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精品题库试题
理数
1. (2014天津,6,5分)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.则所有正确结论的序号是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
[答案] 1.D
[解析] 1.①∠FBD=∠BAD,∠DBC=∠DAC,故∠FBD=∠CBD,即①正确.由切割线定理知②正确.③△BED∽△AEC,故 = ,当DE≠CE时,③不成立.④△ABF∽△BDF,故 = ,即AB•BF=AF•BD,④正确.故①②④正确,选D.
2. (2014重庆,14,5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=________.
[答案] 2.4
[解析] 2.设PB=x,由切割线定理得x(x+9)=62,解得x=3或x=-12(舍去).又易知△PAB∽△ PCA,于是 = = = ⇒AB=4.
3. (2014广东,15,5分) (几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则 =________.
[答案] 3.9
[解析] 3.依题意得△CDF∽△AEF,由EB=2AE可知AE∶CD=1∶3.故 =9.
4. (2014湖北,15,5分) (选修4—1:几何证明选讲)
如图,P为☉O外一 点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=________.
[答案] 4.4
[解析] 4.由切割线定理得QA2=QC•QD=1×(1+3)=4,∴QA=2,∵Q为PA的中点,∴PA=2QA=4.故PB=PA=4.
5. (2014湖南,12,5分)如图,已知AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,AB= ,BC=2 ,则☉O的半径等于________.
[答案] 5.
[解析] 5.设AO与BC交于点M,∵AO⊥BC,BC=2 . ,∴BM= ,又AB= ,∴AM=1.设圆的半径为r,则r2=( )2+(r-1)2,解得r= .
6.(2014课标全国卷Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是________.
[答案] 6.[-1,1]
[解析] 6.解法一:当x0=0时,M(0,1),由圆的几何性质得在圆上存在点N(-1,0)或N(1,0),使∠OMN=45°.当x0≠0时,过M作圆的两条切线,切点为A、B.
若在圆上存在N,使得∠OMN=45°,
应有∠OMB≥∠OMN=45°,∴∠AMB≥90°,∴-1≤x0<0或0<x0≤1.综上,-1≤x0≤1.
解法二:过O作OP⊥MN,P为垂足,OP=OM•sin 45°≤1,
∴OM≤ ,∴OM2≤2,∴ +1≤2,∴ ≤1,∴-1≤x0≤1.
7.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，14）（原创）如图，在 中， ， ， ， 是 的中点， 于 ， 的延长线交 的外接圆于 ，则 的长为 。
[答案] 7.
[解析] 7. 在Rt△ABC中， , 解得 ; 同理可得 , 由射影定理可得 ，得 . 根据割线定理可得 , 得 , 所以 .
8. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，14) 如图, 切圆 于点 , 交圆 于 、 两点，且与直径 交于点 ， ，则 .
[答案] 8. 15
[解析] 8. 根据相交弦定理可得 ，结合条件可得DT=9. 根据切割线定理可得 ①. 在Rt△DTP中， ②. ①②联立得PB=15.
9. (2014天津蓟县邦均中学高三第一次模拟考试，14) 如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB=OB=2, PC切圆O于C点，CD AB于D点，则CD= .
[答案] 9.
[解析] 9. 根据切割线定理可得 , 得 . 连接OC, 在Rt△OCP中, 根据射影定理可得PC2= , 得PD=3, 又因为CD2= , 所以CD的长为 .
10. (2014重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考，14) 如图， 、 为⊙O的两条割线，若 ， ， ， ，则 等于____________.
[答案] 10.6
[解析] 10.由割线定理得 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
由 ～ ，所以 ，所以 ，解得 .
11. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，15) （选修4-1：几何证明选讲）已知点 在圆 的直径 的演唱线上，直线 与圆 相切于 ， 的平分线分别交 、 于 、 两点，若 ，则 .
[答案] 11.
[解析] 11. 因为 为圆的切线，由弦切角定理，则 ，
又因为 平分 ，则 ，
所以 ，
根据三角形外角定理， ，
因为 是圆 的直径，则 ，所以 是等腰直角三角形，
所以 .
