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精品题库试题
理数
1. (2014大纲全国,10,5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于( )
A.6B.5C.4D.3
[答案] 1.C
[解析] 1.由题意知a1•a8=a2•a7=a3•a6=a4•a5=10,∴数列{lg an}的前8项和等于lg a1+lg a2+…+lg a8=lg(a1•a2•…•a8)=lg(a4•a5)4=4lg(a4•a5)=4lg 10=4.故选C.
2. (2014重庆,2,5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( )
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
[答案] 2.D
[解析] 2.不妨设公比为q,则 = q4,a1•a9= q8,a2•a6= •q6,当q≠±1时,知A、B均不正确;又 = q6,a2•a8= q8,同理,C不正确;由 = q10,a3•a9= q10,知D正确.
3. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，6) 等比数列 满足 ，且 ，则当 时， ( )
A. B . C. D.
[答案] 3. A
[解析] 3. 根据等比数列的性质可得 ，解得 ，当n=1时，也适合上式，所以 ，所以 .
4. (2014福州高中毕业班质量检测, 5) 已知等比数列 的前 项积为 若 ，则 ( )
A. 512
B. 256
C. 81
D. 16
[答案] 4. A
[解析] 4. 因为数列 是等比数列， ，所以 ，所以 .
5. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，6) 已知等比数列 的前 项和为 , 且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
[答案] 5. C
[解析] 5. ， ， ， ， .
6. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，9) 等比数列 中，若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
[答案] 6. B
[解析] 6. 依题意， ，所以 .
7.(2014湖北八市高三下学期3月联考，3) 等比数列{an}的各项均为正数，且 ，则log3 a1+log3a2+…+log3 al0=( )
A．12 B．10 C．8 D．2+log3 5
[答案] 7. B
[解析] 7.由题意可知 ，又 得 ，而
．
8.(2014周宁、政和一中第四次联考， 10) 已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且对于任意实数 满足
考察下列结论：① ；② 为偶函数；③数列 为等比数列；④数列 为等差数 列. 其中正确的结论是( )
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
[答案] 8. D
[解析] 8. 令 ，则 ；令 ，则 ， ， ，故①正确；
， ， ， 是 上的奇函数，故②不正确；
， ，由此类推，
（共 个），
，数列 为等比数列，故③正确，
由 ，数列 为等差数列，故④正确.
故正确的有①③④.
9. (2014周宁 、政和一中第四次联考，6) 已知 成等比数列，且曲线 的顶点是 ，则 等于（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D.
[答案] 9. B
[解析] 9. ，顶点坐标为 ， ，又 成等比数列，
.
10. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 4) 设 为数列 的前 项和，已知 ，若 ，则 （ ）
A. 512
B. 16
C. 64
D. 256
[答案] 10. D
[解析] 10. 由 ， ，则 ， ， 数列 从第二项起是等比数列， .
11. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 6) 已知各项不为0的等差数列 满足 ，数列 是等比数列，且 ，则 等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
[答案] 11. D
[解析] 11. 等差数列 的各项不为0，且满足 ， ，
即 ，解得 或 （舍去），又 ， ，又数列 是等比数列，
.
12. (2014广东,13,5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________.
[答案] 12.50
[解析] 12.因为等比数列{an}中,a10•a11=a9•a12,
所以由a10a11+a9a1 2=2e5,可解得a10•a11=e5.
所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1•a2•…•a20)=ln(a10•a11)10=10ln(a10•a11)=10•ln e5=50.
13.(2014安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.
[答案] 13.1
[解析] 13.设{an}的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).
∴[(a1+1)+2(d+1)]2 =(a1+1)[(a1+1)+4(d+1)],
∴(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+[2(d+1)]2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),
∴d=-1,∴a3+3=a1+1,
∴公比q= =1.
14.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________.
[答案] 14.4
[解析] 14.由a8=a6+2a4,两边都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0⇔(q2-2)(q2+1)=0,∴q2=2.
