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2015年兰州市初中毕业生学业考试
数 学（A）
解析者：浙江省杭州市余杭区临平一中 朱兵
一、选择题（本题有15小题，每小题4分，共60分）
【 答 案 】C
【考点解剖】本题考查的是二次函数的概念
【解答过程】所谓二次函数，是指形如 的函数，其中 ， ， 都是常数，且 。
首先，二次函数必须是整式函数，因此D就被排除；
其次，函数的形式，那么它的最高次项是二次，并且由 ，就保证了它一定要含有二次项，所以A也被排除；
再来看B和C的区别：仅从形式上看，似乎没什么区别，但由于二次函数必须要求 ，也就是说二次项系数必须不能为0，而这一点上，B选项是没有保证的，所以B选项也不对。这样，只剩下C。
【易错点津】主要看二次项系数是确定的具体的数，还是含有字母的一般的数
【归纳拓展】如函数 或方程 ，在没有明确给出字母 的取值范围之前，它们未必是关于 的二次函数或二次方程
【题目星级】★★
【 答 案 】B
【考点解剖】本题考查了三视图的相关知识，以及考生的空间概念能力
【解答过程】就本题而言，其三视图如图
那么容易得知只能是选项B。
【题目星级】★★
【 答 案 】A
【考点解剖】本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识
【思路点拔】如果将二次函数改写为顶点式： ，那么其顶点为
（ ， ），对称轴为直线 （也有一些教科书将顶点式表示为 的形式，那么其顶点就是（ ， ），对称轴为直线 ）
【解答过程】这四个函数中，对称轴分别是A： ；B： ；C： ；D： ，所以只能是选项A
【解题策略】在涉及到二次函数的对称轴问题时，可以将函数改写为顶点式 的形式，那么只要令 ，其对称轴就便可求之。
【题目星级】★★★
【 答 案 】D
【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义
【思路点拔】直角三角形中，某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比
【解答过程】Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2= AB2+(2AB)2=5 AB2，
∴AC= AB，则cosA= ，选D
【解题策略】一般地说，在涉及到某个锐角的三角函数值时，只要将之放到直角三角形中去，那么问题往往不难解决。
在直角三角形中，我们将夹角α的那条直角边称为邻边，角α所对的那条边称为对边，那么角阿尔法的各三角函数值分别为 ， ， 。
如果原题没有图，那么可以自己在草稿纸上画一个示意图；如果是在斜三角形中，那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来，将问题转化到直角三角形中去解决。
【题目星级】★★
【 答 案 】B
【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识
【思路点拔】根据题意：AO:CO=BO:DO=5:2，而位似中心恰好是坐标原点O，所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍，因此选B。
【题目星级】★★★
【 答 案 】C
【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质，以及乘法公式中的相关知识。
【知识准备】完全平方公式：
【解答过程】将各选项左边展开，并整理成一般式：
A： ， ；
B： ， ；
C： ， ；
D： ， ，
因此正确选项为C
【思维模式】此类题的关键在于配方
【一题多解】由于在配方过程中，需要在方程的两边加上相同的一个数；而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”，其实际上也是在方程两边都加上相等的东西，因此，无论方程如何变形，两边增减的“量”都是相等的，所以本题亦可采用如下方式进行：
在原方程中，取 ，此时，左边=-1，右边=0，
在各选择支中，如果变形是正确的话，左边应该始终比右边的值小1，在 时，
A左=16，A右=17； B左=16，B右=15，则 (即B被排除)；
C左=16，C右=17； D左=16，D右=15，则 ；
现在留下A、C两个选项，难道两个都是正确的吗？当然不是。
我们再换一个 的值试试：取 ，那么原式左边=-8，原式右边=0，
也就是说：在同样的条件下，如果是正确的变形，那么一定是满足左边=右边-8，反之，如果不满足这一条件，那么就一定是错的。
当 时，A左=25≠A右-8，所以
这里需要提醒注意的是：这样的方法只能用来排除错误，不能保证正确。
