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哈尔滨三中2015年第一次模拟考试
数学试卷（文史类）
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 集合 ， ，则
A． B． C． D．
2. 等差 数列 的前 项和为 ，且 = ， = ，则公差 等于
A． B． C． D．
3. 在 中， ， ， ， 的面积为 ，则
A． B． C． D．
4. 下列函数在 上为减函数的是
A． B． C． D．
5. 设定义在R上的奇函数 满足 ，则 的解集为
A． B． C． D．
6. 将函数 的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于 轴对称，则 的一个可能取值为
A． B． C． D．
7. 给出下列关于互不相同的直线 、 、 和平面 、 的四个命题：
① 若 ， ，点 ，则 与 不共面；
② 若 、 是异面直线， ， ，且 ， ，则 ；
③ 若 ， ， ，则 ；
④ 若 ， ， ， ， ，则 ，
其中为真命题的是
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①② ③
8. 变量 、 满足条件 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
9. 如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜边 的高， 为线段 的中点，则
A． B．
C． D．
10. 如图，四棱锥 中， ， ， 和 都是等边三角形，则异面直线 与 所成角的大小为
A．
B．
C．
D．
11. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 =
A． B． C． D．
12. 设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试
数学试卷（文史类）
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小 题5分，共20分 ，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13. 正项等比数列 中， ， ，则数列 的前 项和等于 ．
14. 某几何体的三视图如图所示，则
它的体积为 ．
15. 已知椭圆 ： ，点 与 的焦点不重合，若 关于 的两焦点的对称点分别为 ， ，线段 的中点在 上，则 ．
16．定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 ，满足 ，则称函数 是 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，例如 是 上的平均值函数， 就是它的均值点．现有函数 是 上的平均值函数，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
设 是锐角三角形，三个内角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，并且
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 ， （其中 ）．
18.（本小题满分12分）
已知数列 满足 ， ，令 .
（Ⅰ）证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式．
19.（本小题满分12分）
为等腰直角三角形， ， ， 、 分别是边 和 的中点，现将 沿 折起，使面 面 ， 是边 的中
点， 平面 与 交于点 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积.
20.（本小题满分12分）
如图，抛物线 ： 与椭圆 ： 在第一象限的交点为 ， 为坐标原点， 为椭 圆的右顶点， 的面积为 .
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）过 点作直线 交 于 、 两点，求 面积的最小值．
21.（本小题满分12分）
设函数 ，曲线 过点 ，且在点 处的切线方程为 .
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明：当 时， ；
（Ⅲ）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分 ）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形 是⊙ 的内接四边形 ，延长 和 相交于点 ， ，
.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 为⊙ 的直径，且 ，
求 的长．
23.（ 本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是
（ 是参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐 标方程 .
（Ⅰ）判断直线 与曲线 的位置关系；
（Ⅱ）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围．
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试
数学试卷（文史类）答案及评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C D B B C D B A B B
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解：(Ⅰ)
，
， ． ………………………… 6分
(Ⅱ) ， ，
又 ， ，
， ， ．………………………… 12分
18.解：(Ⅰ) ，
，即 ， 是等差数列．………6分
(Ⅱ) ， ，………………………… 10分
， ．………………………… 12分
19. (Ⅰ)因为 、 分别是边 和 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面
所以
又因为 ，
所以 . ………… ………………………… 6分
(Ⅱ)
高
…………………………………… 12分
20. 解: (Ⅰ)因为 的面积为 ,所以 ，……………2分
代入椭圆方程得 ，
抛物线的方程是： ……………6分
(Ⅱ) 直线 斜率不存在时， ；
直线 斜率存在时，设直线 方程为 ，带入抛物线，得
，
综上 最小值为 . ……………12分
21.解：(Ⅰ) ，
，
， ．………………………………4分
(Ⅱ) ，
设 ， ，
， 在 上单调递增，
， 在 上单调递增， ．
．………………………………8分
（Ⅲ）设 ，
，
(Ⅱ) 中知 ， ，
，
①当 即 时， ， 在 单调递增， ，成立．
②当 即 时， ，
，令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减 ，不成立．
综上， ．………………………………12分
22. (Ⅰ)由 ， ，得 与 相似，
设 则有 ，
所以 ………………………… ……5分
(Ⅱ) ， ………………………………10分
23.解：(Ⅰ)直线 的普通方程为
曲线 的直角坐标系下的方程为
圆心 到直线 的距离为
所以直线 与曲线 的位置关系为相离. ……………5分
(Ⅱ)设 ，
则 .……………10分
24. (Ⅰ)① 当 时， ，所以
② 当 时， ，所以为
③ 当 时， ，所以
综合①②③不 等式的解集为 ……………5分
(Ⅱ)即
由绝对值的几何意义 ，只需 …………………10分