12. （2014广东汕头普通高考模拟
考试试题，15）如图， , , 分别与圆 切于点 , 延长 与圆 交于另一点 ，给 出下列三个结论：① , ② ，③ ～ , 其中正确结论的序号是___________.
[答案] 12.①②
[解析] 12. 如图， , ，所以③错，所以正确的序号为①②.
范围 .
13. ( 2014广东广州
高三调研测试，14) （几何证明选讲选做题）
如图4， 为⊙ 的直径， ，弦 交 于点 . 若 ， ，则 的长为_______.
[答案] 13.1
[解析] 13. 由已知可得 ， ， ，由相交弦定理得： ，所以
14. (2014北京东城
高三第二学期教学检测，10) 如图， 与圆 相切于 ，不过圆心 的割线 与直径 相交于 点. 已知∠ = ， ， , 则圆 的半径等于_______.
[答案] 14.7
[解析] 14.由题意可得： , 又因为 ， ，所以 ， . 从而 。由切割线定理 可得 ，所以 . 再由相交弦定理 ，所以 . 故直径 ，从而半径为7.
15. (2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，16) 如图， 切⊙O于点 ，割线 经过圆心 ，弦 于点 ， ，则 _________.
[答案] 15.
[解析] 15. 依题意，由切割线定理 ，所以 ，即 ，所以圆的半径 ，由 为切线，所以 ，所以 ，又弦 于点 ，所以 .
16.（2014湖北八校高三第二次联考
数学（理）试题，15）（选修4-1：几何证明选讲）
如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点A 作圆的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，AE = ， BD = 4，则线段CF的长为______．
[答案] 16.
[解析] 16. 根据切割线定理可得 ，代入数据得EB=5. 因为AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因为EA是切线，根据同弧对应的圆周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠E AB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因为BE//AC，所以四边形ACBE为平行四边形，所以AC=EB=5，BC=EA= . 因为AC//BD，所以可得弧AB与弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得 ，代入数据得 .
17. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，14) 如图， 是半圆 的直径， 在 的延长线上， 与半圆相切于点 ， ，若 ， ，则 .
[答案] 17.
[解析] 17. 延长 ，又 ，所以 .
18.(2014湖北武汉高三2月调研测试，15) （选修4-1：几何证明选讲）
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F．若AB＝4，BP＝3，则PF＝ ．
[答案] 18.
[解析] 18. 连接 由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件
可得 , 又 .
从而 ，故 ∽ ， , 由割线定理知 ， 故 ，所以答案为 .
19.(2014湖北八市高三下学期3月联考，15) （选修4-1：几何证明选讲）
如图，如图，A，B是圆O上的两点，且OA⊥OB，OA=2，C为OA的中点，连接BC并延长交圆O于点D，则CD= .
[答案] 19.
[解析] 19. 由相交弦定理得： , 其中 为直线 与圆另一交点, 因为 , 所以
20. (2014重庆七校联盟, 14) 如图，半径为 的圆 中，， 为 的中点， 的延长线交圆 于点 ，则线段 的长为 ．
[答案] 20.
[解析] 20. ，由勾股定理求得 ，由相交弦定理， ，
，即 .
21. (2014陕西宝鸡高三质量检测(一), 15B) (几何证明选做题) 如图，割线 经过圆心 ， ， 绕点 逆时针旋 转到 ，连 交圆 于点 ，则 ____________.
[答案] 21.
[解析] 21. 由余弦定理， ，
，根据割线定理， 得 .
22.(2014广州高三调研测试, 14) （几何证明选讲选做题）如图4， 为⊙ 的 直径， ，弦 交 于点 ．若 ， ，则 的长为 ．
[答案] 22. 1
[解析] 22. 依题意，在 中，由勾股定理得 ，又 ，由相交线定理 ，得 .
23. (2014湖北黄冈高三期末考试) 如图，在半径为 的圆 中，弦 、 相交于 ， ， ，则圆心 到弦 的距离为 .
[答案] 23.
[解析] 23.由相交弦定理得 ， ， ， ， 圆心 到弦 的距离为 .
24.(2014江苏,21(A),10分)[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上位于AB异侧的两点.
