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第27章圆检测题
（本检测题满分:120分，时间：120分钟）
一、 选择题（每小题2分，共24分）
1.下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
2.下列四个命题中，正确的有（ ）
①圆的对称轴是直径；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图， 为的直径，弦，垂足为 ，那么下列结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在⊙ 中，直径 垂直弦 于点 ，连接 ，已知⊙ 的半径为2， ,则∠ 的大小为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知 的半径 ， ，则 所对的弧 的长为（ ）
A. B. C. D.
第6题图
6.（2014•浙江湖州中考）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是（ ）
A.35° B.45°
C.55° D.65°
7.如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外 D.无法确定
8.圆锥的底面圆的周长是4π cm，母线长是6 cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）
A.40° B.80° C.120° D.150°
9.如图，长为4 cm，宽为3 cm的长方体木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）,木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使此时木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A.10 cm B. C. D.
10.如图，点A，B，C在⊙O上，⊙O的半径为9，弧AB的长为2π，则∠ACB的大小是（ ）
A.20° B.45° C.60° D.40°
11.如图所示，体育课上，小丽的铅球成绩为6.4 m，她投出的铅球落在（ ）
A.区域① B.区域② C.区域③ D.区域④
12.（2014•湖南邵阳中考）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A=30°，则∠C的大小是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.40°
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.（2015•南京中考）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°,则∠B+
∠E=_________°.
第13题图
14.如图， 是⊙ 的直径，点 是圆上两点， ，则 _______.
15.如图，⊙ 的半径为10，弦 的长为12， ，交 于点 ，交⊙ 于点 ，则 _______， _______.
16.（2014•甘肃天水中考）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C在⊙O上，且
∠ACB＝50°，则∠P＝ .
17.（2014•山东烟台中考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于______．
18.如图所示，⊙ 的半径为 ，直线 与⊙ 相交于 两点， ， 为直线 上一动点，以 为半径的⊙ 与⊙ 没有公共点.设 ，则 的取值范围是_____________．
三、解答题（共78分）
19.(8分)（2014•浙江湖州中考）如图，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC 的长.
20.(8分)（2015•广州中考）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°.
(1)利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法);
(2)在(1)所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.
21.(8分)如图所示， 是⊙ 的一条弦， ，垂足为 ，交⊙ 于点 ，点 在⊙ 上．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长．
22.(8分)（2014•昆明中考）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
23.(10分)如图，已知 都是⊙ 的半径，且 试探索 与 之间的数量关系，并说明理由.
24.(10分)如图是一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度 为16米，拱高 为4米.
⑴求桥拱的半径;
⑵若大雨过后，桥下河面宽度 为12米，求水面涨高了多少？
25.(12分)如图,已知圆锥的底面半径为3,母线长为9, 为母线 的中点，求在圆锥的侧面上从 点到 点的最短距离.
26.(14分)（2015•兰州中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）若AC＝3，∠B＝30°.
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积.（结果保留根号和π）
第27章圆检测题参考答案
1.D 解析：选项A是轴对称图形但不是中心对称图形，选项B，C既不是中心对称图形也不是轴对称图形.只有选项D既是轴对称图形又是中心对称图形.
2.C 解析：只有③④是正确的.
3.D 解析：依据垂径定理可得，选项A，B，C都正确，选项D错误.
4.A 解析：由垂径定理得
∴ ，∴ .∴ .
5.B 解析：本题考查了圆的周长公式 .∵ 的半径 ， ，∴ 弧 的长为.
6.C 解析：∵ AB是△ABC外接圆的直径，∴ ∠C=90°，∴ ∠B=180°－∠C－∠A= 180°－90°－35°=55°.
7.A 解析:因为OA=OC，AC=6，所以OA=OC=3.又CP=PD，连接OP，可知OP是△ADC的中位线，所以OP= .所以OP＜OC，即点P在⊙O内.
8.C 解析:设圆心角为n°，则，解得n=120.
9.C 解析:第一次转动是以点B为圆心，AB为半径，圆心角是90°，此段弧长= （cm），第二次转动是以点C为圆心，A1C为半径，圆心角为60°，此段弧长= （cm），所以共走过的路径长= cm.
10.A 解析：连接AO，BO，设∠AOB为n°，由弧长公式得 得n=40，故∠ACB=20°.
11.D 解析：小丽的铅球成绩为6.4 m，在6 m与7 m之间，
所以她投出的铅球落在区域④.
12.A 解析：连接OB，如图，
∵ AB与⊙O相切，∴ OB⊥AB，∴ ∠ABO=90°.
∵ ∠A=30°，∴ ∠AOB=60°，∴ ∠C= ∠AOB=30°.
13.215 解析：如图，连接CE，
∵ 四边形ABCE是圆内接四边形，∴ ∠B +∠AEC= .
∵ ∠CED=∠CAD= ，
∴ ∠B +∠AED=∠B +∠AEC+∠CED= + = .
14.40° 解析：因为∠AOC=100°，所以∠BOC=80°.
又∠D= ∠BOC，所以∠D=40°.
15.8；2 解析：因为OD⊥AB，由垂径定理得 ，
故.
16.80° 解析：如图，连接OA，OB，则∠AOB=2∠ACB＝100°，根据切线的性质得到
∠OAP＝∠OBP＝90°，所以∠P＝360°-2×90°-100°＝80°.