∵a2=1,∴a6=a2q4=1×22=4.
15.(2014天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为________.
[答案] 15.-
[解析] 15.S1=a1,S2=2a1-1,S4=4a1-6.故(2a1-1)2=a1×(4a1-6),解得a1=- .
16.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，11）正项等比数列 中， ，则 ……
[答案] 16. 12
[解析] 16. .
17. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，12) 设等比数列 的公比q=2，前n项和为Sn，则 = 。
[答案] 17.
[解析] 17. .
18. （2014广东汕头普通高考模拟
考试试题，10）在等比数列 中， , 若 为等差数列，且 , 则数列 的前5项和等于___________.
[答案] 18.10
[解析] 18. 由 得 (舍) 或 。从而 ，所以 .
19. (2014广东广州高三调研测试，9) 在等比数列 中，若 ，则 _______.
[答案] 19.3 [来源:Zxxk.Com]
[解析] 19. 由已知可得 ，所以 ，即 .
20.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 12) 设等比数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，且 ，其中 ，则 的值为 ▲ ．
[答案] 20. 129
[解析] 20. 设数列 的首项为 ，公比为 ，由已知得 ， ， ， ，解得 或 ，
当 时，与 矛盾，舍去， ，
，解得 ， ，
.
21. (2014重庆七校联盟, 12) 数列 的前 项和为 ，且，则 的通项公式 _____．
[答案] 21.
[解析] 21. 由， 当 时， ，即 ，
数列 是首项为1，公比为2的等比数列， .
22.(2014广州高三调研测试, 9) 在等比数列 中，若 ，则 ．
[答案] 22. 3
[解析] 22. 数列 为等比数列， ， ， ，即 .
23. (2014兰州高三第一次诊断考试, 16) 数列 的首项为1，数列 为等比数列且 ，若 ，则 .
[答案] 23.
[解析] 23. 由 ，且 ，得 ，
，即 ，
，即 ，
， ，
数列 为等比数列，
.
24.(2014浙江,19,14分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=( (n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.
(Ⅰ)求an与bn;
(Ⅱ)设cn= - (n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.
(i)求Sn;
(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.
[答案] 24.查看解析
[解析] 24.(Ⅰ)由题意a1a2a3…an=( ,b3-b2=6,
知a3=( =8.
又由a1=2,得公比q=2(q=-2舍去),所以数列{an}的通项为an=2n(n∈N*),
所以,a1a2a3…an= =( )n(n+1).
故数列{bn}的通项为bn=n(n+1)(n∈N*).
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知cn= - = - (n∈N*),
所以Sn= - (n∈N*).
(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;
当n≥5时,cn= ,
而 - = >0,
得 ≤ <1,
所以,当n≥5时,cn<0.
综上,对任意n∈N*,恒有S4≥Sn,故k=4.
25.(2014山东,19,12分)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=(-1)n-1 ,求数列{bn}的前n项和Tn.
[答案] 25.查看解析
[解析] 25.(Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+2,
S4=4a1+ ×2=4a1+12,
由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),
解得a1=1,
所以an=2n-1.
(Ⅱ)bn=(-1)n-1 =(-1)n-1
=(-1)n-1 .
当n为偶数时,
Tn= - +…+ -
=1-
= .
当n为奇数时,
Tn= - +…- + + + =1+ = .
所以Tn=
26.(2014天津,19,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.
(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.
[答案] 26.查看解析
[解析] 26.(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2•2+x3•22,xi∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(Ⅱ)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得
s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1
≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn -1
= -qn-1=-1<0.
所以s<t.
27.(2014课标全国卷Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明 + +…+ < .
[答案] 27.查看解析
[解析] 27.(Ⅰ)由an+1=3an+1得an+1+ =3 .
又a1+ = ,所以 是首项为 ,公比为3的等比数列.
an+ = ,因此{an}的通项公式为an= .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 = .
