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精品题库试题
理数
1.(2014山东青岛
高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点 发出的光线，沿平行于抛物线 的对称轴方向射向此抛物线上的点 ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点 ，再经抛物线反射后射向直线 上的点 ，经直线反射后又回到点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
[答案] 1. B
[解析] 1.由题意可得抛物线的轴为 轴， ，所以 所在的直线方程为 ，
在抛物线方程 中，令 可得 ，即
从而可得 ， ，
因为经抛物线反射后射向直线 上的点 ，经直线反射后又回到点 ，
所以直线 的方程为 ，
故选B．
2.(2014安徽合肥
高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线 准线上的是（ ）
A. B.
C. D.
[答案] 2. D
[解析] 2. 因为抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 ，所以双曲线的焦点在 轴
上，双曲线 的焦点在 轴且为 满足条件. 故选D.
3. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 10) 在平面直角坐标系 中，抛物线 : 的焦点为 ， 是抛物线 上的点，若 的外接圆与抛物线 的准线相切，且该圆面积 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
[答案] 3.B
[解析] 3.因为 的中垂线 过外接圆圆心，所以此直线与准线 的距离即为外接圆半径，故 = ，故 .
4. (2014北京东城高三第二学期教学检测，7) 已知抛物线 ： 的焦点与双曲线 ： 的右焦点的连线交 于第一象限的点 , 若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] 4.D
[解析] 4. 由已知可得抛物线的焦点 ，双曲线的右焦点为 ，两个点连线的直线方程为 。设该直线与抛物线于 ，则 在 处的切线的斜率为 ，由题意知 ，所以 ，所 以 ，代入直线方程可解得
5.（2014山东潍坊高三3月模拟考试
数学（理）试题，10）如图，已知直线l：y=k(x+1) (k> 0) 与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是( )
(A) (B) (C) (D) 2
[答案] 5. C
[解析] 5. 设点 ，则由抛物线的定义可得 ，整理得 ①.
联立直线与抛物线方程得 ，根据根与系数的关系，可得 ，与①联立得 ， ，所以点 ，其斜率为 .
6.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考
数学（理）试题，10）给定圆 : 及抛物线 ： 过圆心 作直线 , 此直线与上述两曲线的四个交点, 自上而下顺次记为 如果线段 的长按此顺序构成一个等差数列, 则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
[答案] 6. C
[解析] 6. 圆P的圆心P（1,0），抛物线的焦点坐标为（1,0）. 由圆P与抛物线的位置关系可得，点A和点D在抛物线上，点B和点C在圆上，因为直线l过圆心，可得BC=2，又因为 的长按此顺序构成一个等差数列可得 ，设点 ，根据抛物线的定义可知 ，可得 . 显然直线l的斜率存在，设直线方程为 ，联立直线与抛物线方程可得 ，解得 .
7.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，11）中心在原点，焦点在 轴上的双曲线 的离心率为2，直线 与双曲线 交于 两点，线段 中点 在第一象限，并且在抛物线 上，且 到抛物线焦点的距离为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
[答案] 7. C
[解析] 7. 根据题意可设双曲线的方程为 . 根据抛物线的定义可得点M（ ），设点 ，则 、 ，两式相减得 ，因为 ，则得 ，即直线l的斜率为 .
8.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线 的焦点是F，准线是 ，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与 相切的圆共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
[答案] 8. C
[解析] 8. 焦点F的坐标为（1,0），准线为x=－1，由圆与 相切可设圆的方程为: ，则由题意可得 ①、 ②两式联立得 ，代入到①中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.
9. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，8) 设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则 的值为 （ ）
A. B. C. D. 12
[答案] 9. B
[解析] 9. 由 得 .
所以 . 选B.
10.(2014湖北八市高三下学期3月联考，9) 己知抛物线 的焦点F恰好是双曲线 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )
A． +1 B．2 C． D． －1
[答案] 10. A
[解析] 10. 由题意得抛物线上的点 在双曲线上，而 ，所以点 在双曲线上，因此 又因为 ，所以 .
11. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），6) 在同一坐标系中，离心率为 的椭圆与离心率为 的双曲线有相同的焦点 ，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点 的连线互相垂直，则 ( )
(A) 2 （B）3 （C） （D）
[答案] 11. A
[解析] 11. 依题意，设焦距为 ，椭圆长轴长 ，双曲线实轴长 ，令点 在上去先的右支上，
由椭圆的定义知 ，①
由双曲线的定义知 ，②
又 ， ，
由① ② 得 ，
，即 ，故 .
12. (2 014天津七校高三联考, 6) 以抛物线 的焦点为圆心，且与双曲线 的渐近线相切的圆的方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
[答案] 12. D
[解析] 12. 由双曲线方程知 ，实轴长为6，离心率 ，右焦点坐标 ，即圆心的坐
标，渐近线方程为 ，圆心到渐近线 的距离为 ，即圆的半径为4，
故所求的圆的方程为 .
13. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 8) 已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，若线段 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为 （ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] 13. C
[解析] 13.设 ，由于直线过焦点且斜率为 ，则其方程为 ，
联立方程组 ，消去 得 ， ， .
故抛物线的准线方程为 .
14. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 、 两点， 为坐标原点， 的面积为 ，则双曲线 的离心率 （ ）
A.
B.
C.
D.
[答案] 14. C
[解析] 14.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为 ，准线方程为 ，又 ，即 ， ，解得 .
15. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 设F为抛物线 的焦点， 、 、 为该抛物线上三点，若 ，则 的值为（ ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）9
[答案] 15. C
[解析] 15. 由题意可得 ，点 时抛物线的焦点，也是三角形 的重心，故 ，
，再由抛物线的定义可得 .
16. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则 =________.
[答案] 16.1+
[解析] 16.|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,
故C ,F ,
又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,
从而有 即
∴b2=a2+2ab,∴ -2• -1=0,
又 >1,
∴ =1+ .
17. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线 +12y=0的准线方程是___________.
[答案] 17. y=3
[解析] 17. 抛物线的标准方程为： ，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.
18. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，15) 过抛物线 ： 的焦点 作直线 交抛物线 于 、 两点，若 到抛物线的准线的距离为4，则 ________________.
[答案] 18.
[解析] 18. 设 ，由抛物线的性质： ，所以 ，又 ，
所以 ，从而 .
19. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 15) 已知抛物线 到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线 垂直，则实数 _________.
[答案] 19.
[解析] 19.由已知可得 ，从而 . 因为 ，所以 ，从而渐近线的斜率为 ，故 ，得 .
20. (2014兰州高三第一次诊断考试, 15) 如图，过抛物线 的焦点F的直线 依次交抛物线及其准线于点A、B、C，
若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 .
[答案] 20.
[解析] 20. 如图，分别过点 、 作准线的垂线，分别交准线于 、 ，设 ，则由已知得 ，由抛物线的定义知 ，故 ，
在直角三角形 中， ，
， ，即 ，
又 ， ，即 ，
故所 求抛物线方程为 .
21. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|= |PQ|.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
[答案] 21.查看解析
[解析] 21.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0= .
所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + .
由题设得 + = × ,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.(5分)
(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1).
又l的斜率为-m,所以l的方程为x=- y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+ y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E ,|MN|= |y3-y4|= .(10分)
由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|,从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,
即4(m2+1)2+ + = .
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)
22. (2014陕 西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1: + =1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为 .
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
[答案] 22.查看解析
[解析] 22.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.
设C1的半焦距为c,由 = 及a2-c2=b2=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为 +x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得xP= ,从而yP= ,
∴点P的坐标为 .
同理,由 得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴ = (k,-4), =-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,∴ • =0,即 [k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=- .
经检验,k=- 符合题意,
故直线l的方程为y=- (x-1).
解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.
23.(2014安徽,19,1 3分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.
(Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2;
(Ⅱ)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2,求 的值.
[答案] 23.查看解析
[解析] 23.(Ⅰ)证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),则
由 得A1 ,
由 得A2 .
同理可得B1 ,B2 .
所以 = =2p1 ,
= =2p2 ,
故 = ,所以A1B1∥A2B2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2.
所以△A1B1C1∽△A2B2C2.
因此 = .
又由(Ⅰ)中的 = 知 = .
故 = .
24.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,
(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;
(ii)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.
[答案] 24.查看解析
[解析] 24.(Ⅰ)由题意知F .
设D(t,0)(t>0),则FD的中点为 .
因为|FA|=|FD|,
由抛物线的定义知3+ = ,
解得t=3+p或t=-3(舍去).
由 =3,解得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知F(1,0),
设A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0),
因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,
由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).
故直线AB的斜率kAB=- .
因为直线l1和直线AB平行,
设直线l1的方程为y=- x+b,
代入抛物线方程得y2+ y- =0,
由题意Δ= + =0,得b=- .
设E(xE,yE),则yE=- ,xE= ,
当 ≠4时,kAE= =- = ,
可得直线AE的方程为y-y0= (x-x0),
由 =4x0,
整理可得y= (x-1),
直线AE恒过点F(1,0).
当 =4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),
所以直线AE过定点F(1,0).
(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),
所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+ =x0+ +2.
设直线AE的方程为x=my+1,
因为点A(x0,y0)在直线AE上,
故m= ,
设B(x1,y1),
直线AB的方程为y-y0=- (x-x0),
由于y0≠0,
可得x=- y+2+x0,
代入抛物线方程得y2+ y-8-4x0=0.
所以y0+y1=- ,
可求得y1=-y0- ,x1= +x0+4,
所以点B到直线AE的距离为
d=
=
=4 .
则△ABE的面积S= ×4 ≥16,
当且仅当 =x0,即x0=1时等号成立.
所以△ABE的面积的最小值为16.
25. (201 4山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20) 抛物线C1： 的焦点与椭圆C2： 的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且 的面积为 .
