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理数
1. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆 +y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )
A.5 B. + C.7+ D.6
[答案] 1.D
[解析] 1.设Q( cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),
则|MQ|=
=
=
= ≤5 ,
故|PQ|max=5 + =6 .
2.（2014山东潍坊
高三3月模拟考试数学（理）试题，4）若圆C经过(1，0) ，(3，0) 两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（ ）
(A) (B)
(C) (D)
[答案] 2. D
[解析] 2. 根据圆C与y轴相切可设圆C的方程为 ，又圆C因为过点(1，0) ，(3，0) ，可得圆心在x=2上，得a=2，把点（1,0）代入圆的方程得b= ，所以圆C的方程为 .
3.（2014吉林实验中学
高三年级第一次模拟，9）若抛物线 的焦点是F，准线是 ，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与 相切的圆共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
[答案] 3. C
[解析] 3. 焦点F的坐标为（1,0） ，准线为x=－1，由圆与 相切可设圆的方程为: ，则由题意可得 ①、 ②两式联立得 ，代入到①中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.
4.(2014兰州高三第一次诊断 考试, 8) 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
[答案] 4. C
[解析] 4. 依题意， ，解得 ， ，双曲线方程为 .
5.（2013重庆，10,5分）在平面上, ⊥ , | |=| |=1, = + . 若| |< , 则| |的取值范围是( )
A. B. C. D.
[答案] 5.D
[解析] 5.以A为原点, AB1所在直线为x轴建立直角坐标系, 如图所示.
设B1(a, 0), B2(0, b), O(m, n), 则由已知得P(a, b). 由| |=| |=1, | |< , 得(m-a) 2+n2=1, m2+(n-b) 2=1, (m-a) 2+(n-b) 2< ,
即-2am+a2=1-(m2+n2), -2nb+b2=1-(m2+n2), ①
m2+n2-2am-2bn+a2+b2< , ②
①代入②中, 得m2+n2+1-(m2+n2) +1-(m2+n2) < ,
即有m2+n2> , > . 又| |=| |=1,
相当于以O为圆心, 半径为1的圆与x轴, y轴有交点,
即有|m|≤1, |n|≤1 , 即m2+n2≤2,
≤ , 故有| |= ∈ , 选D.
6.（2013山东，9,5分）过点(3,1) 作圆(x-1) 2+y2=1的两条切线, 切点分别为A, B, 则直线AB的方程为( )
A. 2x+ y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 4x-y-3=0 D. 4x+y-3=0
[答案] 6.A
[解析] 6.如图, 圆心坐标为C(1,0), 易知A(1,1).
又kAB•kPC=-1, 且kPC= = , ∴kAB=-2.
故直线AB的方程为y-1=-2(x-1), 即2x+y-3=0, 故选A.
7. (2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________________.
[答案] 7.x2+(y-1)2=1
[解析] 7.根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
8.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考
数学（理）试题，14）已知 是 上一动点, 线段 是 的一条动直径( 是直径的两端点), 则 的取值范围是__________________．
[答案] 8. [15,35]
[解析] 8. 因为 ，又因为|AB|=2，所以 ①，又因为 ，两边同时平方得 ② ①②两式相加得 ，由①得 ，由圆的性质可得 ，所以 的取值范围是[15,35].
9.(2013年河南十所名校
高三第二次联考，13,5分) 圆 －2x＋my－2＝0关于抛物线 ＝4y的准线对称，则m＝_____________
[答案] 9.2
[解析] 9.抛物线 ＝4y的准线方程为直线 ，由题意，圆心 在直线 上，所以 ，解得 .
10.（2013重庆，14,5分）如图, 在△ABC中, ∠C=90°, ∠A=60°, AB=20, 过C作△ABC的外接圆的切线CD, BD⊥CD, BD与外接圆交于点E, 则DE的长为 .
[答案] 10.5
[解析] 10.设外接圆的圆心为O, 则AB是直径, O为AB的中点. 连结OE, 在Rt△ABC中, ∠ABC=30°, 又由CD与圆相切, 得∠BCD=60°. 又由BD⊥CD, 得∠CBD=30°, 所以∠OBD=60°, 所以△OBE是等边三角形, BE=10. 又可算得BD=15, 则DE=15-10=5.
11. (2014重庆,21,12分)如图,设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2, =2 ,△DF1F2的面积为 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
[答案] 11.查看解析
[解析] 11.(Ⅰ)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由 =2 得|DF1|= = c.
从而 = |DF1||F1F2|= c2= ,故c=1.