如在本题中，当 时，虽然也有C左=C右-8，但不能就此判言C为正确，但因为A，B，D都已被排除，所以唯一留下的C选项必为对的。
再啰嗦一句：上面介绍的“特殊值法”，在本题中其实反而显得很笨拙，但如果换个场合，有可能是一个高效、灵活的解题方法。
【题目星级】★★
【 答 案 】D
【考点解剖】本题考查特殊平行四边形的性质和判定
【解答过程】略
【题目星级】★★★
【 答 案 】A
【考点解剖】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质
【知识准备】一次函数 的图象是一条直线，当 时，这条直线从左到右是上升的；反之，它是下降的；
反比例函数 的图象是双曲线，当 时，其图象分别位于第一、三两个象限，并且在每个象限（注意：仅仅是在该象限之内），图象上的点越来越低（从左到右）；反之，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内图象位置越来越高。
【解答过程】观察A：从直线的方向向下（从左到右），说明其中的 ；再看双曲线，位于二、四象限，那么其比例系数 ，这样分析并没有看出什么不妥，但是我们也不宜急于下结论就说A是正确选项，因为或许还有哪个地方没有被我们注意到呢？
观察B：从直线形态来看，应该有 ，但是从双曲线的形态来说，又应该是 ，这里是矛盾的，所以 ；
同样道理，C也是错误的；
再看D：无论是直线还是双曲线，都满足 ，这里并没有看出什么矛盾。
那么问题来了：A和D，到底哪个才是正确的选项？
当我们感到山重水复时，如果再静下心来重新读题，很有可能会有新的发现，从而寻找到一条通向柳暗花明之路。
在一次函数 中，如果我们将表达式改写为 ，那么就会发现：无论 取什么值，当 时，其函数值都为0，换句话说：该直线一定通过（1，0）。
从这一点分析，D当然就不符合这样的特征，所以D又被排除了，那么只能选A。
【题目星级】★★★★
【 答 案 】B
【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念
【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。
【解答过程】∠ACB和∠AOB都是⊙P中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等
【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合，如果连结AB，还有可能需要说明AB是直径，或者点P在AB上。
【题目星级】★★
【 答 案 】B
【考点解剖】本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点
【知识准备】菱形的四条边相等，对角相等，对角线互相垂直平分；等腰三角形底边上的高线平分底边和顶角。
【思路点拔】由菱形的性质以及现有条件，可得△AEF是正三角形，而正三角形的面积等于边长的平方的 倍
【解答过程】连结AC和BD，并记它们的交点为G，则有AC⊥BD，且AG=CG，BG=CG，
△ABC中，AB=CB，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，
正三角形△ABC中，AE和BG是中线，也是高线，可求得AE=BG= AB= ，
△BCD中，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，且EF= BD= BG= ，
记AC与EF的交点H，因为EF∥BD，AC⊥BD，所以AH⊥EF，
且由相似形的性质，可得CH= CG= AC=1，则AH=AC-CH=4-1=3，
则 。
【题目星级】★★★★
【 答 案 】B
【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质
【知识准备】所谓某个量 ，它增长了 ，意味着增长部分是 ，那么它就由原来的 ，增长到了（ ），也就是
【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1（如果你觉得不放心，也可以假设为 或 等与现有字母不冲突的任何字母），那么跌停后的价格就是0.9。
之后两天中的第一天，是在0.9的基础上增加了 ，那么就是到了 ；
接下去要注意的是：虽然第二天增长率同样为 ，但是起步价变了，已经不是0.9，而是前一天收市之后的 ，它是在 的基础上增加到了 倍（请注意增加和增加到的区别），因此，现在的股价是 ，也就是 。
【解答过程】跌停后，股价为0.9，连续两天按照 的增长率增长后，股价为 ，根据题意，得方程 ，那么正确选项为B。
