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理数
1. (2014大纲全国,11,5分)已知二面角α-l-β为60°,AB⊂α,AB⊥l,A为垂足,CD⊂β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[答案] 1.B
[解析] 1.依题意作图,平移CD至AD,作AE⊥l,且DE∥l,连结BE,BD,则DE⊥面BAE,则∠EAB=60°,∠DAE=45°,
设AB=1,AE=1,则BE=1,DE=1,DA= .
在Rt△BED中,BD= .
∴cos∠BAD= = = ,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .故选B.
2. (2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
[答案] 2.D
[解析] 2.由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定,
若l1∥l3,则结合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除选项B、C,
若l1⊥l3,则结合l3⊥l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.
3.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m ∥α,m⊥n,则n⊥α
[答案] 3.B
[解析] 3.A选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n⊂α,D选项也可以n∥α或n与α斜交.根据线面垂直的性质可知选B.
4.（2014重庆一中
高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为 ，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（ ）
（A）1 （B） （C） （D）3
[答案] 4. A
[解析] 4. 取边长为 的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接,
5.(2014山东青岛
高三第一次模拟考试, 5) 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
[答案] 5. D
[解析] 5.A选项不正确，因为 是可能的；
B选项不正确，因为 ， 时， ， 都是可能的；
C选项不正确，因为 ， 时，可能有 ；
D选项正确，可由面面垂直的判定定理证明其是正确的．
故选D
6. (2014安徽合肥高三第二次质量检测，9) 已知正方体 中，线段 上（不包括端点）各有一点 ，且 ，下列说法中，不正确的是（ ）
四点共面
B. 直线 与平面 所成的角为定值
C.
D. 设二面角 的大小为 ，则 的最小值为
[答案] 6. D
[解析] 6.正方体 中，线段 ， 上（不包含端点）各有一点 、 ，且
，如图，当 连线与 平行时， 、 、 、 四点共面，所以 错误；
直线 与平面 所成的角为定制，显然不正确，在平面 的射影是 ，点 如果是
定点，直线 与平面 所成的角是变值，所以 不正确；
当点 在 的中点时，不妨设棱长为2， ，所以 是钝角，
所以 不正确，故 错误；
对于选项 ，作 于 ，过 作 于 ，令 ，则 最小值时 最
大，此时 点在 ， ，所以选项 正确.
故选D.
7. (2014广西桂林中学高三2月月考，4) 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
[答案] 7. D
[解析] 7. 若 ，则平面 与 垂直或相交或平行，故（A) 错误；
若 ，则直线 与 相交或平行或异面，故（B) 错误；
若 ，则直线 与平面 垂直或相交或平行，故（C) 错误；
若 ，则直线 ，故 （D) 正确. 选D.
8. (2014周宁、政和一中第四次联考，7) 设 表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ∥ ，且 则 ；
②若 ∥ ，且 ∥ . 则 ∥ ；
③若 ，则 ∥ ∥ ；
④若 且 ∥ , 则 ∥ .
其中正确命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] 8. B
[解析] 8. ①正确；②直线 或 ，错误；③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.
9. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，5) 已知 ， 是两条不同的直线， 为平面，则下列命题正确的是：
(A) 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥
(B) 若 ⊥ ， ⊥ ．则 ⊥
(C) 若 ⊥ ， ∥ ，则 ⊥
(D) 若 与 相交， 与 相交，则 ， 一定不相交（ ）
[答案] 9. C
[解析] 9. 对(A) 直线 、 还可能相交或异面；故 (A) 是假命题；
对 (B) 垂直于同一个平面的两条直线平行，故 (B) 时假命题；
对 (C) 真命题；
对 (D) 直线 、 可能相交、平行或异面.
故真命题是(C).
10. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 7) 已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 ⊥ 的是（ ）
A. 且
B. 且
C. 且 ⊥
D. 且
[答案] 10. C
[解析] 10. 对选项A， 与 平行或相交；对选项B， 与 平行或相交；选项C正确；选项D， 与 平行或相交. 故选C.