从而|DF1|= ,由DF1⊥F1F2
得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,
因此|DF2|= .
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ,
故a= ,b2=a2-c2=1.
因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1.
(Ⅱ)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.
由圆和椭圆的对称性,易知x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.
由(Ⅰ)知F1(-1,0),F2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+ =0.由椭圆方程得1- =(x1+1)2,即3 +4x1=0,解得x1=- 或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=- 时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.
又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|= |P1P2|= |x1|= .
12.(2013山东青岛
高三三月质量检测，22,13分）已知椭圆 : 的焦距为 , 离心率为 , 其右焦点为 , 过点 作直线交椭圆于另一点 .
(Ⅰ) 若 , 求 外接圆的方程;
(Ⅱ) 若过点 的直线与椭圆 相交于两点 、 ，设 为 上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 时，求实数 的取值范围.
[答案] 12.(Ⅰ) 由题意知： ， ，
又 ，解得 .
椭圆 的方程为： .
可得 ， , 设 ，则 ， .
， ，即 .
由 ，或
即 ，或 .
①当 的坐标为 时， ， 外接圆是以 为圆心， 为半径的圆，即 .
②当 的坐标为 时， ， ，所以 为直角三角形，其外接圆是以线段 为直径的圆，圆心坐标为 ，半径为 ，
外接圆的方程为
综上可知, 外接圆方程是 ，或 .
(Ⅱ) 由题意可知直线 的斜率存在.
设 ， ， ， .
由 得 ,
由 得： （ ）
， 即
.
结合（ ）得
，
从而 ，
点 在椭圆上，
，整理得 , 即 .
，或 .
12.
13.（2013重庆，21,12分）如图, 椭圆的中心为原点O, 长轴在x轴上, 离心率e= , 过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A, A 两点, |AA |=4.
(Ⅰ) 求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ) 取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P, 过P, P 作圆心为Q的圆, 使椭圆上的其余点均在圆Q外. 若PQ⊥P Q, 求圆Q的 标准方程.
[答案] 13.(Ⅰ) 由题意知点A(-c, 2) 在椭圆上, 则 + =1, 从而e2+ =1.
由e= 得b2= =8, 从而a2= =16.
故该椭圆的标准方程为 + =1.
(Ⅱ) 由椭圆的对称性, 可设Q(x0, 0). 又设M(x, y) 是椭圆上任意一点, 则
|QM|2=(x-x0) 2+y2=x2-2x0x+ +8 = (x-2x0) 2- +8(x∈[-4,4]).
设P(x1, y1), 由题意, P是椭圆上到Q的距离最小 的点,
因此, 上式当x=x1时取最小值, 又因x1∈(-4,4), 所以上式当x=2x0时取最小值, 从而x1=2x0, 且|QP|2=8- .
因为PQ⊥P Q, 且P (x1, -y1), 所以 • =(x1-x0, y1) •(x1-x 0, -y1) =0,
即(x1-x0) 2- =0. 由椭圆方程及x1= 2x0得 -8 =0,
解得x1=± , x0= =± . 从而|QP|2=8- = .
故这样的圆有两个, 其标准方程分别为
+y2= , +y2= .
13.
14.(2013湖南，21,13分)过抛物线E: x2=2py(p> 0) 的焦点F作斜率分别为k1, k2的两条不同直线l1, l2, 且k1+k2=2, l1与E相交于点A, B, l2与E相交于点C, D, 以AB, CD为直径的圆M, 圆N(M, N为圆心) 的公共弦所在直线记为l.
(Ⅰ) 若k1> 0, k2> 0, 证明: • < 2p2;
(Ⅱ) 若点M到直线l的距离的最小值为 , 求抛物线E的方程.
[答案] 14.(Ⅰ) 由题意, 抛物线E的焦点为F , 直线l1的方程为y=k1x+ .
由 得x2-2pk1x-p2=0.
设A, B两点的坐标分别为(x1, y1), (x2, y2),
则x1, x2是上述方程的两个实数根.
从而x1+x2=2pk1,
y1+y2=k1(x1+x2) +p=2p +p.
所以点M的坐标为 , =(pk1, p ).
同理可得点N的坐标为 , =(pk2, p ),
于是 • =p2(k1k2+ ).
由题设, k1+k2=2, k1> 0, k2> 0, k1≠k2,
所以0< k1k2< =1.
故 • < p2(1+12) =2p2.
(Ⅱ) 由抛物线的定义得|FA|=y1 + , |FB|=y2+ , 所以|AB|=y1+y2+p=2p +2p, 从而圆M的半径r1=p +p.
