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2014-2015学年广东省广州二中、珠海一中联考
高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M={﹣1，1，2}，N={x∈R|x2﹣5x+4=0}，则M∪N=（ ）
A． ϕ B． {1} C． {1，4} D． {﹣1，1，2，4}
【考点】： 并集及其运算．
【专题】： 集合．
【分析】： 根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】： 解：N={x∈R|x2﹣5x+4=0}={1，4}，
∵M={﹣1，1，2}，
∴M∪N={﹣1，1，2，4}，
故选：D
【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）函数y=lnx﹣6+2x的零点为x0，则x0∈（ ）
A． （1，2） B． （2，3） C． （3，4） D． （5，6）
【考点】： 二分法求方程的近似解．
【专题】： 计算题；函数的性质及应用．
【分析】： 可判断函数y=lnx﹣6+2x连续，从而由零点的判定定理求解．
【解答】： 解：函数y=lnx﹣6+2x连续，
且y|x=2=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，
y|x=3=ln3﹣6+6=ln3＞0；
故函数y=lnx﹣6+2x的零点在（2，3）之间，
故x0∈（2，3）；
故选B．
【点评】： 本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
3．（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（ ）
A． log0.89＜0.89＜90.8 B． 0.89＜90.8＜log0.89
C． log0.89＜90.8＜0.89 D． 0.89＜log0.89＜90.8
【考点】： 指数函数的图像与性质．
【专题】： 函数的性质及应用．
【分析】： 依据对数的性质，指数的性质，分别确定log0.89，0.89，90.8数值的大小，然后判定选项．
【解答】： 解：∵0.89∈（0，1）；90.8＞1；log0.89＜0，
所以：log0.89＜0.89＜90.8，
故选：A
【点评】： 本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题．
4．（5分）与直线l：3x﹣4y﹣1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（ ）
A． 3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0 B． 3x﹣4y﹣11=0
C． 3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0 D． 3x﹣4y+9=0
【考点】： 两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】： 计算题；直线与圆．
【分析】： 根据平行线的直线系方程设所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，再由题意和两平行线间的距离公式列方程，求出c的值，代入所设的方程即可．
【解答】： 解：由题意设所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，
根据与直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2得 =2，
解得c=﹣11，或 c=9，
故所求的直线方程为3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0．
故选：A．
【点评】： 本题考查两直线平行的性质，两平行线间的距离公式，设出所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，是解题的突破口．
5．已知sinx=﹣ ，且x在第三象限，则tan2x=（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】： 计算题；三角函数的求值．
【分析】： 由已知和同角三角函数关系式可求cosx，tanx，从而由二倍角的正切函数公式可求tan2x的值．
【解答】： 解：∵sinx=﹣ ，且x在第三象限，
∴cosx=﹣ =﹣ ，
∴tanx= = ，
∴tan2x= =﹣ ，
故选：A．
【点评】： 本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．
6．（5分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 球的体积和表面积．
【专题】： 计算题；空间位置关系与距离．
【分析】： 根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解
【解答】： 解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，
正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为： a=2R，
可得a= ，
∴正方体的体积为a3=（ ）3= ，
故选：D．
【点评】： 此题主要考查圆的性质和正方体的体积公式，考查学生的计算能力，是一道基础题，难度不大．
7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 =（2，4）， =（1，3），则 =（ ）
A． （2，4） B． （﹣2，﹣4） C． （3，5） D． （﹣3，﹣5）
【考点】： 平面向量的坐标运算．
【专题】： 平面向量及应用．
【分析】： 根据题意，画出图形，结合图形以及平行四边形中的向量相等关系，求出 ．
【解答】： 解：根据题意，画出图形，如图所示；
∵平行四边形ABCD中， =（2，4）， =（1，3），
∴ = ﹣ =（﹣1，﹣1），
∴ = + = + = ﹣ =（﹣3，﹣5）．
故选：D．
【点评】： 本题考查了平面向量的坐标表示以及平行四边形法则，是基础题目．
8．（5分）（2013•广州二模）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 取决于k的值
【考点】： 直线与圆的位置关系．
【专题】： 直线与圆．
【分析】： 根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．
【解答】： 解：圆x2+y2﹣2y=0 即 x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．
圆心到直线y=kx+1的距离为 =0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，
故选A．
【点评】： 本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
9．已知向量 ， 满足 ，| |=1， |=2，则|2 ﹣ |=（ ）
A． B． C． 8 D． 12
