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2015年福建省泉州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7 小题，每小题3分，满分21分）
1．（3分）（2015•泉州）﹣7的倒数是（ ）
A． 7 B． ﹣7 C． D． ﹣
解：﹣7的倒数是﹣ ，故选：D．
点评： 本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）（2015•泉州）计算：（ab2）3=（ ）
A． 3ab2 B． ab6 C． a3b6 D． a3b2
解：（ab2）3=a3（b2）3=a3b6故选C
3．（3分）（2015•泉州）把不等式x+2≤0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：解不等式x+2≤0，得x≤﹣2．
表示在数轴上为： ．
故选：D．
4．（3分）（2015•泉州）甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2秒，方差如表
选手 甲 乙 丙 丁
方差（秒2） 0.020 0.019 0.021 0.022
则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁
解：∵0.019＜0.020＜0.021＜0.022，∴乙的方差最小，
∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B．
5．（3分）（2015•泉州）如图，△ABC沿着由点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC=5．EC=3，那么平移的距离为（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
解：根据平移的性质，
易得平移的距离=BE=5﹣3=2，
故选A．
6．（3分）（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（ ）
A． 11 B． 5 C． 2 D． 1
解：根据三角形的三边关系，
6﹣4＜AC＜6+4，
即2＜AC＜10，
符合条件的只有5，
故选：B．
7．（3分）（2015•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣ ＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴y=﹣ 位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
8．（4分）（2015•泉州）比较大小：4 ＞ （填“＞”或“＜”）
解：4= ，
＞ ，
∴4＞ ，
故答案为：＞．
9．（4分）（2015•泉州）因式分解：x2﹣49= （x+7）（x﹣7） ．
解：x2﹣49=（x﹣7）（x+7），
10．（4分）（2015•泉州）声音在空气中每小时约传播1200千米，将1200用科学记数法表示为 1.2×103 ．
解：1200=1.2×103，
11．（4分）（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= 30° °．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD= ∠BAC=30°，
故答案为：30°．
12．（4分）（2015•泉州）方程x2=2的解是 ± ．
解：x2=2，
x=± ．
故答案为± ．
13．（4分）（2015•泉州）计算： + = 2 ．
解：原式= = =2，
故答案为：2
14．（4分）（2015•泉州）如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA= ．
解：∵直线AB与⊙O相切于点B，
则∠OBA=90°．
∵AB=5，OB=3，
∴tanA= = ．
故答案为：
15．（4分）（2015•泉州）方程组 的解是 ．
解： ，
①+②得：3x=3，即x=1，
把x=1代入①得：y=﹣3，
则方程组的解为 ，
故答案为：
16．（4分）（2015•泉州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE= 50° ．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCE=∠A=50°．
故答案为50°．
17．（4分）（2015•泉州）在以O为圆心3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于 3 cm；弦AC所对的弧长等于 2π或4π cm．
解：连接OB和AC交于点D，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA=AB=BC=OC，
∵⊙O半径为3cm，
∴OA=OC=3cm，
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴ = =2π，
∴优弧 = =4π，
故答案为3，2π或4π．
三、解答题（共9小题，满分89分）
18．（9分）（2015•泉州）计算：|﹣4|+（2﹣π）0﹣8×4﹣1+ ÷ ．
解：原式=4+1﹣2+3=6．
19．（9分）（2015•泉州）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）+x2（x﹣1），其中x=﹣1．
解：原式=x2﹣4+x3﹣x2=x3﹣4，
当x=﹣1时，原式=﹣5．
20．（9分）（2015•泉州）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
21．（9分）（2015•泉州）为弘扬 “东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．
（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；
（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．
解：（1）P（第一位出场是女选手）= ；
（2）列表得：
女 男 男 男
女 ﹣﹣﹣ （男，女） （男，女） （男，女）
男 （女，男） ﹣﹣﹣ （男，男） （男，男）
男 （女，男） （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男）
男 （女，男） （男，男） （男，男） ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种，
则P（第一、二位出场都是男选手）= = ．
22．（9分）（2015•泉州）清明期间，某校师生组成 200个小组参加“保护环境，美化家园”植树活动．综合实际情况，校方要求每小组植树量为2至5棵，活动结束后，校方随机抽查了其中50个小组，根据他们的植树量绘制 出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中，植树量为“5棵树”的圆心角是 72 °．