故圆M的方程为(x-pk1) 2+ =(p +p) 2,
化简得x2+y2-2pk1x-p(2 +1) y- p2=0.
同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2 +1) y- p2=0.
于是圆M, 圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1) x+( - ) y=0.
又k2-k1≠0, k1+k2=2, 则l的方程为x+2y=0.
因为p> 0, 所以点M到直线l的距离
d= =
= .
故当k1=- 时, d取最小值 . 由题设, = , 解得p=8. 故所求的抛物线E的方程为x2=16y.
14.
15.（2013浙江，21,15分）如图, 点P(0, -1) 是椭圆C1: + =1(a> b> 0) 的一个顶点, C1的长轴是圆C2: x2+y2=4的直径. l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A, B两点, l2交椭圆C1于另一点D.
(Ⅰ) 求椭圆C1的方程;
(Ⅱ) 求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
[答案] 15.(Ⅰ) 由题意得
所以椭圆C的方程为 +y2=1.
(Ⅱ) 设A(x1, y1), B(x2, y2), D(x0, y0). 由题意知直线l1的斜率存在, 不妨设其为k, 则直线l1的方程为y=kx-1.
又圆C2: x2+y2=4, 故点O到直线l1的距离d= ,
所以|AB|=2 =2 .
又l2⊥l1, 故直线l2的方程为x+ky+k=0.
由
消去y, 整理得(4+k2) x2+8kx=0,
故x0=- .
所以|PD|= .
设△ABD的面积为S, 则
S= |AB|•|PD|= ,
所以S= ≤ = , 当且仅当k=± 时取等号.
所以所求直线l1的方程为y=± x-1.
15.
16.（2013江苏，17,14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 点A(0,3), 直线l: y=2x-4.
设圆C的半径为1, 圆心在l上.
(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;
(2) 若圆C上存在点M, 使MA=2MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.
[答案] 16.(1) 由题设, 圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点, 解得点C(3,2), 于是切线的斜率必存在. 设过A( 0,3) 的圆C的切线方程为y=kx+3,
由题意, =1, 解得k=0或- ,
故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.
(2) 因为圆心在直线y=2x-4上, 所以圆C的方程为(x-a) 2+[y-2(a-2) ]2=1.
设点M(x, y), 因为MA=2MO,
所以 =2 , 化简得x2+y2+2y-3=0, 即x2+(y+1) 2=4, 所以点M在以D(0, -1) 为圆心, 2为半径的圆上.
由题意, 点M(x, y) 在圆C上, 所以圆C与圆D有公共点, 则|2-1|≤CD≤2+1,
即1≤ ≤3.
由5a2-12a+8≥0, 得a∈R;
由5a2-12a≤0, 得0≤a≤ .
所以点C的横坐标a的取值范围为 .
1 6.
17.(2013课标Ⅰ, 20,12分)已知圆M: (x+1) 2+y2=1, 圆N: (x-1) 2+y2=9, 动圆P与圆M外切并且与圆N内切, 圆心P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ) 求C的方程;
(Ⅱ) l是与圆P, 圆M都相切的一条直线, l与曲线C交于A, B两点, 当圆P的半径最长时, 求|AB|.
[答案] 17.由已知得圆M的圆心为M(-1,0), 半径r1=1; 圆N的圆心为N(1,0), 半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x, y), 半径为R.
(Ⅰ) 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以
|PM|+|PN|=(R+r1) +(r2-R) =r1+r2=4.
由椭圆的定义可知, 曲线C是以M、N为左、右焦点, 长半轴长为2, 短半轴长为 的椭圆(左顶点除外), 其方程为 + =1(x≠-2).
(Ⅱ) 对于曲线C上任意一点P(x, y), 由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0) 时, R=2. 所以当圆P的半径最长时, 其方程为(x-2) 2+y2=4.
若l的倾斜角为90°, 则l与y轴重合, 可得|AB|=2 .
若l的倾斜角不为90°, 由r1≠R知l不平行于x轴, 设l与x轴的交点为Q,
则 = , 可求得Q(-4,0), 所以可设l: y=k (x+4). 由l与圆M相切得 =1, 解得k=± .
当k= 时, 将y= x+ 代入 + =1, 并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2= . 所以|AB|= |x2-x1|= .
当k=- 时, 由图形的对称性可知|AB|= .
综上, |AB|=2 或|AB|= .
17.
本文来源：http://www.doubiweb.com/wmgw/772036.html