【考点】： 平面向量数量积的运算．
【专题】： 平面向量及应用．
【分析】： 根据向量的数量积运算，以及向量的模的方法，即遇模则平方，问题得以解决
【解答】： 解：∵ ，
∴ =0
∵| |=1， |=2，
∴|2 ﹣ |2=4| |2+| |2﹣4 =4+4﹣0=8，
∴|2 ﹣ |=2 ，
故选：A
【点评】： 本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题
10．（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（ ）
A． 若m⊥α，m⊥n，则n∥α B． 若m∥α，n∥α，则m∥n
C． 若m⊂α，n∥α，则m∥n D． 若m、n与α所成的角相等，则m∥n
【考点】： 空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】： 阅读型；空间位置关系与距离．
【分析】： 由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断B；
由线面平行的定义和性质，再由m，n共面，即可判断C；由线面角的定义和线线的位置关系，即可判断D．
【解答】： 解：由于直线m、n共面，
对于A．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故A错；
对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；
对于C．若m⊂α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；
对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．
故选C．
【点评】： 本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题和易错题．
11．求值：tan42°+tan78°﹣ tan42°•tan78°=（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 两角和与差的正切函数．
【专题】： 计算题；三角函数的求值．
【分析】： 观察发现：78°+42°=120°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（78°+42°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值
【解答】： 解：由tan120°=tan（78°+42°）= =﹣ ，
得到tan78°+tan42°=﹣ （1﹣tan78°tan42°），
则tan78°+tan42°﹣ tan18°•tan42°=﹣ ．
故选：C．
【点评】： 此题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值．观察所求式子中的角度的和为120°，联想到利用120°角的正切函数公式是解本题的关键，属于基础题．
12．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A． π B． π C． π D． π
【考点】： 由三视图求面积、体积．
【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： 根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积．
【解答】： 解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；
且底面半圆的半径为1，
∴该半圆锥个高为2× = ，
它的体积为V= × π•12× = π．
故选：C．
【点评】： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．
13．已知cosα= ，cos（α+β）=﹣ ，且α、β∈（0， ），则cos（α﹣β）=（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 两角和与差的余弦函数．
【专题】： 计算题；三角函数的求值．
【分析】： 根据α的范围，求出2α的范围，由cosα的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，又根据α和β的范围，求出α+β的范围，由cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）的值，然后据α﹣β=2α﹣（α+β），由两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求解．
【解答】： 解：由2α∈（0，π），及cosα= ，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ，且sin2α= = ，
由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣ ，得到sin（α+β）= = ，
则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]
=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）
=﹣ ×（﹣ ）+ ×
= ．
故选：C．
【点评】： 此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解题的关键是角度的灵活变换即α﹣β=2α﹣（α+β），属于中档题．
14．（5分）f（x）为R上的偶函数，若对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有 ＞0，则（ ）
A． f（﹣2）＜f（1）＜f（3） B． f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C． f（3）＜f（﹣2）＜f（1） D． f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
【考点】： 函数奇偶性的性质．
【专题】： 函数的性质及应用．
【分析】： 先根据对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有（x2﹣x1）•[f（x2）﹣f（x1）]＞0，可得函数f（x）在（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．进而可推断f（x）在[0，+∞）上单调递减，进而可判断出f（3），f（﹣2）和f（1）的大小．
【解答】： 解：∵对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有 ＞0，
故f（x）在x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．
又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，
且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），
由3＞2＞1＞0，
得f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选：C．