证明:∠OCB=∠D.
[答案] 24.查看解析
[解析] 24.因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC.
故∠OCB=∠B.
又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,
故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,
所以∠B=∠D.
因此∠OCB=∠D.
25.(2014辽宁,22,10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连结DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;
(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.
[答案] 25.查看解析
[解析] 25.(Ⅰ)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,
故∠DBA=∠EGA,
所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.
由于AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°.故AB是直径.
(Ⅱ)连结BC,DC.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,
从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.
由于AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角.
于是ED为直径.由(Ⅰ)得ED=AB.
26.(2014课标全国卷Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.
证明:(Ⅰ)BE=EC;
(Ⅱ)AD•DE=2PB2.
[答案] 26.查看解析
[解析] 26.(Ⅰ)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而 = .
因此BE=EC.
(Ⅱ)由切割线定理得PA2=PB•PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB,
由相交弦定理得AD•DE=BD•DC,
所以AD•DE=2PB2.
27.(2014课表全国Ⅰ，22，10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.
(Ⅰ)证明:∠D=∠E;
(Ⅱ)设AD 不是☉O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三 角形.
[答案] 27.查看解析
[解析] 27.(Ⅰ)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.
由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
(Ⅱ)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.
又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,
即MN⊥AD.
所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.
又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(Ⅰ)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角 形.
28. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，22) 选修4-1：几何证明选讲
如图，过圆 外一点 作一条直线与圆 交于 两点，且 ，作直线 与圆 相切于点 ，连结 交 于点 ，已知圆 的半径为2，
（1）求 的长；
（2）求证： .
[答案] 28.查看解析
[解析] 28.（1）延长 交圆 于点 ，连结 ，
则 ，
又 ，所以 ，
又 可知 ，所以
根据切割线定理得 ，即 .
⑾证明：过 作 于 ，则 ，
从而有 ，又由题意知
所以 ，因此 ，即
29. (2014山西太原高 三模拟考试（一），22) 选修4一1：几何证明选讲
如图，已知PA与⊙O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E.
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求 的值.
[答案] 29.查看解析
[解析] 29.
30. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），22) 选修4—1：几何证明选讲：如图，已知 为圆 的一条直径，以端点 为圆心的圆交直线 于 、 两点，交圆 于 、 两点，过点 作垂直于 的直线，交直线 于 点.
（Ⅰ）求证： 、 、 、 四点共圆；
（Ⅱ）若 ， , 求 外接圆的半径.
[答案] 30.查看解析
[解析] 30.（Ⅰ）因为 为圆 一条直径，所以 ，又 ，
故 、 、 、 四点 在以 为直径的圆上，
所以， 、 、 、 四点共圆. （4分）
（Ⅱ）因为 与圆 相切于点 ，由切割线定理得[来源:学科网ZXXK]
, 即 ， ，
所以
又 ,
则 , 得 ，
连接 , 由（1）可知 为 的外接圆直径，
, 故 的外接圆半径为 . （10分）
31. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，22) 选修4―1: 几何证明选讲
如图， 是圆 的切线， 是切点， 于 ，过点 的割线交圆 于 、 两点.
（Ⅰ）证明： ， ， ， 四点共圆；
（Ⅱ）设 ， ，求 的大小.
[答案] 31.查看解析
[解析] 31.（Ⅰ）连结 ，则 . 由射影定理得 ，
由切割线定理得 ，故 ，即 ，
又 ，所以 ～ ，所以 .
因此 ， ， ， 四点共圆. （6分）
（Ⅱ）连结 . 因为 ，结合（Ⅰ）得
. （10分）
32. (2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 22) 【选修4－1：几何证明选讲】
如图， 是圆 的直径，弦 、 的延长线 相交于点 ， 垂直 的延长线于点 .
（Ⅰ）求证： ；
(Ⅱ) 求证： .
[答案] 32.查看解析
[解析] 32.（Ⅰ）连结 ，因为 为圆的直径，
所以 ，又 ，
则 四点共圆，
所以 . (5分)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，连结 ，[来源:学,科,网]
又 ∽ ，所以
即 ，
所以 . （10分）
33. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，22) 选修4-1：几何证明选讲
如图， 是的⊙ 直径， 与⊙ 相切于 ， 为线段 上一点，连接 、
分别交⊙ 于 、 两点，连接 交 于点 .