【易错点津】首先必须要分清楚增加（或减少）的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系？其次，这个基础“1”前后是否发生了变化。
【题目星级】★★★
【 答 案 】D
【考点解剖】本题考查反比例函数的图象和性质，以及坐标系中的相关知识点。
【思路点拔】反比例函数 的图象关于原点对称，既然 ，那么必有 ，所以选D。
【题目星级】★★★
【 答 案 】A
【考点解剖】本题考查的是坐标系以及函数的图象的相关知识点
【知识准备】以自变量 的值为横坐标，以对应函数值 为纵坐标所确定的点，称为函数图象上的一个点；所有函数图像上的点所构成的集合，称为函数的图象。
【解答过程】点C坐标为（0，c），因为点C在 轴正半轴上，所以CO= ，
由已知，OA=OC，且点A在 轴负半轴，所以A（ ，0），
A（ ，0）在抛物线上，则 ，即 ，
因为 （否则点C在原点），所以 ，即 ，所以选A。
【题目星级】★★★★
【 答 案 】C
【考点解剖】本题考查二次函数的图象和性质、直角坐标系中的相关知识点
【知识准备】二次函数 的对称轴为直线
【解答过程】 的图象是一条开口向上，对称轴为 的抛物线，
点P（ ， ）在抛物线上，由图知：当点P在 轴上方（ ）时，对应部分图形在直线 左侧，或者直线 右侧。此时，对应的 的值（即 的值）为 ，或 ，所以 ， ；
A选项的“当 时， ”，说的是“当点P在 轴下方时，它位于 轴的左侧”，由图可以看出：而这一点未必正确，因为点P也可能在 轴的右侧，所以 ；
由图我们看到：由于抛物线开口向上，且与 轴的交于点A和点B，那么抛物线上位于A，B两点之间部分在 轴下方；翻过来，当图象居于 轴下方时，对应的点必定在直线 和直线 之间，也就是说：当 时， ，所以选C。
【题目星级】★★★★
【 答 案 】A
【考点解剖】本题考查的是矩形性质，弧长的计算
【知识准备】矩形的对角线相等，且互相平分；半径为 ，圆心角为 的弧的长度为
【解答过程】连结OP，由矩形性质知：OP=MN，且它们相交于中点Q，
则当点P沿着圆周转过45°时，点Q在以O为圆心，以OQ=1为半径的圆周上转过45°，因此只要求出以1为半径，45°圆心角所对弧的长便可。
弧长计算公式忘记了怎么办？没关系，临时推导一下就行：整个圆的周长是 ，那么所求弧长就等于45°圆心角在整个周角360°中所占的份额： ，即 。
【题目星级】★★★★
二、填空题（本题有5小题，每小题4分，共20分）
【 答 案 】2015
【考点解剖】本题考查了方程的解的概念
【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。
【解答过程】因为 是方程的解，所以 ，
即 ，所以
【题目星级】★★
【 答 案 】3
【考点解剖】本题考查比例的基本性质
【解答过程】因为 ，且 ，所以 ，
而 ，即 ，所以 。
【一题多解】因为 ，所以 ， ， ，
而 ，即 ，
因为 ，所以 。
【题目星级】★★★
【 答 案 】10
【考点解剖】本题考查概率和频率
【知识准备】当独立随机实验的次数足够大时，某现象发生的频率总在概率附近波动
【解答过程】由列表知：摸出黑球的频率约为0.500，所以所有小球的数量约10个
【题目星级】★★
【 答 案 】S1=S2
【考点解剖】本题考查的是反比例函数的图象，图形的面积变换，平面直角坐标系
【知识准备】坐标平面内点P（ ， ）到 轴和 轴的距离分别是 和 ；
，等底等高的两个三角形面积相等
【思路点拔】如果点B和点M在原点处，那么我们很容易知道这两个三角形面积是相等的，
但现在这两个三角形都在半途，我们自然想到如何将之与△APO和△QNO联系？
画出图形后，我们发现：只要能说明S△PBO=S△QMO，那么问题便可解决。
【解答过程】分别连结PO，QO，设P（ ， ）则有 ，
因为点P在 图象上，所以 ，则 ，同样： ，
所以 ；
连结BM，因为BQ∥ 轴，PM∥ 轴，则有 ， ，
所以 ；
因为 ， ，所以 ，
即S1=S2
【题目星级】★★★★
【思维模式】碰到新情况，我们要想办法如何将问题向我们熟知的场景转化
【 答 案 】30°
【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质
【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的一半，
在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。
【思路点拔】BC=半径，那么BC与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。
【解答过程】分别连结OB和OC，因为BC=OB=OC，所以∠O=60°，
则在⊙O中，∠A= ∠B=30°.