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以 ≤ .
于是 + +…+ ≤1+ +…+ = < .
所以 + +…+ < .
28. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，22) 已知数列｛ ｝中， , 点 在直线 上，其中 .
（1）令 ，求证数列 是等比数列;
（2）求数列 的通项；
⑶ 设 分别为数列 的前 项和，是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，试求出 . 若不存在, 则说明理由.
[答案] 28.查看解析
[解析] 28.解：（I）由已知得
又
是以 为首项，以 为公比的等比数列. 4分
（II）由（I）知，
将以上各式相加得：
8分
（III）解法一：
存在 ，使数列 是等差数列.
数列 是等差数列的充要条件是 、 是常数
即
又
当且仅当 ，即 时，数列 为等差数列. 14分
解法二：
存在 ，使数列 是等差数列.
由（I）、（II）知，
又
当且仅当 时，数列 是等差数列. 14分
29. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，17) 已知等差数列 中， ； 是 与 的等比中项．
（Ⅰ）求数列 的通项公式：
（Ⅱ）若 ．求数列 的前 项和
[答案] 29.查看解析
[解析] 29.（Ⅰ）因为数列 是等差数列， 是 与 的等比中项．所以 ，
又因为 ，设公差为 ，则 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时, ， ；
当 时， .
所以 或 . （6分)
（Ⅱ）因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以
两式相减得 ，
所以 . （13分）
30.(2014湖北黄冈高三4月模拟考试，18) 已知数列 的前 项和 ， ， ，等差数列 中 ，且公差 .
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 若存在，求出 的最小值，若不存在，说明理由.
[答案] 30.查看解析
[解析] 30.（Ⅰ） 时， 相减得：
，又 ， ，
数列 是以1为首项，3为公比的等比数列， .
又 ， ， . （6分）
（Ⅱ）
令 ………………①
…………………②
①－②得：
， ，即 ，当 ， ，当 。
的最小正整数为4. （12分）
31. (2014山东实验中学高三第一次模拟考试，19) 已知点 的图象上一点，等比数列 的首项为 ，且前 项和
(Ⅰ) 求数列 和 的通项公式；
(Ⅱ) 若数列 的前 项和为 ，问 的最小正整数 是多少？
[答案] 31.查看解析
[解析] 31.解：(Ⅰ) 因为 ，所以 ，
所以 ， ，
，
又数列 是等比数列，所以 ，所以 ，
又 公比 ，所以 ，
因为 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以数列 构成一个首项为1，公差为1的等差数列， ，
所以 ，当 时， ，
所以 . （6分）
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得
，（10分）
由 得 ，满足 的最小正整数为72. （12分）[来源:学*科*网Z*X*X*K]
32. （2014广东汕头普通高考模拟
考试试题，20）设数列 的前 项和为 , 已知 ， .
(Ⅰ) 求 的值；
(Ⅱ) 求数列 的通项公式；
证明： 对一切正整数 ，有 .
[答案] 32.查看解析
[解析] 32.(Ⅰ) 依题意, , 又 , 所 以 ；(3分)
(Ⅱ) 当 时, ,
两式相减得 ………(5分)
整理得 , 即 ,
所以 ，(6分)
又因为 且 ， 所以 ，
故数列 是首项为 , 公比为 的等比数列,
所以 , 所以 .
(Ⅲ) 因为当 时,
，(10分)
①当 时, ；(考生易漏)
②当 且 为奇数时, 令 ( ),
；
③当 为偶数时, 令 ( ),
此时 ，
综上, 对一切正整数 , 有 . (14分)
33. (2014广东广州
高三调研测试，19) 已知数列 满足 ， ， .
(Ⅰ) 求证：数列 为等比数列；
(Ⅱ) 是否存在互不相等的正整数 ， ， ，使 ， ， 成等差数列，且 ， ，
成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 ， ， ；如果不存在，请说明理由.
