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第一章三角函数单元质量检测（附答案新人教A版必修4）
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2013•宿州高一检测)-495°角的终边所在的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.点P(tan2014°，cos2014°)位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.sin 的值为 ( )
A. B.- C. D.-
4.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sinθ+cosθ的值的是
( )
A. B. C. D.
5.已知sin = ，则cos = ( )
A. B.- C. D.-
6.(2013•驻马店高一检测)已知角θ的终边过点(4，-3)，则cos(π-θ)=
( )
A. B.- C. D.-
7.(2013•嘉兴高一检测)函数y=sin 图象的对称轴方程可能是 ( )
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
8.下列表示最值是 ，周期是6π的三角函数的表达式是 ( )
A.y= sin B.y= sin
C.y=2sin D.y= sin
9.设a为常数，且a>1，0≤x≤2π，则函数f(x)=cos2x+2asinx-1的最大值为
( )
A.2a+1 B.2a-1 C.-2a-1 D.a2
10.设函数f(x)=xtanx，若x1，x2∈ 且f(x1)>f(x2)，则下列结论中正确的是 ( )
A.x1>x2 B. <
C. > D.x1<x2
11.(2013•南阳高一检测)函数y=sin 的图象沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是 ( )
A.(0，0) B.(π，0)
C. D.
12.已知函数f(x)=sin (x∈R)，下面结论错误的是 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间 上是增函数
C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D.函数f(x)是奇函数
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是 ，初相是 ，则这个函数的解析式为 .
14.已知sin = ，α∈ ，则tanα= .
15.将函数f(x)=2sin (ω>0)的图象向左平移 个单位得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在 上为增函数，则ω最大值为 .
16.函数f(x)=3sin 的图象为C，如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).
①图象C关于直线x= 对称；
②图象C关于点 对称；
③函数f(x)在区间 内是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知角α的终边经过点P(1， ).
(1)求sinα+cosα的值.
(2)写出角α的集合S.
18.(12分)(2013•济南高一检测)已知sin(π+α)=- ，α是第二象限角，分别求下列各式的值：
(1)cos(2π-α).
(2)tan(α-7π).
19.(12分)设函数f(x)=3sin ，ω>0且以 为最小正周期.
(1)求f(0).
(2)求f(x)的解析式.
(3)已知f = ，求sinα的值.
20.(12分)(2012•陕西高考)函数f(x)=Asin（ωx- ）+1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设α∈ ，f =2，求α的值.
21.(12分)(2013•三明高一检测)已知函数f(x)=2sin（2x+ ）.
(1)“五点法”作出y=f(x)的图象.
(2)直接看图填空：
①将y=f(x)向左平移φ个单位，得到一偶函数，则φ的最小正值为 .
②写出y=f(x)的一个对称点坐标 .
(3)说明如何由y=sinx的图象经过变换得到f(x)=2sin 的图象.
22.(12分)(能力挑战题)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin +20，x∈[4，16].
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差.
(2)若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
答案解析
1.【解析】选C.-495°=-2×360°+225°，因为225°是第三象限角，所以
-495°是第三象限角.
2.【解析】选D.因为2014°=360°×6-146°，
所以2014°与-146°的终边相同，是第三象限角，
所以tan2014°>0，cos2014°<0.
所以P点在第四象限.
3.【解析】选B.sin =-sin
=-sin =-sin
=-sin
=-sin =- .
4.【解析】选A.如图，在单位圆中借助三角函数线，根据三角形的三边关系可得sinθ+cosθ>1.
5.【解题指南】“所求角”与已知角的关系满足两角之差为 ，由此利用诱导公式六求解.
【解析】选B.cos =cos
=-sin =- .
6.【解析】选B.因为角θ的终边过点(4，-3)，
所以cosθ= .
所以cos(π-θ)=-cosθ=- .
7.【解析】选C.由题意知，令2x+ =kπ+ ，k∈Z，得x= π+ ，k∈Z.当k=0时，x= ，故选C.
8.【解析】选A.函数y= sin 的最大值为 ，周期为6π.