11. (201 4兰州高三第一次诊断考试, 6) 已知 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，给出下列命题：
①若 ； ②若 ；
③如果 相交；
④若
其中正确的命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
[答案] 11. D
[解析] 11. ①由平面与平面垂直的判定定理知，是真命题；②当直线 ， 平行时， 与 不一定平行，是假命题；③直线 与平面 可能平行，假命题；④真命题. 故正确的命题是①④.
12.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考
数学（理）试题，13）如图, 正四棱锥 中， ， 是边 的中点，动点 在四棱锥的表面上运动，且总保持 ，点 的轨迹所围成的图形的面积为 , 若以 的方向为主视方向，则四棱锥 的主视图的面积是 .
[答案] 12. 4
[解析] 12. 由题意可得点P在过点E且与直线AC垂直的平面上，取线段PC、CD的中点分别为F、G，并设GE与AC交于点H. 易得直线AC⊥平面EFG，所以点P的轨迹即为△EFG，因为AB=2，所以GE= ，点 的轨迹所围成的图形的面积为 ，所以可得FH=2，根据勾股定理可得GF= ，所以四棱锥的侧棱长为 . 所以四棱锥 的主视图是以腰长为 底边长为2的等腰三角形，其面积为4.
13.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，15）如图，已知球 是棱长为 的正方体 的内切球，则平面 截球 的截面面积为 .
[答案] 13.
[解析] 13. 设截面圆的半径为 r. 球心即为正方体的中心，且球O的半径为 . 由正方体的性质 可知，点O到平面ACD1的距离为 ，则 ，解得 ，所以截面圆的面积为 .
14. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 7) 关于直线 及平面 ，下列命题中正确的是（ ）
A . 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
[答案] 14. C
[解析] 14. 对A，直线 可能平行、相交或异面；
对B，因为直线 不一定在平面 内，直线 可能为异面直线，则B错误；
对C，直线与平面垂直，需直线与平面内的两条相交直线垂直，则C正确；
对D，同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，则D错误.
15.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，19）（原创）如图，在四面体 中， 平面 ， ， ， 。 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 。
(1) 证明: 平面 ；
(2) 若异面直线 与 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，求 的值。
[答案] 15.查看解析
[解析] 15. 法一：(1) 如图，连 并延长交 于 ，连 ，过 作 交 于 ，则 ， 。故 ，从而 。因 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
(2) 过 作 于 ，作 于 ，连 。因 平面 ，故平面 平面 ，故 平面 ，因此 ，从而 平面 ，所以 即为二面角 的平面角。因 ，故 ，因此 即为 的角平分线。由⑴易知 ，故 ，从而 ， 。由题易知 平面 ，故 。由题 ，故 。所以 ，从而 。
法二：如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， 。
(1) 设 ，则 ，因此 。显然 是平面 的一个法向量，且 ，所以 平面 ；
(2) 由(1) ， ， ，故由 得 ，因此 ，从而 ， 。设 是平面 的法向量，则 ，取 得 。设 是平面 的法向量，则 ，取 得 。故 。
16. (2014山西太原高三模拟考试（一），19) 如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1. 已知∠BCA=90°，AA1=AC=BC =2.
（I）求证：AB1⊥ AlC；
（Ⅱ）求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值.
[答案] 16.查看解析
[解析] 16.
17. (2014福州高中毕业班质量检测, 18) 如图，直角梯形 中， =4，点 、 分别是 、
的中点，点 在 上，沿 将梯形 翻折，使平面 ⊥平面 ．
（Ⅰ）当 最小时，求证： ⊥ ；
（Ⅱ）当 时，求二面角 平面角的余弦值.