[答案] 33.查看解析
[解析] 33.解：(Ⅰ) 因为 ，所以 .
所以 .
因为 ，则 .
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知， ，所以 .
假设存在互不相等的正整数 ， ， 满足条件，
则有
由 与 ，
得 . （10分）
即 .
因为 ，所以 .
因为 ，当且仅当 时等号成立，
这与 ， ， 互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数 ， ， 满足条件. （14分）
34. (2014北京东城
高三第二学期教学检测，20) 在数列 ， 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列（ ）.
（Ⅰ）求 ， ， 及 ， ， ，由此归纳出 ， 的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明： .
[答案] 34.查看解析
[解析] 34.（Ⅰ）由条件得 ，
由此可得 .
猜测 . （4分）
用
数学归纳法证明：
①当 时，由上可得结论成立.
②假设当 时，结论成立，即 ，
那么当 时，
.
所以当 时，结论也成立.
由①②，可知 对一切正整数都成立. （7分）
（Ⅱ）因为 .
当 时，由（Ⅰ）知 .
所以
.
综上所述，原不等式成立. (12分）
35.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，17) 数列 满足 ，等比数列 满足 .
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
[答案] 35.查看解析
[解析] 35.（Ⅰ）由 ，所以数列 是等差数列，又 ，
所以 ，
由 ，所以 ， ，所以 ，即 ，
所以 . （6分)
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
两式相减的 ，
所以 . (12分）
36. （2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，20）已知各项均为正数的数列 满足 , 且 , 其中 .
(Ⅰ) 求数列 的通项公式；
(Ⅱ) 设数列 满足 ，是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有的 的值；若不存在，请说明理由.
[答案] 36.查看解析
[解析] 36.(Ⅰ) 因为 , 即 ，
又 , 所以有 , 即 ,
所以数列 是公比为 的等比数列.
由 得 , 解得 .
从而，数列 的通项公式为 . （6分）
(Ⅱ) = ，若 成等比数列，则 ，
即 ．由 ，可得 ，
所以 ，解得： 。又 ，且 ，
所以 ，此时 ．
故当且仅当 ， . 使得 成等比数列. （12分）
37.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，17）已知 是单调递增的等差数列，首项 ，前 项和为 ，数列 是等比数列，其中
（1）求 的通项公式；
（2）令 求 的前20项和 。
[答案] 37.查看解析
[解析] 37.
38. (2014广西桂林中学高三2月月考，20) 设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记 ．
(Ⅰ) 求数列 的通项公式；
(Ⅱ) 记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数
都有
[答案] 38.查看解析
[解析] 38.(Ⅰ) 当 时， ，即 ，
又 ， ，所以 ，即 ，
所以数列 呈等比数列，其首项为 ，公比 ，
所以 ， . （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
， （7分）
= ，（9分）
又
当
当
. （12分）
39.（2014湖北八校高三第二次联考
数学（理）试题，18）已知数列 的前 项和是 ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， ，求使 成立的最小的正整数 的值．
[答案] 39.查看解析
[解析] 39. （1） 当 时， ，由 ， ……………………1分
当 时，
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列． ……………………4分
故 …………………6分
（2）由（1）知 ，
………………8分
，
故使 成立的最小的正整数 的值 . ………………12分
40. (2014重庆五区
高三第一次学生调研抽测，20) 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， ，
求使 恒成立的实数 的取值范围.
[答案] 40.查看解析
[解析] 40.解：（I）由 可得 ，…… …………………………………1分
∵ ， ∴ ，
∴ ，即 ， ……………………………………………3分
∴数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，∴ . ………5分
（Ⅱ） …7分
∴ ………………………8分
由 对任意 恒成立，即实数 恒成立；
设 ， ，
∴当 时，数列 单调递减， 时，数列 单调递增；……………10分
又 ，∴数列 最大项的值为
∴ ……………………………………………………………………12分
41.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，17)已知 为锐角，且 ，函数 ，数列
的首项 ， .
