，
根据勾股定理得：AB2= ，
∴S2= × ×（ ）2= （ ）2；
依此类推，Sn= （ ）n．
故答案为： （ ）n．
点评： 此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
18．（3分）（2015•潍坊）正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2= （k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B，AM⊥y轴，垂足为M．若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的取值范围是 ﹣2＜x＜0或x＞2 ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： 由反比例函数图象的对称性可得：点A和点B关于原点对称，再根据△AMB的面积为8列出方程 ×4n×2=8，解方程求出n的值，然后利用图象可知满足y1＞y2的实数x的取值范围．
解答： 解：∵正比例函数y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数y2= （k≠0）的图象交于点A（n，4）和点B ，
∴B（﹣n，﹣4）．
∵△AMB的面积为8，
∴ ×4n×2=8，
解得n=2，
∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）．
由图形可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时，正比例函数y1=mx（m＞0）的图象在反比例函数y2= （k≠0）图象的上方，即y1＞y2．
故答案为﹣2＜x＜0或x＞2．
点评： 本题考查了一次函 数和反比例函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数的对称性，体现了数形结合的思想．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（9分）（2015•潍坊）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.
分析： （1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“购进了A、B两种型号家用净水器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．”列出方程组解答即可；
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，列出不等式解答即可．
解答： 解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，
由题意得 ，
解得 ．
答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，
由题意得100a+60×2a≥11000，
解得a≥50，
150+50=200（元）．
答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
点评： 此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
20．（10分）（2015•潍坊）某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表：
阅读本数n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1
请根据以上信息回答下列问题：
（1）分别求出统计表中的x、y的值；
（2）估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；
（3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．
考点： 列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．.
分析： （1）首先求得总分数，然后即可求得x和y的值；
（2）首先求得样本中的优秀率，然后用样本估计总体即可；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可．
解答： 解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%=50，
则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%=30，
∴x=30﹣（12+7）=11，
y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3．
（2）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为 =8%，
∴，估计九年级400名学生中为优秀档次的人数为400×8%=32；
（3）用A、B、C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读9本的学生，列表得到：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
由列表可知，共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种，
所以抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率为 = ；
点评： 考查了列表与树状图法求概率、用样本估计总体及扇形统计图的知识，解题的关键是能够通过列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
21．（10分）（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．
考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质．.
分析： （1）连接OD，利用AB=AC，OD=OC，证得OD∥AD，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；
（2）证得△BED∽△BCA，求得BE，利用AC=AB=AE+BE求得答案即可．
解答： （1）证明：如图，
连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴ = ，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD= BC=3，
又∵AE=7，
∴ = ，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
点评： 此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
22．（11分）（2015•潍坊）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班．王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v（米/分钟）随时间t（分 钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段OA、AB和BC组成．设线段OC上有一动点T（t，0），直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）．
（1）①当t=2分钟时，速度v= 200 米/分钟，路程s= 200 米；
②当t=15分钟时，速度v= 300 米/分钟，路程s= 4050 米．
（2）当0≤t≤3和3＜t≤15时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式；
（3）求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t．
考点： 一次函数的应用．.
分析： （1）①根据图象得出直线OA的解析式，代入t=2解答即可；
②根据图象得出t=15时的速度，并计算其路程即可；
（2）利用待定系数法得出0≤t≤3和3＜t≤15时的解析式即可；
（3）根据当3＜t≤15时的解析式，将y=750代入解答即可．
解答： 解：（1）①直线OA的解析式为：y= t=100t，
把t=2代入可得：y=200；
路程S= =200，
故答案为：200；200；
②当t=15时，速度为定值=300，路程= ，
故答案为：300；4050；
（2）①当0≤t≤3，设直线OA的解析式为：y=kt，由图象可知点A（3，300），
∴300=3k，
解得：k=100，
则解析式为：y=100t；
设l与OA的交点为P，则P（t，100t），
∴s= ，
②当3＜t≤15时，设l与AB的交点为Q，则Q（t，300），
∴S= ，
（3）∵当0≤t≤3，S最大=50×9=450，
∵750＞50，
∴当3＜t≤15时，450＜S≤4050，
则令750=300t﹣450，
解得：t=4．
故王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间4分钟．
点评： 此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析式．
23．（12分）（2015•潍坊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
考点： 几何变换综合题．.
分析： （1）延长ED交交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′= +2，此时α=315°．
解答： 解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠AGO+∠DEO =90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD= OG= OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O= = ，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，
即α=30°；
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB= ，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG= ，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′= +2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
点评： 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．
24．（14分）（2015•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△AP C面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值； 若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．.
分析： （1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；
（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；
（3）分2＜t≤ 6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
解答： 解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，
∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m= ，
∴该抛物线解析式为：y= ；
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣ x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣ ），
∵P（t， ），∴PF= ，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
= ，
此时最大值为： ，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣ ），
∵P（t， ），∴PM= ，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
= ，
当t=8时，取最大值，最大值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；
（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t， ），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ= ，
若：△AOB∽△AQP，则： ，
即： ，
∴t=0（舍），或t= ，
若△AOB∽△PQA，则： ，
即： ，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时，AQ′=t，PQ′= ，
若：△AOB∽△AQP，则： ，
即： ，
∴t=0（舍），或t= ，
若△AOB∽△PQA，则： ，
即： ，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t= 或t= 或t=14．
点评： 本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总结．