9.【解析】选B.f(x)=cos2x+2asinx-1=1-sin2x+2asinx-1=-(sinx-a)2+a2，
因为0≤x≤2π，
所以-1≤sinx≤1，
又因为a>1，
所以f(x)max=-(1-a)2+a2=2a-1.
10.【解题指南】判断出奇偶性，再根据单调性判断.
【解析】选C.因为f(-x)
=-xtan(-x)=-x(-tanx)
=xtanx=f(x)，
所以f(x)为偶函数.
由f(x1)>f(x2)
得f(|x1|)>f(|x2|).
由y=x与y=tanx均在
上为增函数，
则f(x)图象大致如图所示：
则有|x1|>|x2|，即 > .
11.【解析】选B.函数y=sin 的图象沿x轴向左平移π个单位后得到函数y=sin =sin =cos x的图象，它的一个对称中心是(π，0).
12.【解析】选D.因为y=sin =-cosx，
所以T=2π，A正确；
y=cosx在 上是减函数，y=-cosx在 上是增函数，B正确；
由图象知y=-cosx关于直线x=0对称，C正确；
y=-cosx是偶函数，D错误.故选D.
13.【解析】由题意，知A=3，ω= = =7，φ= ，
所以y=3sin .
答案：y=3sin
14.【解析】因为sin = ，
所以cosα= ，
因为α∈ ，
所以sinα=- =- ，
所以tanα= = =-2 .
答案：-2
15.【解析】函数f(x)=2sin (ω>0)的图象向左平移 个单位，得到函数y=g(x)=2sinωx，y=g(x)在 上为增函数，所以 ≥ ，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2.
答案：2
16.【解析】f =3sin =-3，①正确；
f =3sinπ=0，②正确；
f(x)的增区间为 (k∈Z)，令k=0得增区间 ，③正确；
由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C，④错误.
答案：①②③
17.【解析】(1)由已知得点P到原点的距离为 =2，
所以sinα= ，cosα= ，
所以sinα+cosα= .
(2)由(1)知，在(0，2π)内满足条件的角α= ，
所以角α的集合S= .
18.【解析】(1)因为sin(π+α)=-sinα，
所以sinα= ，
又α是第二象限角，所以cosα=- ，
所以cos(2π-α)=cosα=- .
(2)tan(α-7π)=tanα= =- =- .
19.【解析】(1)f(0)=3sin = .
(2)因为f(x)=3sin 且以 为最小正周期，所以 = ，ω=4，f(x)=3sin .
(3)f(x)=3sin ，所以f =
3sin =3cosα，即3cosα= ，
所以cosα= ，所以sinα=± .
20.【解析】(1)因为函数f(x)的最大值为3，所以A+1=3，即A=2，因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以最小正周期T=π，
所以ω=2，故函数f(x)的解析式为
y=2sin +1.
(2)因为f =2sin +1=2，
即sin = ，
因为0<α< ，
所以- <α- < ，
所以α- = ，故α= .
21.【解析】(1)
x -
2x+
0 π 2π
sin
0 1 0 -1 0
2sin
0 2 0 -2 0
(2)①将y=f(x)向左平移φ个单位，得到一偶函数，则φ的最小正值为 .
②y=f(x)的一个对称点坐标为 (不唯一).
(3)先将y=sinx向左平移 个单位得到y=sin 的图象，再将横坐标缩小到原来的 倍，纵坐标保持不变得到y=sin 的图象，再将纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变得到f(x)=2sin 的图象.(也可先伸缩变换再作平移变换)
【拓展提升】对数形结合的认识
(1)数形结合是重要的数学思想，它能把代数关系与几何图形的直观形象有机结合起来，将抽象的思维方式转化为直观的思维方式，从而使问题变得简单明了.
(2)数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.
22.【解析】(1)由函数易知，当x=14时函数取最大值，此时最高温度为30°C，当x=6时函数取最小值，此时最低温度为10°C，所以最大温差为30°C-
10°C=20°C.
(2)令10sin +20=15，可得
sin =- ，而x∈[4，16]，所以x= .
令10sin +20=25，可得sin = ，而x∈[4，16]，所以x= .
故该细菌能存活的最长时间为 - = (小时).