[答案] 17.查看解析
[解析] 17.(Ⅰ) 证明：∵点 、 分别是 、 的中点, ∴ ，
又 ，∴ ，∵平面 ⊥平面 ，
∴ 平面 ， ， ， 又 ，
如图建立空间坐标系 ．
翻折前, 连结 交 于点 ，此时点 使得 最小.
, 又∵ ．
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ⊥ . （5分）
(Ⅱ) 解法一：设 ,
∥平面 , 点 到平面 的距离为即为点 到平面 的距离.
，
= ，
又 = ,
, = ,
即 ，（8分）
设平面 的法向量为 , ∵G(0,1 , 0),
∴ (－2,2, 2),
则 , 即
取 , 则 , , ∴ ，
平面BCG的一个法向量为 ，
则cos< > = ，
由于所求二面角 的平面角为锐角,
所以此二面角平面角的余弦值为 . （13分）
(Ⅱ) 解法二: 由解法一得 , 过点D 作 , 垂足 , 过点 作 延长线的垂线垂足 ，
连接 . ∵平面 ⊥平面 , 平面 ， ,
所以 就是 所求的二面角 的平面角. （9分）
由于 , 在 中 ,
又 ，在 中 ，
所以此二面角平面角的余弦值为 . （13分）
18. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），19) 如图，在三棱锥 中， 面 ， ，且 ， 为 的中点， 在 上，且 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
[答案] 18.查看解析
[解析] 18.（Ⅰ）不妨设 ，又 ，
∴在 中， ，∴ ，
则 = ，
所以 , 又 , ∴ ,
且 也为等腰三角形.
（法一）取 中点 ，连接 、 ，∴ ，
∵ 面 ，∴ ，∴ ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
∴ . （6分）
（法二） ，则 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 ， ， , ,
∴ ,
则 ，所以 . （6分）
（Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，可知 ， ，面 的法向量可取为 ，（8分）
设面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，可取 ，
∴ = ，
故二面角 的余弦值为 . （12分）
19. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，18) 如图，已知正三棱柱 各棱长都为 , 为线段 上的动点.
(Ⅰ) 试确定 ；
(Ⅱ) 若 的大小 ；
[答案] 19.查看解析
[解析] 19.解：以 原点， 为 轴，过 点与 垂直的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图，则 ， ， ，设 ，
(Ⅰ) 由 得 ，解得 ，即 为 的中点.
所以 时， . （5分）
(Ⅱ) 当 时， 点的坐标为 ，取 ，
则 ，
，
所以 是平面 的一个法向量，
又平面 的一个法向量 ，（8分）
所以 ，
所以二面角 的大小事 . （12分）
20.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考
数学（理）试题，19） 如图，四棱锥 中，侧面 是边长为2的正三角形，底面 是菱形， , 点P在底面 上的射影为ΔACD的重心，点M为线段 上的点．
（1）当点M为PB的中点时，求证：PD//平面ACM；
（2）当平面CDM与平面CBM夹角的余弦值为 时，试确定点M的位置．
[答案] 20.查看解析
[解析] 20. （1）设AC、BD的交点为I，连结MI， 因为I、M分别为BD、BP的中点，所以PD//MI，又MI在平面ACM内，所以PD//平面ACM； …………4分
（2）设CD的中点为O，分别以OA、OC为x轴、y轴，
过O点垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则 , ， ， ， ， ………………6分
设 ，
则 ,
，
设平面CBM的法向量为 ，则 且 ，
令
则 ………………………10分
所以
21.(2014湖北武汉
高三2月调研测试，) 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．
（Ⅰ）求直线B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段BC1上确定一点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
[答案] 21.查看解析
[解析] 21.解：（Ⅰ）∵AA1C1C为正方形，∴AA1⊥AC．
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，
∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
由已知AB＝3，BC＝5，AC＝4，∴AB⊥AC．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
则B(0，3，0) ，A1(0，0，4) ，B1(0，3，4) ，C1(4，0，4) ，
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