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江津中学2015-2016学年上期初三考试
数学试题
说明：①本卷共五个大题，共150分
②考试时间为100分钟
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分）
1. 在下列图形中，一定是中心对称图形的是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 平行四边形
2.二次函数y＝(x－2)2＋5的最小值是( )
A. 2 B. －2 C. 5 D. －5
3. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是( )
A．3x＋1＝0 B．x2＋3＝0 C．3x2－1＝0 D．3x2＋6x＋1＝0
4. 已知点A（1，2），O 是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是( )
A. （－2,1） B. （2, －1） C. （－1,2） D.（－1, －2）
5．如图，⊙0的直径AB经过弦CD的中点，∠BAC=20°，则∠BOD等于( )．
A．10° B．20° C．40° D．80°
6．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根,
则k的取值范围( )
A. k>－1 B. k －1 C. k －1 且k≠0 D. k>－1且k≠0
7．．对抛物线y=2x2判断正确的是( )．
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的开口向下
C．抛物线经过一、二、三象限 D．抛物线经过二、三、四象限
8．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，
将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，
则∠BAB′=（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，
AB=10，则CD长为（ ）
A．12．5 B．13 C．25 D．26
10．用 配方法解方程 ，配方后所得方程是 （ ）
A.(x－12)2 ＝ 34， B.(x＋12)2 ＝ 34， C.(x＋12)2 ＝ 54， D.(x－12)2 ＝ 54
11．经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L（元）与产量 x（件）的关系式为L=-x2+2000x-10000（0＜x＜1900），要使总利润达到99万元，则这种产品应生产（ ）
A.1000件 B.1200件 C. 2000件 D.10000件
12.一个正多边形的每个外角都等于30°,那么这 个正多边形的中心角为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13．若 与 互为倒数，则 的值是 。
14．若 则 = ．
15．抛物线 与 轴交点的纵坐标为___________。
16．要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应共邀请 个球队参加比赛。
17．已知一元二次方程 有一个根为零，则 的值为___________。
18. 如图：抛物线 的图象交x轴于A（ ，0）、B（2，0），交y轴正半轴于C，且OA＝OC．下列结论① ； ② ac＝b－1；③ ； ④2b＋c＝2，其中正确的是________________．
三、解答题（本题共2小题，第19小题8分，第20小题6分，共14分）
19、用适当的方法解方程
（1） （2）
20．如图，正方形网格中的每个小的边长都是1，每个小正方 形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′
（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；
（2）计算线段AB在变换到 AB′的过程中扫过区域的面积四、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分）
21．已知一元二次方程 有两个实数根.
(1)求 的取值范围;
(2)如果 是符合条件的最大整数,且一元二次方程 与 有一个相同的根,求此时 的值. 22. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．
（1）求∠D的度数；
（2）若CD=2，求B D的长． 23．已知：图中是一个抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，这时水面的宽为4米．如果水面下降1 米，请问水面宽度增加了多少?
24．某商场采购一种进价为40元的篮球，本月以每个50元价格售出，共销售出500个，根据市场调查，在本月售价的基础上每个篮球单价提高1元，销售量就会相应减少10个。
（1）请问：在投入成本最小的情况下，要想使下月利润达到8000元，每个篮球的售价应提高多少元？
（2）为获得每月的最大利润，每个篮球的定价应该为多少元？并求出每月的最大利润。 五、解答题（共2小题，每小题12分）
25．如 图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边 上的两点，AE⊥B F于点G，且BE=1，∠BAE=30°．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB＇E＇（如图2），使点E落在CD边上的点E＇处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
26.（12分）已知： 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线 的图像经过点A( )、B( ).
(1) 求这个抛物 线的解析式；
(2) 设（1）中抛物线与 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
(3) P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥ 轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.
江津中学初三（上）考试
数学参考答案
一、选择题
1、D 2、C 3、D 4、A 5、 C 6、D
7、A 8、C 9、 D 10、C 11、A 12、B
二、填空题
13、 14、3 15、 16、 17、
18、②③④
三、解答题
19、解：（1）x=0或1（4分）
（2） （4分）
20、解20、（1）正确画出图形 4分
（2） 6分
四、解答题
21、(1)由根的判别式可求得 ≤4；…………………………………5分
(2)依题意取 代入方程 得 ，
解得 ，把 代入 求得 ……………10分
22、解：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，
∵∠D=2∠CAD ，
∴∠D=∠COD ，
∵PD切⊙O于C，
∴∠OCD=90°，
∴∠D=∠COD=45°；-----------------------------------------5分
（2）∵∠D=∠COD，CD=2，
∴OC=OB=CD=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得： 22+22=（2+BD）2，
解得：BD=2 ﹣2．--------------------------------------------------10分
23、解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系.
所以可设它的函数关系式为 ①∵AB与y轴交于点C,
∴CB＝ ＝2,又OC＝2,∴ 点B的坐标是（2，﹣2）
因为点B在抛物线上，所以将点B坐标代入①，得 所以
,因此，函数关系式是 ②……………6分
当水面下降1m至EF处时，水面的纵坐标为﹣3，
∴将y＝﹣3代入②，得
∴ ∴EF=2
∴EF－AB＝2 －4
所以水面下降1m, 水面宽度增加（2 －4）m. ……………10分.
24、解：（1）设销售单价提高 元，根据题意得：
解得： ……………………………………………………… 3分
∴投入成本最小的情况下，销售单价提高30元时，每月可获得8000元利润。… 5分
（2）设月销售利润为 元，销售单价提高 元，由题意得：
整理得
当 时， 的最大利润为9000元。20+50=70（元）
最大利润为9000元。此时篮球的售价为70元。……………………………10分
五、解答题
25．⑴证明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=900，∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=900，
∴∠BAE=∠CBF， ∴△ABE≌△BCF. …………………………………（3分）
⑵∵正方形面积为3，∴AB= 又∵BE=1，∠BAE=30°，∴∠CBF=30° ∴GE= ，GB=
∴ × = . …………………………………（7分）
（3）没有变化 易证Rt△AB E≌Rt△AB＇E＇≌Rt△AD E＇
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°,
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF与AE′的交点为H,则∠BAG=∠HAG=30°,而∠AGB=∠AGH=90°
∴△BAG≌△HAG,∴ = = = .…（12分）
26.（1）解方程 得
由 ，有
所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.
将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入 .
得 解这个方程组，得
所以，抛物线的解析式为 …………………………………（4分）
（2）由 ，令 ，得
解这个方程，得
所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.
过D作 轴的垂线交 轴于M.
则
，
所以， .………………（8分）
（3）设P点的坐标为（ ）
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为 .
那么，PH与直线BC的交点坐标为 ，
PH与抛物线 的交点坐标为 .
由题意，得① ，即
解这个方程，得 或 （舍去）
② ，即
解这个方程，得 或 （舍去）
P点的坐标为 或 .…………………………………（12分）
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