函数的最值课后强化练习（附解析新人教A版必修1）

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函数的最值课后强化练习2（附解析新人教A版必修1）
 
一、选择题
1．设函数f(x)的定义域为R，以下三种说法：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是f(x)的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0有f(x)≤f(x0)，则f(x0)是f(x)的最大值．其中正确的个数为(　　)
A．0  B．1
C．2  D．3
[答案]　C
2．函数f(x)＝2x＋6，x∈1，2]，x＋7，x∈[－1，1]，则f(x)的最大值、最小值是(　　)
A．10,6  B．10,8
C．8,6  D．以上都不对
[答案]　A
[解析]　f(x)＝2x＋6，x∈[1,2]最大值为10，最小值为8，f(x)＝x＋7，x∈[－1,1)最大值为8，最小值6.因此f(x)＝2x＋61≤x≤2x＋7－1≤x＜1最大值为10，最小值为6，故选A.
3．(2013～2014石家庄高一检测)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)
A．2  B．－2
C．2或－2  D．0
[答案]　C
[解析]　当a＝0时，不满足题意；当a>0时，y＝ax＋1在[1,2]上为增函数，∴2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在[1,2]上为减函数，∴a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，故a＝±2.
4．函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1,4]，则f(x)的最大值为(　　)
A．－1  B．0
C．3  D．－2
[答案]　C
[解析]　f(x)＝x2－4x＋3的对称轴为x＝2，所以最大值为f(4)＝42－4×4＋3＝3.
5．函数f(x)＝2x－1＋x的值域是(　　)
A．[12，＋∞)  B．(－∞，12]
C．(0，＋∞)  D．[1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　∵y＝2x－1和y＝x在[12，＋∞)上都是增函数，∴f(x)在[12，＋∞)上是单调增函数．
∴f(x)≥f(x)min＝f(12)＝12.
6．若0<t≤14，则1t－t的最小值是(　　)
A．－2  B．154
C．2  D．0
[答案]　B
[解析]　y＝1t－t在(0，14]上为减函数，当t＝14时y有最小值154，故选B.
二、填空题
7．若函数y＝kx(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．
[答案]　20
[解析]　∵k＞0，∴函数y＝kx在[2,4]上是减函数，∴当x＝4时，ymin＝k4，此时k4，此时k4＝5，∴k＝20.
8．函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝________.
[答案]　±2
[解析]　f(x)是二次函数，二次项系数1＞0，
则最小值为f(－b2)＝b24－b22＋1＝0，
解得b＝±2.
9．(能力拔高题)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2，总有fx1－fx2x1－x2＞0成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．
[答案]　b
[解析]　由fx1－fx2x1－x2＞0，得f(x)在R上是增函数，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是f(－1)＝b.

三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
∵x∈[－5,5]，∴f(x)min＝f(1)＝1；
f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)∵f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
∴函数的对称轴为直线x＝－a.
∵函数f(x)在[－5,5]上是单调的，
∴－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
∴实数a的取值范围是{a|a≥5或a≤－5}．
11．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x(x∈[2，＋∞))．
(1)证明函数f(x)为增函数；
(2)求f(x)的最小值．
[解析]　将函数式化为：f(x)＝x＋3x＋2.
(1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－3x1x2)．
∵x1＜x2，　∴x1－x2＜0，
又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－3x1x2＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
(2)当x＝2时，f(x)有最小值112.
12．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式．
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本价)?
[分析]　本题属于函数建模应用题，解决此类问题的关键在于读懂题，恰当设出未知量，列出函数关系．
[解析]　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
x0＝100＋60－510.02＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格为51元．
(2)当0<x≤100时，P＝60.
当100<x<550时，
P＝60－0.02(x－100)＝62－x50.
当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝60，0<x≤10062－x50，100<x<550，x∈N51，x≥550..
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
L＝(P－40)x＝20x，0<x≤10022x－x250，100<x<550，x∈N11x，x≥550.
当x＝500时，L＝6 000；
当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个，利润是11 000元．

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