【点评】： 本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．
15．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（ ）
A． 7个 B． 8个 C． 9个 D． 10个
【考点】： 函数的值域．
【专题】： 计算题；函数的性质及应用；集合．
【分析】： 由题意知定义域中的数有﹣1，1，﹣3，3中选取；从而讨论求解．
【解答】： 解：y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”即定义域不同，
定义域中的数有﹣1，1，﹣3，3中选取；
定义域中含有两个元素的有2×2=4个；
定义域中含有三个元素的有4个，
定义域中含有四个元素的有1个，
总共有9种，
故选C．
【点评】： 本题考查了学生对新定义的接受能力及集合的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分20分．
16．（5分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a= ﹣1 ．
【考点】： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】： 直线与圆．
【分析】： 利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．
【解答】： 解：两条直线的斜率分别为：﹣ ，﹣ ．
∵l1⊥l2，
∴ =﹣1，
解得a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】： 本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系，属于基础题．
17．已知a＜0，向量 =（2，a﹣3）， =（a+2，a﹣1），若 ∥ ，则a= ﹣1 ．
【考点】： 平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】： 平面向量及应用．
【分析】： 直接由向量共线的坐标表示列式求得a的值．
【解答】： 解：∵ =（2，a﹣3）， =（a+2，a﹣1），
由 ∥ ，得2（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣3）=0，
解得：a=﹣1或a=4．
∵a＜0，
∴a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】： 平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若 =（a1，a2）， =（b1，b2），则 ⊥ ⇔a1a2+b1b2=0， ∥ ⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．
18．（5分）若函数f（x）= ，则f[﹣f（9）]= 9 ．
【考点】： 函数的值．
【专题】： 计算题；函数的性质及应用．
【分析】： 由分段函数的应用知，代入求函数的值．
【解答】： 解：f（9）=log39=2，
故f[﹣f（9）]=f（﹣2）= =9；
故答案为：9．
【点评】： 本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
19．（5分）直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长为 ．
【考点】： 直线与圆相交的性质．
【专题】： 计算题；直线与圆．
【分析】： 根据直线和圆的位置关系，结合弦长公式进行求解即可．
【解答】： 解：∵圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，
∴圆心（2，1），半径r=2，
圆心到直线的距离d= =1，
∴直线3x+4y﹣5=0被圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=4截得的弦长l=2 = ．
故答案为： ．
【点评】： 本题考查直线和圆的位置关系，利用弦长公式是解决本题的关键．
20．若函数f（θ）= ，则f（﹣ ）= 2 ．
【考点】： 同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
【专题】： 三角函数的求值．
【分析】： f（θ）解析式利用诱导公式化简，约分得到结果，把θ=﹣ 代入计算即可求出值．
【解答】： 解：f（θ）= =﹣4 sinθ，
则f（﹣ ）=﹣4 ×（﹣ ）=2 ，
故答案为：2 ．
【点评】： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
21．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0）对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）则实数a的取值范围是 （0， ] ．
【考点】： 函数的零点与方程根的关系．
【专题】： 综合题；函数的性质及应用．
【分析】： 确定函数f（x）、g（x）在[﹣1，2]上的值域，根据对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0），可g（x）值域是f（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．
【解答】： 解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，
可得f（x1）值域为[﹣1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]
即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]
∵对任意的x1∈[﹣1，2]都存在x0∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x0）
∴ ，∴0＜a≤
故答案为：（0， ]．
【点评】： 本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．
三、解答题：本大题共9小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
22．（12分）已知函数f（x）=ax+ （其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、 两点．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
【考点】： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】： 函数的性质及应用．
【分析】： （1）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义证明即可．
【解答】： 解：由已知有 ，解得 ，
∴ ． …（3分）
（1）f（x）是奇函数．…（4分）
证明：由题意f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）
