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如图1，在平面直角坐标系中， 已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1） 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2） 过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G ，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
图1
思路点拨
1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个 三角形 ，高的和等于AD．
2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．
3．构造以C、 Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．
满分解答
（1）A(1, 4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋ 4，
代入点C(3, 0)，可得a＝－1．
所以抛物线的解 析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）因为PE// BC，所以 ．因此 ．
所以点E的横坐标为 ．
将 代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝ ．
所以点G的纵坐标为 ．于是得到 ．
因此 ．
所以当t＝2时，△ACG面积的最大值为1．
（3） 或 ．
考点伸展
第（3）题的解题思路是这样的：
因为F E//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边 形．
再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．
， ， ， ．
如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此 ．
整理，得 ．解得 ， （ 舍去）．
如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此 ．
整理，得 ． ．所以 ， （舍去）．