（1）求函数 的表达式；（2）求数列 的前 项和 ．
[答案] 41.查看解析
[解析] 41. （1）由 ， 是锐角，
（2） ，
, （常数）
是首项为 , 公比 的等比数列, ，
∴
42.(2014湖北武汉
高三2月调研测试，18) 已知数列{an}满足a1＞0，an＋1＝2－|an|，n∈N*．
（Ⅰ）若a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；
（Ⅱ）是否存在a1，使数列{an}为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
[答案] 42.查看解析
[解析] 42.解：（Ⅰ）∵a1＞0，∴a2＝2－|a1|＝2－a1，a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|．
当0＜a1≤2时，a3＝2－(2－a1) ＝a1，∴a＝(2－a1) 2，解得a1＝1．
当a1＞2时，a3＝2－(a1－2) ＝4－a1，∴a1(4－a1) ＝(2－a1) 2，解得a1＝2－ （舍去）或a1＝2＋ ．
综上可得a1＝1或a1＝2＋ ．……………………………………………………6分
（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则[来源:Zxxk.Com]
由2a2＝a1＋a3，得2(2－a1) ＝a1＋(2－|2－a1|) ，即|2－a1|＝3a1－2．
当a1＞2时，a1－2＝3a1－2，解得a1＝0，与a1＞2矛盾；
当0＜a1≤2时，2－a1＝3a1－2，解得a1＝1，从而an＝1（n∈N*），此时{an}是一个等差数列；
综上可知，当且仅当a1＝1时，数列{an}为等差数列．………………………12分
43.(2014湖北八市
高三下学期3月联考，18) 己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）设Tn为数列 的前n项和，若Tn≤ ¨对 恒成立，求实数 的最小值．
[答案] 43.查看解析
[解析] 43. （Ⅰ）设公差为d. 由已知得 ……………………………3分
解得 ，所以 ………………………………6分
（Ⅱ） ，
… ……………………………9分
对 恒成立，即 对 恒成立
又
∴ 的最小值为 ……………………………………………………………12分
44. (2014湖南株洲
高三教学质量检测（一），18) 已知数列 前 项和为 ，首项为 ，且 ， ， 成等差数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（II）数列满足 ，求证： ，
[答案] 44.查看解析
[解析] 44. （Ⅰ） 成等差数列, ∴ ，
，
当 时， ,
两式相减得： .
所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列， . （6分）
(Ⅱ) ， （8分）
，
. （12分）
45. (2014重庆七校联盟, 22) 设数列{an} 的前 项和为 ，满足 ，
且 ， ， 成等差数列．
（Ⅰ）求 ， ， 的值；
（Ⅱ）求证：数列 是等比数列
（Ⅲ）证明：对一切正整数 ，有 ．
[答案] 45.查看解析
[解析] 45. 解析 （Ⅰ）因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
解方程组得， ， ， ． （3分）
（Ⅱ）由 ，得 ，
两式相减得 ，
．
，所以 是首项为3，公比为3的等比数列．（7分）
（Ⅲ）由 ，又 ， ，
，即 ．
，
，
所以当 时， ， ， ， ，
两边同时相乘得 ，
所以 ．（12分）
46. (2014天津七校
高三联考, 19) 已知数列 满足 ，其中 为数列 的前 项和．
(Ⅰ) 求 的通项公式；
(Ⅱ) 若数列 满足： ( ) ，求 的前 项和公式 .
[答案] 46.查看解析
[解析] 46. (Ⅰ) ∵ ，①
∴ ②
②－①得， ，又 时， ， ，
. （5分）
(Ⅱ) ∵ ，
，
，
两式相减得 ，
. （13分）
47. (2014天津七校
高三联考, 15) 已知{ }是一个公差大于0的等差数列，且满足
（Ⅰ）求数列{ }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{ }和等比数列{ }满足等式： （ 为正整数）求数列{ }的前 项和 .
