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2015滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考
数 学（文科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、设 是虚数单位，复数 （ ）
A． B． C． D．
3、已知 是定义在 上的偶函数，若命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．不存在 ，
4、已知 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5、设 是双曲线 上的任意一点，点 到双曲线 的两条渐近线的距离分别为 、 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
7、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ）
A． B． C． D．
8、若曲线 （ ）上任意一点切线的倾斜角的取值范围是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9、若函数 满足 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10、由动点 向圆 引两条切线，切点分别为 、 ，若 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11、已知向量 、 满足 ， ，则 ．
12、函数 的定义域是 ．
13、设 是等差数列 的前 项和，且 ，则 ．
14、函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，则 ．
15、在三棱柱 中， 为正三角形， 底面 ， 是 的中点， 是 的中点．下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
① 平面 ；
②平面 平面 ；
③平面 截该三棱柱所得大小两部分的体积比为 ；
④若该三棱柱有内切球，则 ；
⑤若 上有唯一点 ，使得 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）在 中，角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，且 ．
证明： ；
若 ，求 的面积．
17、（本小题满分12分）已知函数 ，且 ， ．
求 ， 的值；
设 ，求函数 的极值．
18、（本小题满分12分）为了考查培育的某种植物的生长情况，从试验田中随机抽取 株该植物进行检测，得到该植物高度的频数分布表如下：
写出表中①②③④处的数据；
用分层抽样法从第 、 、 组中抽取一个容量为 的样本，则各组应分别抽取多少个个体？
在 的前提下，从抽出的容量为 的样本中随机选取两个个体进行进一步分析，求这两个个体中至少有一个来自第 组的概率．
19、（本小题满分13分）如图，在四棱台 中， 底面 ，四边形 为正方形， ， ， 平面 ．
证明： 为 的中点；
求点 到平面 的距离．
20、（本小题满分13分）设 为数列 的前 项和，且 ，
， ．
证明：数列 为等比数列；
求 ．
21、（本小题满分13分）已知椭圆 （ ）的右焦点 是抛物线 的焦点，过点 垂直于 轴的直线被椭圆 所截得的线段长度为 ．
求椭圆 的方程；
设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ．请问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2015滁州市高高级中学联谊会高三第一学期期末联考
数 学（文科）参考答案
一、选择题：本题有10小题，每小题5分，共50分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D B B C C B C
二、填空题：本题有5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13． 14． 15．①②④⑤
三、解答题：本题有6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（16）解析：（Ⅰ）∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)，
sinC＝sin(A＋B)＝2sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB－2cosAsinB，
sinAcosB＝3cosAsinB，tanA＝3tanB．（6分）
（Ⅱ）解法一：由正、余弦定理及sinAcosB＝3cosAsinB，得 ，
化简代入c=2b=2得 △ABC为直角三角形, ∴ 的面积S△ABC＝ ＝32．（12分）
解法二：由正弦定理知sinC＝2sinB，则2sin(A－B)＝2sinB，A＝2B，
代入tanA＝3tanB中整理得2tanB1－tan2B＝3tanB，解得tanB＝33，B＝30°，A＝60°，
∴ 的面积S△ABC＝ ＝32．（12分）
（17）解析：（Ⅰ） ∴ 即
又 ∴ （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
令 得 列表分析如下：
极大值
∴ 在 上的极大值为 无极小值.（12分）
（18）解析：(Ⅰ)在①②③④处的数据分别是12，10，0.30，0.10.(4分)
(Ⅱ)抽样比为630＝0.2，第3、4、5组中抽取的个体数分别是0.2×10＝2，0.2×15＝3，0.2×5＝1.(7分)
(Ⅲ)设从第3组抽取的2个个体是a、b，第4组抽取的3个个体是c、d、e，第5组抽取的1个个体是f，记事件A为“两个个体都不来自第4组”，
则从中任取两个的基本事件为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15个，且各基本事件等可能，其中事件A包含的基本事件有3个，
故两个个体中至少有一个来自第4组的概率 .(12分)
（19）解析（Ⅰ）连接AD1，则D1C1∥DC∥AB，∴A、E、C1、D1四点共面，
∵C1E∥平面ADD1A1，则C1E∥AD1，∴AEC1D1为平行四边形，
∴AE＝D1C1＝1，∴E为AB的中点．（6分）
（Ⅱ）VC1－ADE＝13DD1×12AE×AD＝13×2×12×2×1＝23，DC1＝5，
∵AD⊥DC，AD⊥DD1，∴AD⊥平面DCC1D1，AD⊥DC1．
设点E到平面ADC1的距离为h，
则VC1－ADE＝23＝VE－ADC1＝13h×12AD×DC1＝53h，解得h＝255．（13分）
（20）解析：（Ⅰ） an＋1＝Sn＋1－Sn， n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn＋n(n＋1)，
即nSn＋1＝2(n＋1)Sn＋n(n＋1)，则Sn＋1n＋1＝2×Snn＋1，
Sn＋1n＋1＋1＝2(Snn＋1)，故数列{Snn＋1}为等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知Snn＋1＝(S11＋1)•2n－1＝2n， Sn＝n•2n－n，
Tn＝(1•2＋2•22＋…＋n•2n)－(1＋2＋…＋n)，
设M＝1•2＋2•22＋…＋n•2n，则2M＝1•22＋2•23＋…＋n•2n＋1，
∴－M＝2＋22＋…＋2n－n•2n＋1＝2n＋1－2－n•2n＋1，∴M＝(n－1)•2n＋1＋2，
∴Tn＝(n－1)•2n＋1＋2－n(n＋1)2．（13分）
（21）解析: （Ⅰ）抛物线 的焦点坐标为(1,0)，则椭圆C过点
则 解得 （4分）
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点 满足条件，设 ，则
由 ,得 .
∴ ,即 ， .
此时 ,∴ （8分）
, ,
= ，
.
∴存在点 ,使得 .（13分）