分类计数原理与分步计数原理（第一次作业）

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分类计数原理与分步计数原理（第一次作业） 姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________ 　　作业导航 　　掌握分类计数原理．分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有n类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类：其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，只有满足这些条件，才能用分类计数原理． 　　一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 　　1．在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有________个(　) 　　A．34 B．35 　　C．36 D．37 　　2．题目“从1、2、4、9四个数字中，每次取出两个数字作减法，共可以得到多少种不相等的差？”中的问题按减数与被减数的大小关系可分为a类，各类方法之和为b，则ab为(　) 　　A．24 B．12 　　C．20 D．28 　　3．题目“4本不同的书，可供某同学借阅，如果他至少借一本，那么共有多少种借法？”中的问题按借书本数的多少可分成a类，在这a类办法种有2类的方法种数相同，都是b种，则 的值为(　) 　　A． B． 　　C．1 D．3 　　4．从0、1、2、3这4个数字中任取两个数字作除法，可得到不同的正弦值的个数是(　) 　　A．4 B．5 　　C．6 D．7 　　5．若x、y∈N*，且x＋y≤6，则点（x，y）的个数为(　) 　　A．14 B．15 　　C．16 D．17 　　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 　　1．加工一种机器零件可以用3种方法完成，有7人会用第一种方法完成，有3人会用第二种方法完成，有8人会用第三种方法完成，从中选出一人来加工这种机器零件，不同的选法有________种． 　　2．用2、3、5、7构造真分数，按分子的大小分类可分为________类，共可构造________个真分数． 　　3．从1、2、3三数中取数作和，可把问题分成两类，第一类有________个不同的和，第二类有________个不同的和． 　　4．以O为坐标系原点，点A的纵坐标为1或-1，则|OA|＜5的整数点共有________个． 　　5．在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形可分为________类，这样的三角形共有________个． 　　三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 　　1．某年级有三个班，一班有男同学30人，女同学20人；二班有男同学30人，女同学30人；三班有男同学35人，女同学20人． 　　（1）若从一班、或二班、或三班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？ 　　（2）若从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生担任学生会劳动部长，有多少种不同的选法？ 　　2．题目“平面内有10个点，其中有4个点在一条直线上，此外没有3点在一条直线上，问可以确定多少条直线？”中的问题按确定的直线与题中共线的4个点的关系，可以分成几类？并把它们写出来． 　　3．求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数． 　　4．从自然数1到100中，每次取出2个数，使其和大于100，求不同的取法总数． 　　5．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，求四张贺年卡有多少不同的分配方式． 参考答案 　　一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 　　1．C　2．A　3．C　4．A　5．B 　　二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 　　1．18　2．3　6　3．3　1　4．18　5．2　40 　　三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 　　1．解：（1）50＋60＋55＝165，有165种不同的选法． 　　（2）30＋30＋20＝80，有80种不同的选法． 　　2．解：共可以分成3类． 　　第一类是：所确定的直线上没有共线的4个点中的任何点； 　　第二类是：所确定的直线上有共线的4个点中的1个点； 　　第三类是：所确定的直线上有共线的4个点中的2个点． 　　3．解：三角形的另两边分别用x、y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12． 　　当y取值11时，x＝1、2、3、4、…、11，可有11个三角形； 　　当y取值10时，x＝1、2、3、4、…、10，可有9个三角形； 　　…… 　　当y取值6时，x也只能取6，只有1个三角形． 　　所以，所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36（个） 　　4．解：（1）从1算起，有1＋100＞100，只有1组； 　　（2）从2算起，有2＋100＞100，2＋99＞100，共有2组； 　　（3）从3算起，有3＋100＞100，3＋99＞100，3＋98＞100，共有3组； 　　（4）从4算起，有4＋100＞100，…，4＋97＞100，共有4组； 　　…… 　　（50）从50算起，有50＋100＞100，…，50＋51＞100，共有50组； 　　（51）从51算起，有51＋100＞100，…，51＋52＞100，共有49组； 　　…… 　　（99）从99算起，有99＋100＞100，只有1组． 　　所以，不同的取法总数为2（1＋2＋…＋49）＋50＝2500种． 　　5．解：用A、B、C、D代表同室的四个人，a、b、c、d分别代表A、B、C、D写的贺年卡，用A→b表示A收到b，则 　　（1）A收到b时，有B→a，C→d，D→c；B→c，C→d，D→a；B→d，C→a，D→c共三种分配方式； 　　（2）A收到c时，有B→a，C→d，D→b；B→d，C→b，D→a；B→d，C→a，D→b共三种分配方式； 　　（3）A收到d时，有B→a，C→b，D→c；B→c，C→b，D→a；B→c，C→a，D→b共三种分配方式； 　　所以，由分类计数原理得，共有3＋3＋3＝9种不同的分配方式．

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