【题目星级】★★
三、解答题（本题有8小题，共70分。解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
【考点解剖】本题考查特殊角的三角函数值和实数的运算
【解答过程】原式=
【题目星级】★★
【考点解剖】本题考查一元二次方程的解法
【解答过程】 ， ， ，
所以， ，
【题目星级】★★★
【考点解剖】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，基本作图
【知识准备】角平分线上的点到角两边的距离相等，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【思路点拔】MN是⊙P的弦，那么圆心P到弦的两个端点的距离相等，所以圆心P在线段MN的垂直平分线上；
圆心P到∠AOB两边的距离相等，则P在∠AOB的角平分线上，
所以，圆心P在线段MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点。
【解答过程】作线段MN的垂直平分线 ；
作∠AOB的角平分线，并记之与 的交点为P；
以P为圆心，PM为半径作圆，则⊙P为所求图形。
【易错点津】无论是否要求写出作图过程，千万不要漏写结论。
在书写结论时，一定要写明哪个图形是所求作的图形，是哪一条线段？还是哪个角？或者是哪个点等，千万不要笼统地说“如图为所求图形”。
例如在本题中，所求的图形是一个圆，那么结论就应该很明确地说“⊙P为所求图形”。
【题目星级】★★★★
【考点解剖】本题考查树状图的画法
【解答过程】（1）三次传球所有可能的情况如图：
（2）由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P（甲）= ，即 ；
（3）由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P（乙）= ，
P（乙）>P（甲），所以是传到乙脚下的概率要大。
【题目星级】★★
【考点解剖】本题考查投影和相似的相关知识点
【知识准备】太阳光照射下的投影是平行投影；
相似图形对应边的比等于它们的相似比；
矩形对边相等。
【思路点拔】假若影子完全落在地面上，那么根据两个三角形相似，很容易就可以求出答案；
现在既然是落在墙上的投影影响我们的解题，很容易就想到如何消除墙上影子的影响？自然而然地，就想到了只要过墙上影子的顶端，作地平线的平行线，这样问题就可以解决了。
【解答过程】分别作EM⊥AB，GN⊥CD，垂足分别是M，N，则有△AEM∽△CGN，MB=EF=2，ME=BF=10，ND=GH=3，NG=DH=5，
所以，AM=AB-MB=10-2=8，CN=CD-ND=CD-3，
∵△CGN∽△AEM， ∴ , 即 , ∴CD=7
【题目星级】★★★
25.（本小题满分9分）如图，四边形ABCD中AB∥CD，AB≠CD，BD=AC。
（1）求证：AD=BC；
（2）若E，F，F，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，
求证：线段EF与线段GH互相垂直平分。
【考点解剖】本题考查特殊四边形的性质，和等腰三角形性质中的相关知识点。
【知识准备】在同一个三角形中，相等的边所对的角相等；
平行四边形对边相等
【思路点拔】（1）要说明AD=BC，只要能说明△ACD≌△BDC，
现已有AC=BD，CD=DC，那么关键是如何说明∠1=∠2；
这里需要注意的是：由AC=BD，并不能直接得出结论∠1=∠2，因为AC和BD并非同一个三角形中的元素。
能否以某一角为媒介，使得∠1和∠2都与之相等？
结合已知条件中的AC=BD，如果能够构造出以AC和BD为其中两边的三角形，那么它们所对的角自然相等。
为此，可将AC平移，使点A到点B位置（如图），那么有∠2=∠K，而∠K=∠1，则有∠2=∠1，问题得以解决；
（2）要说明线段EF与线段GH互相垂直平分，只要能说明线段EF与GH是菱形的两条对角线即可。
【解答过程】（1）延长DC至K，使CK=AB，∵AB CK，∴四边形ABKC是平行四边形，
则在□ABKC中，有AC BK，∴∠1=∠K，
∵BD=AC，AC=BK，∴BD=BK，则有∠2=∠K，
∵∠2=∠K，∠1=∠K，∴∠1=∠2 。
△ACD和△BDC中，∵ ， ∴△ACD≌△BDC（SAS），
∴AD=BC ；
（2）分别连结EH，HF，FG和GE，
∵E，H分别是AB，DB的中点， ∴EH AD，
同理：GF AD，EG BC，HF BC，
∵AD=BC，∴EH=HF=FG=GE， ∴四边形EHFG是菱形，
∴EF与GH互相垂直平分（菱形的对角线互相垂直平分）。
【题目星级】★★★★
【解题策略】很多时候，在直接说明某两个量相等（如本题中需证明∠1=∠2）有困难时，我们往往可以寻找第三方媒介，分别说明目标的两个量与第三方的这个量相等，从而达到说明两个目标量相等的目的。
例如证明本题中的∠1=∠2，以及本卷第19题中的 ，或者S1=S2。
【考点解剖】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，直角坐标系，三角形面积，数形结合思想
【知识准备】三角形面积= 底边长×高线长，
某一点在某函数的图象上，那么意味着当自变量取值该点的横坐标时，该函数的函数值为该点的纵坐标。因此，从图象上我们可以看出：点的位置越往右，对应的 的值就越大；点的位置越往上，对应的函数值就越大。
