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2015年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2015•武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（ ）
A． ﹣3 B． 0 C． 5 D． 3
考点： 实数大小比较．
分析： 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解答： 解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣3＜0＜3＜5，
所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．
故选：A．
点评： 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．（3分）（2015•武汉）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． x≥﹣2 B． x＞﹣2 C． x≥2 D． x≤2
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：C．
点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（3分）（2015•武汉）把a2﹣2a分解因式，正确的是（ ）
A． a（a﹣2） B． a（a+2） C． a（a2﹣2） D． a（2﹣a）
考点： 因式分解-提公因式法．
专题： 计算题．
分析： 原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
解答： 解：原式=a（a﹣2），
故选A．
点评： 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
4．（3分）（2015•武汉）一组数据3，8，12，17，40的中位数为（ ）
A． 3 B． 8 C． 12 D． 17
考 点： 中位数．
分析： 首先把这组数据3，8，12，17，40从小到大排列，然后判断出中间的数是多少，即可判断出这组数据的中位数为多少．
解答： 解：把3，8，12，17，40从小到大排列，可得
3，8，12，17，40，
所以这组数据3，8，12，17，40的中位数为12．
故选：C．
点评： 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（3分）（2015•武汉）下列计算正确的是（ ）
A． 2a2﹣4a2=﹣2 B． 3a+a=3a2 C． 3a•a=3a2 D． 4a6÷2a3=2a2
解：A、原式=﹣2a2，错误；
B、原式=4a，错误；
C、原式=3a2，正确；
D、原式=2a3，错误．
故选C．
6．（3分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为 ，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A． （2，1） B． （2，0） C． （3，3） D． （3，1）
解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是 ，
∴ = ，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
7．（3分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）
A． B． C． D．
解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．
故选：B．
8．（3分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A． 4：00气温最低 B． 6：00气温为24℃
C． 14：00气温最高 D． 气温是30℃的时刻为16：00
解：A、由横坐标看出4：00气温最低是24℃，故A正确；
B、由纵坐标看出6：00气温为24℃，故B正确；
C、由横坐标看出14：00气温最高31℃；
D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12：00，16：00，故D错误；
故选：D．
9．（3分）（2015•武汉）在反比例函数y= 图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A． m＞ B． m＜ C． m≥ D． m≤
解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜ ．
故选B．
10．（3分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）
A． 2﹣ B． +1 C． D． ﹣1
解：连接AD、DG、BO、OM，如图．
∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，
∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， = ，
∴△DAG∽△DCF，
∴∠DAG=∠DCF．
∴A、D、C、M四点共圆．
根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，
当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，
此时，BO= = = ，OM= AC=1，
则BM=BO﹣OM= ﹣1．
故选D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
11．（3分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）= ﹣4 ．
考点： 有理数的加法．
专题： 计算题．
分析： 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣（10﹣6）=﹣4．
故答案为：﹣4．
点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）（2015•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为 3.7×105 ．
解：370 000=3.7×105，
故答案为：3.7×105．
13．（3分）（2015•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是 6 ．
解：（2+3+6+8+11）÷5
=30÷5
=6
所以一组数据2，3，6，8，11的平均数是6．
故答案为：6．
14．（3分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元．
解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，
1千克苹果的价钱为：y=10，
设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），
把（2，20），（4，36）代入得： ，
解得： ，
∴y=8x+4，
当x=3时，y=8×3+4=28．
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），
30﹣28=2（元）．
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．
15．（3分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3= 10 ．
解：根据题中的新定义化简已知等式得： ，
解得：a=1，b=2，
则2*3=4a+3b=4+6=10，
故答案为：10．
16．（3分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′= = ．
故答案为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．
17．（8分）（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），
∴4=k+3，
∴k=1，
∴这个一次函数的解析式是：y=x+3．
（2）∵k=1，
∴x+3≤6，
∴x≤3，
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3．
18．（8分）（2015•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB=∠DFE=90°，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
19．（8分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；
（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：
①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．
解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为： ；
（2）画树状图得：
则共有16种等可能的结果；
①∵两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的有2种情况，
∴两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率为： = ；
②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况，
∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为： ．
20．（8分）（2015•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），
∴C（4，﹣2），D（1，2）；
（2）线段AB到线段CD的变换过程是：线段AB向右平移5个单位得到线段CD；
（3）由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，
A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，
∴SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，
∴SABCD=5×4=20．
21．（8分）（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．
解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．
∴∠TAB=90°，
∴TA⊥AB，
∴AT是⊙O的切线；
（2）作CD⊥AT于D，
∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，
设OA=x，则AT=2x，
∴OT= x，
∴TC=（ ﹣1）x，
∵CD⊥AT，TA⊥AB
∴CD∥AB，
∴ = = ，即 = = ，
∴CD=（1﹣ ）x，TD=2（1﹣ ）x，
∴AD=2x﹣2（1﹣ ）x= x，
∴tan∠TAC= = = ﹣1．
22．（10分）（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．
（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．
①求 的值；
②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；
（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．
解：（1）①∵EF∥BC，
∴ ，
∴ = ，
即 的值是 ．
②∵EH=x，
∴KD=EH=x，AK=8﹣x，
∵ = ，
∴EF= ，
∴S=EH•EF= x（8﹣x）=﹣ +24，
∴当x=4时，S的最大值是24．
（2）设正方形的边长为a，
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，
，
解得a= ．
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=12÷2=6，
∴AB=AC= ，
∴AB或AC边上的高等于：
AD•BC÷AB
=8×12÷10
=
∴ ，
解得a= ．
综上，可得
正方形PQMN的边长是 或 ．
23．（10分）（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．
（1）求证：EF+PQ=BC；
（2）若S1+S3=S2，求 的值；
（3）若S3+S1=S2，直接写出 的值．
（1）证明：∵EF∥BC，PQ∥BC，
∴ ， ，
∵AE=BP，
∴AP=BE，
∴ = =1，
∴ =1，
∴EF+PQ=BC；
（2）解：过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，如图所示：
设EF=a，PQ=b，AM=h，
则BC=a+b，
∵EF∥PQ，
∴△AEF∽△APQ，
∴ = ，
∴AN= ，MN=（ ﹣1）h，
∴S1= ah，S2= （a+b）（ ﹣1）h，S3= （b+a+b）h，
∵S1+S3=S2，
∴ ah+ （a+b+b）h= （a+b）（ ﹣1）h，
解得：b=3a，
∴ =3，
∴ =2；
（3）解：∵S3﹣S1=S2，
∴ （a+b+b）h﹣ ah= （a+b）（ ﹣1）h，
解得：b=（1± ）a（负值舍去），
∴b=（1+ ）a，
∴ =1+ ，
∴ = ．
24．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y= x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．
（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．
解：（1）把A（﹣1，0）代入
得c=﹣ ，
∴抛物线解析式为
（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，
∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G
∴△EHC∽△FGC
∵E（m，n）
∴F（m， ）
又∵C（0， ）
∴EH=n+ ，CH=﹣m，FG=﹣m，CG= m2
又∵ ，
则
∴n+ =2
∴n= （﹣2＜m＜0）
（3）由题意可知P（t，0），M（t， ）
∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，
∴△OPM∽△QPB．
∴ ．
其中OP=t，PM= ，PB=1﹣t，
∴PQ= ．
BQ=
∴PQ+BQ+PB= ．
∴△PBQ的周长为2．