又 ，…（6分）
∴f（x）是奇函数． …（7分）
（2）证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分），
，…（10分）
∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）
【点评】： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．
23．（12分）化简求值：
（1） ；
（2）（lg2）2+lg2•lg50+lg25．
【考点】： 对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
【专题】： 函数的性质及应用．
【分析】： （1）利用指数幂的运算性质即可得出；
（2）利用对数的运算性质、lg2+lg5=1即可得出．
【解答】： 解：（1）原式= ．
（2）原式=lg2（lg2+lg50）+2lg5=2lg2+2lg50=2（lg2+lg5）=2lg10=2．
【点评】： 本题考查了指数幂的运算性质、对数的运算性质、lg2+lg5=1，考查了计算能力，属于基础题．
24．（14分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E为PB的中点．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求证：平面ACE⊥平面PBC．
【考点】： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： （1）连BD交AC于O，连EO，利用三角形的中位线的性质证得EO∥PD，再利用直线和平面平行的判定定理证得PD∥平面ACE．
（2）由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得 BC⊥平面PAB，可得BC⊥AE．再利用等腰直角三角形的性质证得AE⊥PB．再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面ACE⊥平面PBC．
【解答】： 证明：（1）连BD交AC于O，连EO，∵ABCD为矩形，∴O为BD中点．
E为PB的中点，∴EO∥PD
又EO⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，
∴PD∥平面ACE
（2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC．
∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥AB．
∵PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，AE⊂PAB，∴BC⊥AE．
∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB．
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC，
而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC．
【点评】： 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的应用，属于基础题．
25．（2015•广东模拟）已知函数 ．
的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知 且 ，求 ．
【考点】： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值．
【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】： （1）依题意知，A=2，由图得T=π．从而可得ω=2；又2× +φ=2kπ+ ，k∈Z，φ∈（0， ），可求得φ，于是可得函数f（x）的解析式；
（2）易求cosα=﹣ ，利用两角和的正弦即可求得f（ ）=2sin（α+ ）的值．
【解答】： 解：（1）由函数最大值为2，得A=2．
由图可得周期T=4[ ﹣（﹣ ）]=π，
∴ω= =2．
又2× +φ=2kπ+ ，k∈Z，
∴φ=2kπ+ ，k∈Z，又φ∈（0， ），
∴φ= ，
∴f（x）=2sin（2x+ ）；
（2）∵α∈（ ，π），且sinα= ，
∴cosα=﹣ =﹣ ，
∴f（ ）=2sin（2• + ）
=2（sinαcos +cosαsin ）
=2[ × +（﹣ ）× ]
= ．
【点评】： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简求值，属于中档题．
26．（14分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【专题】： 计算题；证明题；数形结合．
【分析】： （1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
【解答】： 解：（1）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P
∴BD⊥平面PAC
（2）设AC与BD交点为O，连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2 ，PC=3
∴OC=
在△PAC∽△OEC中，
又BD⊥OE，
∴
∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3
【点评】： 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握
27．如图，甲船以每小时15 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里；当甲船航行40分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 海里．问乙船每小时航行多少海里？
【考点】： 解三角形的实际应用．
【专题】： 应用题；解三角形．
【分析】： 连接A1B2，依题意可知A2B2，求得A1A2的值，推断出△A1A2B2是等边三角形，进而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，即可求得乙船的速度．
【解答】： 解：如图，连结A1B2，由已知 ， ，…（2分）
∴A1A2=A2B2，
又∠A1A2B2=180°﹣120°=60°，∴△A1A2B2是等边三角形，…（4分）
∴ ，
由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，…（6分）
在△A1B2B1中，由余弦定理， …（9分）= =200．
∴ ． …（12分）
因此，乙船的速度的大小为 （海里/小时）．…（13分）
答：乙船每小时航行 海里． …（14分）
【点评】： 本题主要考查了解三角形的实际应用．要能综合运用余弦定理，正弦定理等基础知识，考查了综合分析问题和解决实际问题的能力．
28．（14分）已知圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），从圆M外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|（O为坐标原点）．