[答案] 47.查看解析
[解析] 47. 解析 （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则依题设 ，
由 ，得 ①
由 得 ② （3分）
由①得 将其代入②得 ，
即 ，即 ，又 ，则 代入①得 ，
. （8分）
（Ⅱ）由于数列 ， 是等比数列， ， ，
， ，
故数列 的前 项和为 . （13分）
48. (2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，17) 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
[答案] 48.查看解析
[解析] 48. 解析 （Ⅰ）当 时， ， ， ，
又当 时， ， . (6分）
（Ⅱ） ，
. （12分）
49. (2014江西七校
高三上学期第一次联考, 20) 已知各项均为正数的数列 满足 ，且 ，其中 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 是否存在正整数 、 （ ），使得 成等比数列？若存在，求出所有的 、 的值，若不存在，请说明理由.
[答案] 49.查看解析
[解析] 49.：（Ⅰ）因为 ，即
又 ，所以有 ，即 ，
所以数列 是公比为 的等比数列，
由 得 ，解得 .
从而，数列 的通项公式为 . （6分）
（Ⅱ） = ，若 成等比数列，则 ，
即 .
由 ，可得 ，
所以 ，解得： .
又 ，且 ，所以 ，此时 .
故当且仅当 ， 使得 成等比数列. （13分）
50. (2014广州
高三调研测试, 19) 已知数列{ an}满足 ， ， .
（Ⅰ）求证：数列 为等比数列；
（Ⅱ）是否存在互不相等的正整数 ， ， ，使 ， ， 成等差数列，且 ， ， 成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 ， ， ；如果不存在，请说明理由.
[答案] 50.查看解析
[解析] 50. 解析 （Ⅰ） ， ， ，
又 ，则 ， 数列 数首项为 ，公比为 的等比数列. （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ） 知数列 的通项公式 ， ，
假设存在弧不相等的正整数 、 、 满足条件，则 ，
由 与 ，
，即 ，
， ，
，当且仅当 时取等号. （12分）
这与 ， ， 互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数 ， ， 满足条件. （14分）
51. (2014湖北黄冈
高三期末考试) 等比数列 的前 项和 ，已知 ， ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的公比 和通项 ；
（2）若 是递增数列，令 ，求 .
[答案] 51.查看解析
[解析] 51.（1 ）由已知条件得
或 . (5分)
(2) 若 是递增数列，则 ，
当 时， ；
当 时，
(12分)
52. (2014北京东城
高三12月教学质量调研) 定义：如果数列 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称 为“三角形” 数列. 对于“三角形” 数列 ，如果函数 使得 仍为一个“三角形” 数列，则称 是数列 的“保三角形函数” （ ）.
（Ⅰ）已知 是首项为2，公差为1的等差数列，若 是数列 的“保三角形函数” ，求 的取值范围；
（Ⅱ）已知数列 的首项为2013，Sn是数列 的前n项和，且满足 4，证明 是“三角形” 数列；
（Ⅲ）若 是（Ⅱ）中数列 的“保三角形函数” ，问数列 最多有多少项？
（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）
[答案] 52.查看解析
[解析] 52.解：（Ⅰ）显然 ， 对任意正整数都成立，即 是三角形数列.
因为 ，显然有 < < < ……，
由 < < 得 ，
解得 < k< . 所以当k∈（1， ）时，
是数列 的保三角形函数. （3分）
（Ⅱ）由 ，得 ， ，
两式相减得 ，所以 ，（5分）
经检验，此通项公式满足 ∴ ，
显然 ，
因为cn+1+cn+2=2013（ ）n+2013（ ）n+1= 2013（ ）n-1> cn，
所以{cn}是三角形数列. （8分）
（Ⅲ） ，
所以{g（cn）}单调递减.
由题意知， ①且 ②，
由①得 ，解得n< 27.4，
由②得 ，解得n< 26.4.
即数列{cn}最多有26项. （14分）
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