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第三章三角恒等变换单元质量检测（带答案新人教A版必修4）
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列说法中不正确的是 ( )
A.存在这样的α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对于任意的α和β，都有cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在这样的α和β值，使得cos(α+β)≠cosαcosβ-sinαsinβ
2.(2013•泉州高一检测)已知cos = ，则sin 2α的值为 ( )
A. B.- C.- D.
3.(2013•锦州高一检测)cos4 -sin4 等于 ( )
A.0 B. C.1 D.-
4.在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为 ( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
5.(2013•东莞高一检测)已知 =-5，那么tanα的值为 ( )
A.-2 B.2 C. D.-
6.已知函数f(x)=sinx+mcosx，把函数f(x)的图象向左平移 个单位后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)为奇函数，则m= ( )
A.- B. C. D.-
7.已知0<α< <β<π，又sinα= ，cos(α+β)=- ，则sinβ= ( )
A.0 B.0或 C. D.±
8.若f(x)=2tanx- ，则f 的值是 ( )
A.- B.4 C.8 D.-4
9.在△ABC中，已知tanA，tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于
( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
10. 的值等于 ( )
A.sin 2 B.-cos 2 C. cos 2 D.- cos 2
11.设向量a= 的模为 ，则cos 2α的值为 ( )
A.- B.- C. D.
12.(2012•湖南高考)函数f(x)=sinx-cos 的值域为 ( )
A.[-2，2] B.[- ， ]
C.[-1，1] D.[-3，-1]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)
13.(2013•馆陶高一检测)已知cosθ=- ， <θ<3π，那么sin = .
14.化简sin(x+60°)+2sin(x-60°)- cos(120°-x)的结果是 .
15.已知A，B，C皆为锐角，且tanA=1，tanB=2，tanC=3，则A+B+C的值为 .
16.(2012•北京高一检测)关于函数f(x)=cos +cos ，有下列说法：
①y=f(x)的最大值为 .
②y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数.
③y=f(x)在区间 上单调递减.
④将函数y= cos 2x的图象向左平移 个单位后，将与已知函数的图象重合.
其中正确的序号是 .(注：把你认为正确的说法的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)求值： .
(2)已知sinθ+2cosθ=0，求 的值.
18.(12分)已知锐角α，β满足tan(α-β)=sin 2β，求证：tanα+tanβ=
2tan2β.
19.(12分)点P在直径为AB=1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT=1，∠PAB=α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
20.(12分)(2013•济南高一检测)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0，0<φ<π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M .
(1)求f(x)的解析式.
(2)已知α，β∈ ，且f(α)= ，f(β)= ，求f(α-β)的值.
21.(12分)已知函数f(x)=sin(π-x)sin +cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)当x∈ 时，求函数f(x)的单调区间.
22.(12分)(能力挑战题)设f(x)=4cos sinωx-cos(2ωx+π)，其中ω>0.
(1)求函数y=f(x)的值域.
(2)若f(x)在区间 上为增函数，求ω的最大值.
答案解析
1.【解析】选B.由两角差的余弦公式易知C，D正确，当α=β=0时，A成立，故选B.
2.【解析】选C.cos = cosα+ sinα= ，
两边平方得， + sin 2α= ，
所以sin 2α=- ，故选C.
3.【解析】选B.cos4 -sin4
=
=cos = .
4.【解析】选D.由sinAsinB<cosAcosB，
得cos(A+B)>0，即cosC=cos[π-(A+B)]
=-cos(A+B)<0，故角C为钝角.
5.【解析】选D.由 =-5可知：
=-5，
即tanα-2=-15tanα-25.
解得tanα=- .
6.【解析】选D.由题意可知g(x)=f =sin +mcos ，因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0，代入得m=- .
7.【解析】选C.方法一：因为0<α< <β<π且sinα= ，cos(α+β)=- ，所以cosα= ， <α+β< ，
所以sin(α+β)=± ，
当sin(α+β)= 时，sinβ=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
= ；
当sin(α+β)=- 时，sinβ=0.
又 <β<π，
所以sinβ>0，故sinβ= .
方法二：可用排除法求解，因为 <β<π，
所以sinβ>0.故排除A，B，D.
8.【解析】选C. f(x)=2tanx+
=2 = ，
所以f = =8.
