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2015—2016学年度第一学期第三次月考
高二年级数学(理科)试卷
一、选择题
1.已知空间直角坐标系中A（1，1，0）且 AB=（4，0，2），则B点坐标为（ ）
A．（9，1，4） B．（9，-1，-4）
C．（8，-1，-4） D．（8，1，4）
2.正四棱锥S－ABCD的底面边长为4 ，高SE＝8，则过点A，B，C，D，S的球的半径为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3.过点 的直线与圆 相切，且与直线 垂直，则 ( ).
A． B．1 C．2 D.
4.已知两条不同直线 、 ，两个不同平面 、 ，给出下列命题：
①若 ∥ ，则 平行于 内的所有直线；
②若 ， 且 ⊥ ，则 ⊥ ；
③若 ， ，则 ⊥ ；
④若 ， 且 ∥ ，则 ∥ ；
其中正确命题的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知直线ax+y+2=0及两点P（-2，1）、Q（3，2），若直线与线段PQ相交，则a的取值 范围是（ ）
A．a≤- 或a≥ B．a≤- 或a≥ C．— ≤a≤ D．— ≤a≤
6.下列说法正确的有（ ）个
①“ ”是“θ=30°”的充分不必要条件
②若命题p：∃x∈R，x2-x+1=0，则¬p：∀x∈R，x2-x+1≠0
③命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”
④已知a，b∈R+，若log3a＞log3b，则 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
7.已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )
A． B． C． D．1
8.设A： ，若B是A成立的必要不充分条件，则m的取值范围是（ ）
A．m＜l B．m≤1 C．m≥1 D．m＞1
9.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）
A． B． C． D．
10.下面说法正确的是（ ）
A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”
B．实数x＞y是 成立的充要条件
C．设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∧￢q”也为假命题
D．命题“若x2-3x+2=0则x=1”的逆否命题为假命题
11.已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x+m•2x+1=0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．-2≤m≤2 B．m≥2
C．m≤-2 D．m≤-2或m≥2
12.如图，在正方体 中，点 为线段 的中点.设点 在线段 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以 为边的平行四边形的面积为________．
14.已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．
15.已知两点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当 取得最小值时，Q点的坐标 ．
16.如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A-BD-E与二面角E-BD-C′的大小分别为15°和30°，则
三、解答题
17.如图，在三棱锥 中， ， 平面 ， , 分别为 , 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
18. 命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数 在（0，+∞）上是增函数，若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．
19. 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=AC=1，AA1=2，点O是B1C与BC1的交点．
（1）求AO的距离；
（2）求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；[
20. 已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．
（1）若 为圆C上任意一点，求 的最大值与最小值；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标。
21.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝ BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′(如图)．
(1)求证：AC⊥平面ABC′；
(2)求证：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．
22. 已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是 ．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D。F，G是曲线D上不同的两点，对于定点
Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．
2015-2016学年度第三次月考参考答案（理科）
一、选择题
A CC AA DCDBD CB
13. 14.2 15.（ ） 16.
17.（1）在 中， 分别为 的中点
又 平面 ， 平面 平面
（2）由条件， 平面 ， 平面
，即 ，
由 ， ，
又 ， 都在平面 内 平面
又 平面 平面 平面
18.
解：若命题p为真命题，
则△=4a2-16＜0，解得-2＜a＜2；
若命题q为真命题，
则3-2a＞1，解得a＜1
∵p∨q为真，p∧q为假．
∴p与q一真一假
即 ，或 [
解得a≤-2，或1≤a＜2
∴实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[-1，2）
19. 解：设
（1） =
所以
（2）由（1）， ， ，
所以 ， ， ，
20．解：（1）设 ，则 表示直线MA的斜率；其中A（1，-2）是定点；
因为 在圆C上，所以圆C与直线MA有公共点，
而直线MA方程为：y+2= (x-1)，则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径
即： ，解得： ，即 的最大值为-1，
最小值为-7．
（2）由圆的切线长公式得|PM|2=|PC|2-R2=（x+1）2+（y-2）2-2;[
由|PM|=|PO|得：（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2;即2x-4y+3=0， 即x=2y-
此时|PM|=|PO|=
所以当y= 即P（ ）时，|PM|最小．
21. (1)证明 ∵AD＝ BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，
∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝ ∠DCB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，
平面C′BA∩平面ABC＝AB，
∴AC⊥平面ABC′.
(2)证明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.
(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.
如图建立空间直角坐标系，
设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0， ，0)，C′(0,0， )，
N ，∴ ′＝(－1,0， )， ′＝(0，－ ， )，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则 即
取z＝1，则x＝ ，y＝1，∴n＝( ，1,1)．
∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O ，∴平面C′AN的法向量 ＝
∴cos〈n， 〉＝ ＝ ，
由图形可知二面角AC′NC为钝角，
所以二面角AC′NC的余弦值为－
22. 解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则由 ，得λ（x2+y2）=（x-3）2+y2，
整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0．
∵λ＞0，∴当λ=1时，则方程可化为：2x-3=0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为 ，即方程表示的曲线是以 为圆心， 为半径的圆。
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．
解法一：设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即 ．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，
即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．
②解法二：设F，G两点的坐标分别为F（x1，y1），G（x2，y2），
则由|QF|•|QG|=4有： ，结合 有： ，
若经过F、G两点的直线的斜率存在，设直线FG的方程为y=mx+n，
由 ，消去y有：（1+m2）x2+（2mn+2）x+n2-3=0，则 ， ，
所以 ，
由此可得8m2-6mn+n2=1，也即（3m-n）2=1+m2，
假设存在定圆（x-a）2+（y-b）2=r2，总与直线FG相切，
则 是定值r，即d与m，n无关，与 对比，有 ， 此时 ，
故存在定圆（x+3）2+y2=1，
当直线FG的斜率不存在时，x1=x2=-2，直线FG的方程是x=-2，显然和圆相切．
故直线FG能恒切于一个定圆（x+3）2+y2=1。