（2）请你帮学校估算此次活动共种多少棵树．
解：（1）植树量为“5棵树”的圆心角是：360°× =72°，
故答案是：72；
（2）每个小组的植树棵树： （2×8+3×15+4×17+5×10）= （棵），
则此次活动植树的总棵树是： ×200=716（棵）．
答：此次活动约植树716棵．
23．（9分）（2015•泉州）如图，在平面直角坐标系中，点A（ ，1）、B（2，0）、O（0，0），反比例函数y= 图象经过点A．
（1）求k的值；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上？
解：（1）∵函数y= 的图象过点A（ ，1），
∴k=xy= ×1= ；
（2）∵B（2，0），
∴OB=2，
∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，
∴OD=OB=2，∠BOD=60°，
如图，过点D作DE ⊥x轴于点E，
DE=OE•sin60°=2× = ，
OE=OD•cos60°=2× =1，
∴D（1， ），
由（1）可知y= ，
∴当x=1时，y= = ，
∴D（1， ）在反比例函数y= 的图象上．
24．（9分）（2015•泉州）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
（1）设AB=x米（x＞0），试用含x的代数式表示BC的长；
（2）请你判断谁的说法正确，为什么？
解：（1）设AB=x米，可得BC=69+3﹣2x=72﹣2x；
（2）小英说法正确；
矩形面积S=x（72﹣2x）=﹣2（x ﹣18）2+648，
∵72﹣2x＞0，
∴x＜36，
∴0＜x＜36，
∴当x=18时，S取最大值，
此时x≠72﹣2x，
∴面积最大的表示正方形．
25．（13分）（2015•泉州）（1）如图1是某个多面体的表面展开图．
①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点；
②如果沿BC、GH将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC应满足什么条件？（不必说理）
（2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图2，那么该三棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计）
解：（1）①根据这个多面体的表面展开图，可得
这个多面体是直三棱柱，
点A、M、D三个字母表示多面体的同一点．
②△BMC应满足的条件是：
a、∠BMC=90°，且B M=DH，或CM=DH；
b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；
c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；
（2）如图2，连接AB、BC、CA， ，
∵△DEF是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成，
∴矩形ACKL、BIJC、AGHB为棱柱的三个侧面，
且四边形DGAL、EIBH、FKCJ须拼成与底面△ABC全等的另一个底面的三角形，
∴AC=LK，且AC=DL+FK，
∴ ，
同理，可得
，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，
即S△DEF=4S△ABC，
∴ ，
即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 ．
26．（13分）（2015•泉州）阅读理解
抛物线y= x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．
问题解决
如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y= x2 的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．
（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；
（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．
①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．
解：（1）当x=0时，y=k•0+1=1，
则点C的坐标为（0，1）．
根据题意可得：AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE．
∵AE⊥EF，CO⊥EF，
∴AE∥CO，
∴∠AEC=∠OCE，
∴∠ACE=∠OCE．
同理可得：∠OCF=∠BCF．
∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°，
∴2∠OCE+2∠OCF=180°，
∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°；
（2）①过点P作PH⊥EF于H，
Ⅰ．若点H在线段EF上，如图2①．
∵M为EF中点，
∴EM=FM= EF．
根据勾股定理可得：
PE2+PF2﹣2PM2=PH 2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2
=2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2）
=EH2﹣MH2+HF2﹣MH2
=（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH）
=EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH）
=EM（EH+MH）+EM（HF ﹣MH）
=EM（EH+MH+HF﹣MH）
=EM•EF=2EM2，
∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
Ⅱ．若点H在线段EF的延长线（或反向延长线）上，如图2②．
同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）．
综上所述：当点H在直线EF上时，都有PE2+PF2=2（PM2+EM2）；
②连接CD、PM，如图3．
∵∠ECF=90°，
∴▱CEDF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴M是CD的中点，且MC=EM．
由①中的结论可得：
在△PEF中，有PE2+PF2=2（PM2+EM2），
在△PCD中，有PC2+PD2=2（PM2+CM2）．
∵MC=EM，
∴PC2+PD2=PE2+PF2．
∵PE=PF=3，
∴PC2+PD2=18．
∵1＜PD＜2，
∴1＜PD2＜4，
∴1＜18﹣PC2＜4，
∴14＜PC2＜17．
∵PC＞0，
∴ ＜PC＜ ．