(1) 求椭圆C2的标准方程；
（2）过A点作直线 交C1于C, D两点，连接OC, OD分别交C2于E, F两点，记 ， 的面积分别为 , . 问是否存在上述直线 使得 ，若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由.
[答案] 25.查看解析
[解析] 25. （1）∵ ∴焦点 ∴ 即 ……………1分
又∵ ∴ ……………2分
代入抛物线方程得 . 又B点在椭圆上得 ，
∴椭圆C2的标准方程为 . ……………4分
（2）设直线 的方程为 ，由 得
设 ，所以 ……………6分
又因为
直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
由 得 ，同理
所以
则 ， ……………10分
所以 ，
所以 ，故不存在直线 使得 ……………12分
26. (2014福州高中毕业班质量检测, 19) 已知动圆 过定点 , 且与直线 相切.
（Ⅰ）求动圆圆心 的轨迹方程；
（Ⅱ）设 、 是轨迹 上异于原点 的两个不同点, 直线 和 的倾斜角分别为 和 ,
①当 = 时, 求证直线 恒过一定点 ；
②若 为定值 , 直线 是否仍恒过一定点, 若存在, 试求出定点的坐标；若不存在, 请说明理由.
[答案] 26.查看解析
[解析] 26.(Ⅰ) 设动圆圆心 , 依题意点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为 . （3分）
(Ⅱ) 设 ， . 由题意得 (否则 ) 且 ,
则 ，所以直线 的斜率存在, 设直线 的方程为 ,
则将 与 联立消去 , 得 ，
由韦达定理得 -------※（6分）
①当 = 时, 所以 ,
所以 , 又由※知: ，所以 ；因此直线 的方程可表示为 , 所以直线 恒过定点(－4,0).
②当 为定值 时. 若 = , 由①知,
直线 恒过定点 ，（9分）
当 时, 由 , 得 = =
将※式代入上式整理化简可得: , 所以 ,
此时，直线 的方程可表示为y=kx+ ,
所以直线 恒过定点 ，
所以当 时, 直线 恒过定点(－4,0).,
当 时直线 恒过定点 . （13分）
27. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），20) 已知动圆 过定点 ，且在 轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线 .
（Ⅰ）求曲线 方程；
（Ⅱ）点 为直线 ： 上任意一点，过 作曲线 的切线，切点分别为 、 ， 面积的最小值及此时点 的坐标.
[答案] 27.查看解析
[解析] 27.（Ⅰ）设动圆圆心坐标为 ，根据题意得：
，化简得 . （4分）
（Ⅱ）解法一：设直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，
设 ，则 ，且 ，（6分）
以点 为切点的切线的斜率为 ，
其切线方程为 ，即 ，
同理过点 的切线的方程为 ，
设两条切线的交点为 在直线 上，
，解得 ，即 ，
则 ，即 ，（8分）
代入 ，
，
到直线 的距离为 ，
，
，
当 时， 最小，其最小值为 ，此时点 的坐标为 . （12分）
解法二：设 在直线 上，点 在抛物线 上，
则以点 为切点的切线的斜率为 ，
其切线方程为 ，即 ，
同理以点 为切点的方程为 ，（6分）
设两条切线的均过点 ，则 ，
点 、 的坐标均满足方程 ，
即直线 的方程为： ，（8分）
代入抛物线方程 消去 可得： ，
直线 的距离为 ，
，
当 时， 最小，其最小值为 ，此时点 的坐标为 . （12分）
28.（2014湖北八校高三第二次联考
数学（理）试题，21）如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点 , C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线 与抛物线C2分别相交于A、B两点.
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；
（Ⅲ）若坐标原点 关于直线 的对称点 在抛物线C2上，直线 与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
[答案] 28.查看解析
[解析] 28. (1) 设抛物线的标准方程为
由 得 ,
; …………………3分
(2) 可设 , 联立 得 ,
设
, 即以 为直径的圆过原点; ………………8分
(3) 设 , 则
得
………………10分
设椭圆 ，与直线 联立可得：
∴长轴长最小值为 ………………13分
29. (2014吉林
高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线 : 的准线为 ，焦点为 ， 的圆心在 轴的正半轴上，且与 轴相切，过原点作倾斜角为 的直线 ，交 于点 ，交 于另一点 ，且
（Ⅰ） 求 和抛物线 的方程;
（Ⅱ） 过 上的动点 作 的切线，切点为 、 ，求当坐标原点 到直线 的距离取得最大值时，四边形 的面积.
[答案] 29.查看解析
[解析] 29. （Ⅰ）准线 交 轴于 ，在 中 ，
所以 , 所以 ，抛物线方程是 ， (3分)
在 中有 , 所以 ，
所以⊙ 方程是： . (6分)
（Ⅱ）解法一：设 ，
所以切线 ；切线 ， (8分)
因为 和 交于 点，所以 和 成立 ，
所以ST方程： ， (10分)
所以原点到 距离 ，当 ，即 在y轴上时 有最大值，
此时直线ST方程是 ，
所以 ，
所以此时四边形 的面积 . (12分)
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