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第二章平面向量单元检测（带解析新人教A版必修4）
一、选择题
1．如图所示， ABCD中， － ＋ 等于( )．
A． B．
C． D．
2．在矩形ABCD中，| |＝ ，| |＝1，则向量( ＋ ＋ )的长等于( )．
A．2 B．2
C．3 D．4
3．如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则 － 等于( )．
A． B．
C． D．
4．下列说法中正确的是( )．
A．向量a与非零向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与c共线
B．任意两个模长相等的平行向量一定相等
C．向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角
D．共线的两个非零向量不平行
5．下面有四个命题，其中真命题的个数为( )．
①向量的模是一个正实数．
②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．
③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．
④模相等的平行向量一定相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法中，错误的是( )．
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
7．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是( )．
A． ＝
B． ＝
C． ＝－
D． ＋ ＝
8．下列向量组中能构成基底的是( )．
A．e1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，-3)，e2＝( ，- )
9．已知a＝(-1，3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于( )．
A．3 B．－2 C． D．－
10．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①(a•b)•c－(c•a)•b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b•c)•a－(c•a)•b不与c垂直；④(3a＋2b)•(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是( )．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
二、填空题：
11．若非零向量 ，满足|＋|＝|－|，则 与 所成角的大小为 ．
12．在 ABCD中， ＝a， ＝b， ＝3 ，M为BC的中点，则 ＝_______．(用a，b表示)
13．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a•b＝ ．
14．设m，n是两个单位向量，向量a＝m －2n，且a＝(2，1)，则m，n的夹角为 ．
15 ．已知 ＝(6，1)． ＝(x，y)． ＝(-2，-3)．则向量 的坐标为______．
三、解答题：
16．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知 ＝a， ＝b，试用a，b表示 和 ．
17．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证△ABC是直角三角形．
18．己知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
19．已知|m|＝4，|n|＝3，m与n的夹角为60°，a＝4m－n，b＝m＋2n，
c＝2m－3n．求：
(1)a2＋b2＋c2．
(2)a•b＋2b•c－3c•a．
第二章 平面向量
参考答案
一、选择题
1．答案：C
解析：从图上可看出 ＝ ，则 － ＝ － ＝ ，而 ＋ ＝ － ＝ ．
2．D
解析：如图
∵ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
＝ ＋
＝2 ．
3．D
解析：向量可以自由平移是本题的解题关键，平移
的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．
∴ － ＝ － ＝ ＝ ．
4．A
解析：向量共线即方向相同或 相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．
模长相等的平行向量可能方向相反，故B不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故C不对．而选项D中向量共线属于向量平行．
5．B
解析：正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．
①向量的模应是非负实数．
②是对的
③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等．
④模相等且方向相同的向量才相等．
6．A
解析：零向量是规定了模长为0的向量，其方向是任 意的，它和任一向量共线，因此， 绝不是没有方向.
7．B
解析：如图，G是重心， ＝ ，所以B错．
＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ，所以不能选D．
8．B
解析：利用e1∥e2 x1y2－x2y1＝0，
可得只有B中e1，e2不平行，故应选B．
9．C
解析：由a∥b，得3x＝1，∴x＝ ．
10．D
解析：①平面向 量的数量积不满足结合律．故①假；
②由向量的减法运算可知 |a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［(b•c)•a－(c•a)•b］•c＝(b•c)•a•c－(c•a)•b•c＝0，所以垂直．故③假；
④(3a＋2b)•(3a－2b)＝9•a•a－4b•b＝9|a|2－4|b|2成立．故④真．
二、填空题
11．答案：90°．
解析：由|＋|＝|－|，可画出几何图形，如图，
|－|表示的是线段AB的长度，|＋|表示线段OC的长度，由｜AB｜＝｜OC｜，
∴平行四边形OACB为矩形，故向量 与 所成的角为90°．
12．答案： a＋ b．
解：如图，由 ＝3 ，得4 ＝3 ＝3(a＋b)， ＝a＋ b，
所以 ＝ (a＋b)－(a＋ b)＝－ a＋ b．
13．答案：－63．
解析：解方程组得
∴a•b=(－3)×5＋4×(－12)＝－63．
14．答案：90°．
解析：由a＝(2，1)，得|a|＝ ，
∴a2＝5，于是(m－2n)2＝5 m2＋4n2－4m•n＝5．
∴m•n＝0．
∴m，n的夹角为90°．
15．答案：(x＋4，y－2)．
解析： ＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)．
三、解答题
16．答案： ＝b－ a， = a－b
解：如图 ，连结CN，则AN DC．
∴四边形ANCD是平行四边形．
＝－ =－b，又∵ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＝－ － ＝b－ a．
∴ ＝ － ＝ ＋ ＝－b＋ a＝ a－b．
17．解析：∵ ＝ (2－1，3－2)＝(1，1)， ＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)．
∴ • ＝1×(－3)＋1×3＝0．
∴ ⊥ ．
∴△ABC是直角三角形．
18．答案：(1)当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直；
(2)当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，反向．
解析：(1)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．
当(ka＋b)•(a－3b)＝0时，这两个向量垂 直．
由(k－3，2k＋2)•(10，－4)＝0，得10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0．
解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在实数 ，使ka＋b＝(a－3b)，
由(k－3，2k＋2)＝(10，－4)，
得
解得
即当k＝－ 时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－ a＋b，
∵＝－ ＜0，∴－ a＋b与a－3b反向．
19．答案：(1)366，(2)－157．
解析：∵｜m｜＝4，｜n｜＝3，m与n的夹角为60°，
∴m•n＝|m||n|cos 60°＝4×3× ＝6．
(1)a2＋b2＋c2
＝(4m－n)2＋(m＋2n)2＋(2m－3n)2
＝16｜m｜2－8m•n＋｜n｜2＋｜m｜2＋4m•n＋4｜n｜2＋4｜m｜2－12m•n＋9｜n｜2
＝21｜m｜2－16m•n＋14｜n｜2
＝21×16－16×6＋14×9
＝3 66．
(2)a•b＋2b•c－3c•a
＝(4m－n)•(m＋2n)＋2(m＋2n)•(2m－3n)－3(2m－3n)•(4m－n)
＝－16｜m｜2＋51m•n－23｜n｜2
＝－16×16＋51×6－23×9
＝－157．
另解：a•b＋2b•c－3c•a＝b •(a＋2c)－3c•a＝…＝－157．