（Ⅰ）求证： 、 、 、 四点共圆.
（Ⅱ）若 为 的三等分点且靠近 ， ， ，求线段 的长.
[答案] 33.查看解析
[解析] 33.（Ⅰ）连结 ，则 ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 四点共圆. （5分）
（Ⅱ）因为 ，则 ，
又 为 的三等分点， ， ，
又因为 ，所以 ， . （10分）
34.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，22）选修4—1几何证明选讲: 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。
（I）求证：DE是⊙O的切线；
（II）若 的值.
[答案] 34.查看解析
[解析] 34.22．（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分
∴OD//AE 又AE⊥DE …………………………………3分
∴OE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线 ………………………5分
（II）解：过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
…………6分
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分
又由△AEF∽△DOF 可得
……………………………………………………10分
35.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）
数学（理）试题, 22) 选修4-1: 几何证明选讲．
如图，AB是 的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是 的割线, AC =AB，CE交 于点G．
(I) 证明： ；[来源:学科网]
(Ⅱ) 证明：FG//AC.
[答案] 35.查看解析
[解析] 35.
36.(2014吉林省长春市高中毕业班第二次调研测试，22) 选修4—1：几何证明选讲．
如图， 是圆 的直径， 是 延长线上的一点， 是圆
的割线，过点 作 的垂线，交直线 于点 ，交直线
于点 ，过点 作圆 的切线，切点为 .
（1）求证： 四点共圆；（2）若 , 求 的长.
[答案] 36.查看解析
[解析] 36. （1）证明：连结 ，∵ 是圆 的直径，
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴ ，
在 和 中，
又∵ ∴ [来源:学科网]
∴ 四点共圆。
（2）∵ 四点共圆，∴
∵ 是圆 的切线，∴ ∴
又因为 ∴
∴ .
37.(2014江苏苏北四市
高三期末统考, 21A) 如图，点 为锐角 的内切圆圆心，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，圆 与
边 相切于点 . 若 ，求 的度数.
[答案] 37.查看解析
[解析] 37.由圆 与边 相切于点 ，得 ，因为 ，得 ，
所以 四点共圆, 所以 . （5分）
又 ，
所以 ，由 ，得 . （10分）
38. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 22) 选修4-1: 几何证明选讲
如图， ， ， ， 四点在同一圆上， 与 的延长线交于点 ，点 在 的延长线上.
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 ，证明： ∥ .
[答案] 38.查看解析
[解析] 38. 解析 （Ⅰ） 四点共圆， ，又 为公共角，
∴ ∽ ∴
∴ .
∴ （6分）
（Ⅱ） ， ，
又 ， ∽ ，
，
又 四点共圆， ， ，
. （10分）
39 .(2014河北衡水中学
高三上学期第五次调研考试, 22) 已知 为半圆 的直径， ， 为半圆上一点，过点 作半圆的切线 ，过点 作
于 ，交圆于点 ， ．
（Ⅰ）求证： 平分 ；
（Ⅱ）求 的长．
[答案] 39.查看解析
[解析] 39.（Ⅰ）连结 ，因为 ，所以 ，
因为 为半圆的切线，所以 ，又因为 ，所以 ∥ ，
所以 ， ，所以 平分 ．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
连结 ，因为 四点共圆， ，所以 ，
所以 ，所以 ．（10分）
40. (2014兰州
高三第一次诊断考试, 22) 选修4—1：几何证明选讲
如图， 是直角三角形， ，以 为直径的圆 交 于点 ，点 是 边的中点，连接 交圆 于点 .
（Ⅰ）求证： 、 、 、 四点共圆；
（Ⅱ ）求证：
[答案] 40.查看解析
[解析] 40.：（Ⅰ）连接 、 ，则
又 是BC的中点，所以
又 ，
所以 .
所以
所以 、 、 、 四点共圆. （5分）
（Ⅱ ）延长 交圆 于点
因为 .
所以
所以 . （5分）
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