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2015-2016学年度上学期期末考试
高二数学（理科）试卷
考试时间：120分钟 试题分数：150分
卷Ⅰ
一、 选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数
3. 已知椭圆 上的一点 到椭圆一个焦点的距离为 ，则 到另一焦点距离为
A． B． C． D．
4 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 是“甲降落在指定范围”, 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降 落在指定范围”可表示为
A． B． C． D．
5. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率为
A． B. C. D.
6. 曲线 在点 处的切线的斜率为
A. B. C. D.
7． 已知椭圆 的焦点与双曲线 的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线 的焦点坐标为
A. B. C. D.
8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为 ，
① ② ③
若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则
A. B. C. D.
9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话 的意思是:“不便宜 ”是“好货”的
A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10. 设 ， ，曲线 在点 （ ）处切线的倾斜角的取值范围是 ，则 到曲线 对称轴距离的取值范围为
A. B. C. D.
11. 已知点 在二面角 的棱上，点 在 内，且 .若对于 内异于 的任意一点 ，都有 ，则二面角 的大小是
A. B. C. D.
12. 已知双曲线 的两个焦点为 、 ，点 在双曲线第一象限的图象上，若△ 的面积为 ，且 ， ，则双曲线方程为
A． B． C． D．
卷Ⅱ
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 正方体 中， 是 的中点， 为底面正方形 的中心， 为棱 上任意一点，则直线 与直线 所成的角为 ．
14. 函数 ，则 ＝________．
15.已知 是夹角为 的两单位向量，向量 ，且 , ，则 = .
16. 过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 ．
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
过点 作函数 的切线，求切线方程.
18.(本小题满分12分)
已知集合 ，集合
若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形, ,
, ⊥底面 ，且
, 分别为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求 与平面 所成的角的正弦值．
20. (本小题满分12分)
已知三棱柱 如图所示，四边形 为菱形， ， 为等边三角形，面 面 ， 分别为棱 的中点.
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小．
21. (本小题满分12分)
已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上点到左焦点距离的最小值为 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）设直线 同时与椭圆 和抛物线 相切，求直线 的方程.
22. (本小题满分12分)
已知椭圆 : 过点 ，直线 与椭圆 交于不同的两点 , 中点为 ， 为坐标原点，直线 斜率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）椭圆 的右顶点为 ，当 得面积为 时，求 的值.
2015-2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）参考答案
一．选择题
CDBAC CDABB DB
二．填空题
三．解答题
17.解：设切点为 ，则切线方程为 ，┅┅┅┅┅┅2分
将点 带入，解得 或 ， ┅┅┅┅┅┅┅ 8分
所以切线方程为 或 ┅┅┅┅┅┅┅10分
18.解：（1） 时， ，若 是 的充分不必要条件，所以 ，
，检验 符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4分
（2） 时， ，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8分
（3） 时， ，若 是 的充分不必要条件，所以 ，
，检验 不符合题意.
综上 .┅┅┅┅┅┅┅12分
19. 解如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，则
.
（I） 因为 ，所以
（II） 因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面
因此 的余角即是 与平面 所成的角.
因为 ，
所以 与平面 所成的角的正弦为
20. （Ⅰ）证明（方法一）取 中点 ，连接 ，因为 分别为 中点，所以 ，┅┅┅┅┅┅┅３分
所以 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 ，所以 面 ；┅┅┅┅┅┅┅６分
（方法二）取 中点 ，连接 ，
因为 分别为 中点，所以
又因为 分别为 中点，所以 ┅┅┅┅┅┅┅３分
且 ，
所以面 面 ，
又 面 ，所以 面 ┅┅┅┅┅┅６分
（方法三）取 中点 ，连接 ，
由题可得 ，又因为面 面 ，
所以 面 ，又因为菱形 中 ，所以 .
可以建立如图所示的空间直角坐标系
┅┅┅┅┅┅┅7分
不妨设 ，
可得 ，
， ， ， ，所以
所以 ，┅┅┅┅┅┅┅9分
设面 的一个法向量为 ，则 ，不妨取 ，则 ，所以 ，又因为 面 ，所以 面 .
┅┅┅┅┅┅┅12分
（Ⅱ）（方法一）
过 点作 的垂线 交 于 ，连接 .
因为 ，
所以 ，所以 面 ，
所以 为二面角 的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分
因为面 面 ，所以 点在面 上的射影落在 上，所以 ，
所以 ，不妨设 ，所以 ，同理可得 .┅┅┅┅┅┅┅10分
所以 ，所以二面角 的大小为 ┅┅┅┅┅┅┅12分
（方法二）接（Ⅰ）方法三可得 ，设面 的一个法向量为 ，则 ，不妨取 ，则 .
┅┅┅┅┅┅┅８分
又 ，设面 的一个法向量为 ，则 ，不妨取 ，则 .┅┅┅┅┅┅┅１０分
所以 ，因为二面角 为锐角，所以二面角 的大小为 ┅┅┅┅┅┅┅１2分
21.解：（Ⅰ）设左右焦点分别为 ，椭圆上点 满足 所以 在左顶点时 取到最小值 ，又 ，解得 ，所以 的方程为
.(或者利用设 解出 得出 取到最小值 ，对于直接说明 在左顶点时 取到最小值的，酌情扣分)；┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）由题显然直线 存在斜率，所以设其方程为 ，┅┅┅┅┅┅┅5分
联立其与 ，得到
， ，化简得 ┅┅┅┅┅┅┅8分
联立其与 ，得到
， ，化简得 ，┅┅┅┅┅┅┅10分
解得 或
所以直线 的方程为 或 ┅┅┅┅┅┅┅12分
22. 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1,0），在椭圆内，所以与椭圆一定相交，交点设为 ，则 ， 斜率为 ，所以 ，┅┅┅┅┅┅┅3分
又 ， ，所以 ，所以 ，又
，解得 ，所以椭圆 的方程为 ；┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ） 与椭圆 联立得： ，┅┅┅┅┅┅┅8分
面积为 ，
解得 .┅┅┅┅┅┅┅12分