【思路点拔】（1）所谓的 ，也就是 ，说明对于同样的 直线上的点必须在双曲线的上方，
从图中我们可以看到：在第二象限，只有线段AB（不包括两个端点）才居于双曲线的上方，而点A和B的坐标均为已知；
（3）△PCA和△PDB的面积，均随着点P位置的改变而改变，
而其中AC和BD都是固定的，所以只要确定了点P，这两三角形的面积也就随之确定，
既然点P在直线AB上，在解决了（2）之后，点P的横坐标和纵坐标之间的关系也就受到约束，它们之间可以互相用另一个量来表示。
【解答过程】（1）由图象知：当 时， ；
（2）∵一次函数的图象经过A（-4， ），B（-1，2）两点
∴ ，求得 ， ，∴所求直线为 ；
∵函数 的图象过B（-1，2）， ∴ ，则 ， ，
∴所求一次函数为 ， ；
（3）设点P（ ， ），∵点P在线段AB上，∴-4≤ ≤-1，
∵A（-4， ），B（-1，2），
∴AC= ，BD=1；
分别作点P到AC和BD的垂线段PE和PH，E和H是垂足（如图），
则PE= （-4≤ ≤-1），PH= ，
∵点P（ ， ）在直线 上，∴ ，
则PH= ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，∴ ，则
∴P（ ， ）
【题目星级】★★★★
【归纳拓展】如果我们将（3）中的“P是线段AB上一点”改为“P是直线AB上一点”，情况会有什么变化？
从上面解答过程中我们不难知道：当点P的位置不同时，PE和PH的表达式也会因点P的位置不同而改变：
当点P在点A的左下方时， ，PE= ，PH= ，
此时，根据 建立起来的方程无解，也就是没有满足条件的点P存在；
当点P在点B的右上方时， ，PE= ，PH= ，
此时，根据 建立起来的方程无解，也就是没有满足条件的点P存在；
【考点解剖】本题考查圆与直线的位置关系，扇形面积计算
【知识准备】过直径的端点，且与直径垂直的直线是圆的切线
【思路点拔】（1）我们当然很容易就猜想到BC是⊙O的切线，为此，只要连结OD，
证明OD⊥BC即可；
（2）只要求出△OBD的面积和扇形ODE的面积，那么两者之差便为阴影部分的面积
【解答过程】（1）连结OD，∵OA=OD，∴∠2=∠3，
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，
而∠2=∠3，∴∠1=∠3，
∴OD∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠ODB=∠C=90°（两直线平行，同位角相等）
即OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线（过直径的一个端点，且与直径垂直的直线是圆的切线）；
（2）①过点O作AC的垂线段OH，则OH∥BC，∠AOH=∠B=30°，
Rt△AOH中，AH=AO•sin∠AOH=AO•sin30°= AO，
矩形CDOH中，CH=OD，而OD=OA，
∵AC=AH+CH，即3= AO+AO， ∴AO=2，即⊙O的半径为2；
②Rt△OBD中，∠BOD=90°-∠B=60°，则BD=DO•tan60°= ，
， ，
∴ 。
【题目星级】★★★★
【解题策略】涉及到非常规图形的面积问题时，我们通常采用的是割补的方法，将问题转化为常规图形的面积问题来解决
【考点解剖】本题考查函数与图象，平面直角坐标系，韦达定理以及勾股定理等相关知识点
【知识准备】三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形。
【思路点拔】要说明某三角形是否直角三角形，只要确定是否有两条边的平方和等于第三边的平方
【解答过程】（1）∵函数 的图象经过点（2，1），则 ，∴ ，
∴所求函数为 ；
（2）①当 时，一次函数为 ，
解方程组 ，
得两函数图象的交点为A（-2，1），B（8，16），
分别作点A和点B到 轴的垂线段AM，BN，并作点A到BN的垂线段AG，
则M（-2，0），N（8，0），G（8，1），
那么有AM=1，BN=16，MO=2，NO=8，AG=10，BG=15，
Rt△ABG中，AB2=AG2+BG2=102+152=325，同样的，可求得AO2=5，BO2=320，
△AOB中，∵AO2+BO2=325= AB2， ∴△AOB是直角三角形；
②∵A（ ， ），B（ ， ）是抛物线 与直线 的交点，
所以（ ， ），（ ， ）是方程组 的两个解，
也就是说： ， 是方程 的两个实数解，
将该方程改写为 ，则有 ， ，
由①的解题过程，我们可以得到：AB2= ，
∵A（ ， ），B（ ， ）在直线 上，
∴ ， ，则 ，
∴AB2= ，
∵ ， ，
∴ ，
∴AB2= ；
同样的，AO2= ，
BO2= ，
AO2+ BO2= [ ]+[ ]
= ，
而 ，
∴AO2+ BO2=
则AO2+ BO2= = BO2，∴△AOB是直角三角形；
（3）无论 取什么值，△AOB都是直角三角形。
【题目星级】★★★★★
【思维模式】对于结论不确定的问题，首先是需要猜想结论是什么，然后是证实或否定结论。
如：本卷中第27（1）题，先是猜想切线，然后就朝着切线的目标去证实；
再比如本题中的（2）②，我们首先需要猜想△AOB究竟是不是直角三角形，然后再加以证明或否定。