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哈尔滨三中2015年第一次模拟考试
数学试卷（理工类）
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 集合 ， ，则
A． B． C． D．
2. 等差数列 的前 项和为 ，且 = ， = ，则公差 等于
A． B． C． D．
3. 在 中， ， ， ，则 的面积为 ，
A． B． C． D．
4. 下列函数在 上为减函数的是
A． B． C． D．
5. 方程 的解所在的区间为
A． B． C． D．
6. 将函数 的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于 轴对称，则 的一个可能取值为
A． B． C． D．
7. 给出下列关于互不相同的直线 、 、 和平面 、 的四个命题：
① 若 ， ，点 ，则 与 不共面；
② 若 、 是异面直线， ， ，且 ， ，则 ；
③ 若 ， ， ，则 ；
④ 若 ， ， ， ， ，则 ，
其中为真命题的是
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
8. 变量 、 满足条件 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
9. 如图， 为等腰直角三角形， ， 为斜 边 的高，点 在射线 上，
则 的最小值为
A． B．
C． D．
10. 如图，四棱锥 中， ， ， 和 都是等边三角形，则异面直线 与 所成角 的大小为
A．
B．
C．
D．
11. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准 线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 =
A． B． C． D．
12. 设函数 在 上存在导数 ， ，有 ，在 上 ，若 ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
哈尔滨三中 2015年第 一次模拟考试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13. 正项等比数列 中， ， ，则数列 的前 项和等于 ．
14. 某几何体的三视图如图所示，
则它的表面积为 ．
15. 已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率 ，则 ．
16．定义：如果函数 在定义域内给定区间 上存在 ，满足 ，则称函数 是 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点，例如 是 上的平均值函数， 就是它的均值点．现有函数 是 上的平均值函数，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分12分）
设 是锐角三角形，三个内角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，并且
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 ， （其中 ）．
18.（本小题满分12分）
已知数列 满足 ， ，令 .
（Ⅰ）证明：数列 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式．
19.（本小题满分12分）
为等腰直角三角形， ， ， 、 分别是边 和 的中点，现将 沿 折起，使面 面 ， 、 分别是边
和 的中点，平面 与 、 分别交于 、 两点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）求 的长．
20.（本小题满分12分）
如图，抛物线 ： 与椭圆 ： 在第一象限的交点为 ， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点， 的面积为 .
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）过 点作直线 交 于 、 两点，射线 、 分别交 于 、 两 点，记 和 的面积分别为 和 ，问是否存在直线 ，使得
？若存在，求出直线 的方程； 若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
设函 数 ，曲线 过点 ，且在点 处的切线方程为 .
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明：当 时， ；
（Ⅲ）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形 是⊙ 的内接四边形，延长 和 相交于点 ， ，
.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 为⊙ 的直径，且 ，
求 的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程是
（ 是参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 .
（Ⅰ）判断直线 与曲线 的位置关系；
（Ⅱ）设 为曲线 上任意一点，求 的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若 存在实数 ，使得 ，求实数 的取值范围．
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试
数学试卷（理工类）答案及评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C D B B C D B A B B
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、 解答题：
17.解：(Ⅰ)
，
， ． ………………………… 6分
(Ⅱ) ， ，
又 ， ，
， ， ．………………………… 12分
18.解：(Ⅰ) ，
，即 ， 是等差数列．………6分
(Ⅱ) ， ，………………………… 10分
， ．…………………… …… 12分
19. (Ⅰ)因为 、 分别是边 和 的中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面
所以
又因为 ，
所以 . …………………………………… 4分
(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，
， ， ，
， ， ，
， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
， ，令 ，解得 ， ，则
设平面 的一个法向量为 ，则
， ，令 ，解得 ，则
，
所以二面角 的余弦值为 …………………………… 8分
（Ⅲ）法（一） ，设
则 ，解得 ，
………………… 12分
法（二）取 中点 ，连接 交 于点 ，连接 ， 与 相似，
得 ，易证 ，所以 …………… 12分
20. 解: (Ⅰ)因为 的面积为 ,所以 ，……………2分
代入椭圆方程得 ，
抛物线的方程是： ……………4分
(Ⅱ) 存在直线 : 符合条件
解：显然直线 不垂直于 轴，故直线 的方程可设为 ，
与 联立得 .
设 ,则
. ……………6分
由直线OC的斜率为
,故直线 的方程为 ，与 联立得
，同理 ，
所以 ………8分
可得
要使 ，只需 ………10分
即
解得 ，
所以存在直线 : 符合条件………………………… 12分
21.解：(Ⅰ) ，
，
， ． ………………………………4分
(Ⅱ) ，
设 ， ，
， 在 上单调递增，
， 在 上 单调递增， ．
．………………………………8分
（Ⅲ）设 ，
，
(Ⅱ) 中知 ， ，
，
①当 即 时， ， 在 单调递增， ，成立．
②当 即 时， ，
，令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递减 ，不成立．
综上， ．………………………………12分
22. (Ⅰ)由 ， ，得 与 相似，
设 则有
，
所以 ………………………………5分
(Ⅱ) ，
………………………………10分
23.解：(Ⅰ)直线 的普通方程为
曲线 的直角坐标系下的方程为
圆心 到直线 的距离为
所以直线 与曲线 的位置关系为相离. …………… 5分
(Ⅱ)设 ，
则 .……………1 0分
24. (Ⅰ)① 当 时， ，所以
② 当 时， ，所以为
③ 当 时， ，所以
综合①②③不等式的解集为 ……………5分
(Ⅱ)即
由绝对值的几何意义，只需 …………………10分