17. 解析：如图，连接OC，OD，OE，OC交BD于点M，OE交DF于点N，过点O作OZ⊥CD于点Z，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°.
由垂径定理得OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN.
∵ 在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴ BM=OB•sin 60°=2 ，OM=OB•cos 60°=2，
∴ BD=2BM=4 ，
∴ △BDO的面积是 •BD•OM= ×4 ×2=4 ，
同理△FDO的面积是4 .
∵ ∠COD=60°，OC=OD=4，∴ △COD是等边三角形，
∴ ∠OCD=∠ODC=60°.
∴ OZ=OC•sin∠OCD=4× =2 .
同理可得∠DOE=60°，∴ S弓形CD=S弓形DE.
S弓形CD=S扇形COD-S△COD= - ×4×2 = -4 .
∴ S阴影＝4 +4 +2（ -4 ）= .
18.d＞5或2≤d＜3 解析：分别在两圆内切和外切时，求
出两圆圆心距，进而得出d的取值范围.
如图所示，连接OP，
⊙O的半径为4 cm，⊙P的半径为1 cm，则
d＝5时，两圆外切，d=3时，两圆内切.
过点O作OD⊥AB于点D，OD= =2(cm)，
当点P运动到点D时，OP最小为2 cm，
此时两圆没有公共点.
∴ 以1 cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，d＞5或2≤d＜3.
点拨：动点问题要分类讨论，注意不要漏解.
19.分析：（1）作出弦AB的弦心距OE，根据垂径定理得出CE=DE，AE=BE，再利用线段的和差的等量代换可得AC=BD；（2）根据勾股定理在两个直角三角形中分别求出AE和CE的长，利用AC=AE-CE求解.
（1）证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE.
∴ AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴ OE=6.
∴ CE= = =2 ，
AE= = =8.
∴ AC=AE-CE=8-2 .
点拨：“作一条弦的弦心距”是解答圆中线段长问题常见的辅助线之一.
20.解：(1)如图所示.
(2)连接OD，设⊙O的半径为r，
在△ABE和△DCE中，
∵
∴ △ABE∽△DCE.
在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴ AB=AC=r.
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠ACD=45°.
∵ OD=OC，∴ ∠ACD=∠ODC=45°，∴ ∠DOC=90°.
在Rt△ODC中，DC== r.
∴ = = =.
21.分析：（1）欲求∠DEB，已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
（2）利用垂径定理可以得到 ，从而 的长可求.
解：（1）连接 ，∵ ，∴ ，弧AD=弧BD，∴
又，∴ ．
（2）∵ ，∴ .
又 ，∴ .
22.分析：（1）连接OD，证出∠A=∠DOC，推出∠ODC=90°，根据切线的判定定理得出结论；（2）先求出Rt△ODC的面积，再求出扇形ODE的面积，即可求出阴影部分的面积．
（1）证明：如图，连接OD，
∵ OB=OD，
∴ ∠1=∠2，
∴ ∠DOC=2∠1.
∵ ∠A=2∠1，∴ ∠A=∠DOC.
∵ ∠ABC=90°，∴ ∠A+∠C=90°，
∴ ∠DOC+∠C=90°，∴ ∠ODC=90°.
∵ OD为半径，∴ AC是⊙O的切线.
（2）解：∵ ∠DOC=∠A=60°，OD=2，
∴ 在Rt△ODC中，tan 60°= ，
∴ DC=OD•tan 60°=2× =2 ，
∴ SRt△ODC= OD•DC= ×2×2 =2 ，
S扇形ODE= = ，
∴ S阴影=SRt△ODC－S扇形ODE=2 － .
23.分析：由圆周角定理，易得：，；已知
，联立三式可得结论．
解：．理由如下:
∵ ，，
又，∴ ．
24.解：（1）已知桥拱的跨度AB=16米，拱高CD=4米，
∴ AD=8米，利用勾股定理可得：
，解得OA=10(米)．
故桥拱的半径为10米.
（2）当河水上涨到EF位置时，
因为 ∥ ，
所以，
所以 米，
连接OE，则有OE=10米，
(米).
又，
所以(米)，即水面涨高了2米.
25.分析:最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径，看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．
解：可知圆锥的底面周长是 ，设圆锥侧面展开图的圆心角为 ，则 ，
∴ n=120，即圆锥侧面展开图的圆心角是120°．∴ ∠APB=60°.
在圆锥侧面展开图中，AP=9，PC=4.5，可知∠ACP=90°．
∴ ．
故在圆锥的侧面上从A点到C点的最短距离为 .
点评：本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．
26.解：（1）相切.理由如下：
如图，连接OD，
∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝∠CAD.
∵ OA＝OD，∴ ∠ODA＝∠BAD， 第26题答图
∴ ∠ODA＝∠CAD，∴ OD∥AC.
又∠C＝90°，∴ OD⊥BC，∴ BC与⊙O相切.
（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB，
∵ AC＝3，∠B＝30°，
∴ AB＝6，OB＝2OD.
又OA＝OD＝r，∴ OB＝2r，
∴ 2r+r=6，解得r=2，即⊙O的半径是2.
②由①，得OD＝2，
则OB＝4，BD＝2 ，