9.【解析】选C.因为tanA+tanB=- ，tanAtanB=- ，所以tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=- =- =2.
10.【解析】选D.
=
= = |cos 2|=- cos 2.
11.【解析】选B.因为|a|2=cos2α+ = ，
所以cos2α= ，cos 2α=2cos2α-1=- .
12.【解题指南】先将f(x)利用两角的和差的正弦、余弦公式化为f(x)=
Asin(ωx+φ)的形式，再利用三角函数的有界性确定f(x)值域.
【解析】选B.f(x)=sinx- cosx+ sinx
= = sin ，
故f(x)∈[- ， ].
13.【解析】因为 <θ<3π，所以 < < ，
故sin =- =- =- .
答案：-
【变式备选】已知cosα= ，则cos(π-α)-sin2 = .
【解析】cos(π-α)-sin2 =-cosα- =- .
答案：-
14.【解析】原式=sin(x+60°)- cos[180°-(x+60°)]+2sin(x-60°)
=sin(x+60°)+ cos(x+60°)+2sin(x-60°)
=2sin(x+60°+60°)+2sin(x-60°)
=2sin(x-60°+180°)+2sin(x-60°)
=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)=0.
答案：0
15.【解析】因为tanA=1，tanB=2，
所以tan(A+B)= =-3，
又tanC=3，
所以tan(A+B+C)= =0.
因为A，B，C皆为锐角，
所以0°<A+B+C<270°，
故A+B+C=180°.
答案：180°
16.【解析】f(x)=cos +cos
=cos -sin = cos ，
所以y=f(x)的最大值为 ，即①正确.
T= =π，即②正确.
由2kπ≤2x- ≤2kπ+π(k∈Z)得，
kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z)，即③正确.
将函数y= cos 2x的图象向左平移 个单位得y= cos ≠f(x)，所以④不正确.
答案：①②③
17.【解析】(1)原式=
= =
=
= =2+ .
(2)由sinθ+2cosθ=0，得sinθ=-2cosθ，
cosθ≠0，则tanθ=-2，
所以
=
=
= = .
18.【解题指南】要证的结论中只有正切，因此化弦为切，顺理成章.
【证明】因为tan(α-β)=sin 2β，
tan(α-β)= ，
sin 2β=2sinβcosβ= = ，
所以 = ，
整理得：tanα= .
所以tanα+tanβ= = =2tan 2β.
19.【解题指南】根据题意画出图形，结合图形利用角α的三角函数值表示四边形ABTP有关的量，从而把四边形ABTP的面积表示成关于α的函数，再根据三角函数的性质解题.
【解析】如图.
因为AB为直径，PT切圆于P点，
所以∠APB=90°，PA=cosα，PB=sinα，S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB
= PA•PB+ PT•PBsinα
= sinαcosα+ sin2α= sin 2α+
= (sin 2α-cos 2α)+
= sin + .
因为0<α< ，
因为- <2α- < ，
所以当2α- = ，
即α= 时，四边形ABTP的面积最大.
20.【解析】(1)依题意有A=1，则f(x)=sin(x+φ)，将点M 代入得sin = ，而0<φ<π，
所以 +φ= π，所以φ= ，
故f(x)=sin =cosx.
(2)依题意有cosα= ，cosβ= ，而α，β∈ ，
所以sinα= = ，
sinβ= = ，
f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= × + × = .
21.【解析】(1)f(x)=sinx•cosx+ cos 2x+
= sin 2x+ cos 2x+ = sin + ，
所以函数f(x)的最小正周期T= =π.
(2)当x∈ 时，2x+ ∈[0，π]，
所以当2x+ ∈ ，
即x∈ 时，函数f(x)单调递增；
当2x+ ∈ 即x∈ 时，函数f(x)单调递减.
22.【解析】(1)f(x)=4 sinωx+cos2ωx=2 sinωxcosωx+
2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx= sin2ωx+1，
因为-1≤sin2ωx≤1，
所以函数y=f(x)的值域为[1- ，1+ ].
(2)因为y=sinx在每个闭区间 (k∈Z)上为增函数，f(x)=
sin2ωx+1(ω>0)在每个区间 (k∈Z)上为增函数.依题意知： ⊆ 对某个k∈Z成立，此时必有k=0，于是 解得
ω≤ ，故ω的最大值为 .