（1）求圆M的方程；
（2）试判断点P是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【考点】： 直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．
【专题】： 综合题．
【分析】： （1）解法一：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法二：设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），将三点A（2，2），B（2，4），C（3，3）代入可求；
解法三：求线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点，可求圆心M的坐标，进而可求圆M的半径，从而可求圆M的方程；
解法四：可判断△ABC是直角三角形，进而可求圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径 ，从而可求圆M的方程；
（2）连接PM，根据 ， ，利用|PT|=|PO|，可判断点P总在定直线上．
【解答】： 解：（1）解法一：设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，…（1分）
∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴ …（4分）
解得 …（7分）
∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）
解法二：设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），…（1分）
∵圆M经过三点A（2，2），B（2，4），C（3，3），
∴ …（4分）
解得 …（7分）
∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）
解法三：∵A（2，2），B（2，4），
∴线段AB的垂直平分线方程为y=3，…（2分）
∵A（2，2），C（3，3），
∴线段AC的垂直平分线方程为 即x+y﹣5=0，…（4分）
由 解得圆心M的坐标为（2，3）．…（6分）
故圆M的半径 ．
∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）
解法四：∵ ， ， ，…（2分）
∴|AC|2+|BC|2=4=|AB|2．
∴△ABC是直角三角形．…（4分）
∵圆M经过A，B，C三点，
∴圆M是Rt△ACB的外接圆．…（6分）
∴圆M的圆心M的坐标为AB的中点（2，3），半径 ．
∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．…（8分）
（2）连接PM，则 ，…（10分）
∵ ，且|PT|=|PO|，
∴ ，…（12分）
化简得2a+3b﹣6=0．
∴点P总在定直线2x+3y﹣6=0上．…（14分）
【点评】： 本题主要考查直线和圆等基本知识，考查运算求解能力和抽象概括能力，利用待定系数法，确定圆的方程是解题的关键．
29．已知向量 =（sinx，﹣1）， =（ cosx，﹣ ），函数f（x）= ．
（1）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；
（2）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2=ac，B为锐角，且f（B）=1，求 的值．
【考点】： 平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．
【专题】： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．
【分析】： （1）根据向量的数量积运算，先化简f（x）=sin（2x﹣ ），再根据三角形函数的图象和性质，问题得以解决；
（2）先求出B的大小，再根据正弦定理或余弦定理，即可求出 的值．
【解答】： 解：（1）
=
= ．
故f（x）max=1，
此时 ，得 ，
∴取最大值时x的取值集合为 ．
（2） ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
（法一）由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC得： = ．
（法二）由b2=ac及余弦定理得：ac=a2+c2﹣ac即a=c，
∴△ABC为正三角形，
∴ ．
【点评】： 本题考查向量的数量积的运算以及三角函数的化简和求值，正弦定理和余弦定理，属于中档题
30．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|．
（1）当a=2时，求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）求函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数．
【考点】： 函数的单调性及单调区间；二次函数的性质；函数零点的判定定理．
【专题】： 计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】： （1）求出a=2的函数解析式，讨论x≥2时，x＜2时，二次函数的对称轴与区间的关系，即可得到增区间；
（2）函数g（x）=f（x）﹣1的零点个数即为y=f（x）与y=1的交点个数．画出图象，讨论a=0，a＞0，①a=2，②0＜a＜2③a＞2，及a＜0，通过图象和对称轴，即可得到交点个数．
【解答】： 解：（1）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|，
当x≥2时，f（x）=x2﹣2x，对称轴为x=1，
所以，f（x）的单调递增区间为（2，+∞）；
当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1，
所以，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1）．
（2）令g（x）=f（x）﹣1=0，即f（x）=1，f（x）= ，
求函数g（x）的零点个数，即求y=f（x）与y=1的交点个数；
当x≥a时，f（x）=x2﹣ax，对称轴为x= ，
当x＜a时，f（x）=﹣x2+ax，对称轴为x= ，
①当a=0时，f（x）=x|x|，
故由图象可得，
y=f（x）与y=1只存在一个交点．
②当a＞0时， ＜a，且f（ ）= ，
故由图象可得，1°当a=2时，f（ ）= =1，
y=f（x）与y=1只存在两个交点；
2°当0＜a＜2时，f（ ）= ＜1，
y=f（x）与y=1只存在一个交点；
3°当a＞2时，f（ ）= ＞1，
y=f（x）与y=1只存在三个交点．
③当a＜0时， ＞a，
故由图象可得，
y=f（x）与y=1只存在一个交点．
综上所述：当a＞2时，g（x）存在三个零点；
当a=2时，g（x）存在两个零点；
当a＜2时，g（x）存在一个零点．
【点评】： 本题考查函数的单调性的运用：求单调区间，考查函数和方程的思想，函数零点的判断，考查数形结合和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．