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第三章不等式章末训练题（带答案新人教A版必修5）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是( )
A．a<0或a>2 B．0<a<2 C．a＝0或a＝2 D．0≤a≤2
答案 B
2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为x|－2<x<－14，则a＋b等于( )
A．－18 B．8 C．－13 D．1
答案 C
解析 ∵－2和－14是ax2＋bx－2＝0的两根．
∴－2＋－14＝－ba－2×－14＝－2a，∴a＝－4b＝－9.
∴a＋b＝－13.
3．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
答案 B
解析 ∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，
∴－1<a<0.取a＝－12，可知－a>a2>－a2>a.
4．不等式1x<12的解集是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 1x<12⇔1x－12<0⇔2－x2x<0
⇔x－22x>0⇔x<0或x>2.
5．设变量x，y满足约束条件x＋y≤3，x－y≥－1，y≥1，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为( )
A．12 B．10 C．8 D．2
答案 B
解析 画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋z2，
作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大．
解方程组x＋y＝3，y＝1得A(2,1)，∴zmax＝10.
6．已知a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ab2>cb2 D．ac(a－c)<0
答案 C
解析 ∵c<b<a，且ac<0，∴a>0，c<0.
而b与0的大小不确定，在选项C中，若b＝0，则ab2>cb2不成立．
7．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为( )
A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7}
B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}
C．{x|x≤－2或x>3}
D．{x|x<－2或x≥3}
答案 A
解析 ∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3<x≤7}．
8．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则( )
A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－12<a<32 D．－32<a<12
答案 C
解析 (x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1⇔－x2＋x＋(a2－a－1)<0恒成立
⇔Δ＝1＋4(a2－a－1)<0⇔－12<a<32.
9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A．y＝x＋1x
B．y＝cos x＋1cos x (0<x<π2)
C．y＝x2＋3x2＋2
D．y＝ex＋4ex－2
答案 D
解析 选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤－2；
选项B中，cos x≠1，故最小值不等于2；
选项C中，x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2，
当x＝0时，ymin＝322.
选项D中，ex＋4ex－2>2ex•4ex－2＝2，
当且仅当ex＝2，
即x＝ln 2时，ymin＝2，适合．
10．若x，y满足约束条件x＋y≥1x－y≥－12x－y≤2，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)
答案 B
解析 作出可行域如图所示，
直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1<－a2<2，
即－4<a<2.
11．若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 D
解析 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，
∵x>0，y>0，∴x－8>0，得到y＝2xx－8，
则μ＝x＋y＝x＋2xx－8＝x＋2x－16＋16x－8
＝(x－8)＋16x－8＋10≥2x－8•16x－8＋10＝18，
当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12，y＝6时取“＝”．
12．若实数x，y满足x－y＋1≤0，x>0，则yx－1的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．[1，＋∞)
答案 B
解析 可行域如图阴影，yx－1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx－1>1或yx－1<－1.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．
答案 A<B
14．不等式x－1x2－x－30>0的解集是
________________________________________________________________________．
答案 {x|－5<x<1或x>6}
15．如果a>b，给出下列不等式：
①1a<1b；②a3>b3；③a2>b2；④2ac2>2bc2；
⑤ab>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
答案 ②⑥
解析 ①若a>0，b<0，则1a>1b，故①不成立；
②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a>b.
∴a3>b3，故②成立；
③取a＝0，b＝－1，知③不成立；
④当c＝0时，ac2＝bc2＝0,2ac2＝2bc2，
故④不成立；
⑤取a＝1，b＝－1，知⑤不成立；
⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b)
＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]>0，
∴a2＋b2＋1>ab＋a＋b，故⑥成立．
16．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于v202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
答案 8
解析 这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则
t＝400＋16v202v＝400v＋16v400≥2 400v×16v400＝8(小时)，
当且仅当400v＝16v400，即v＝100时等号成立，
此时t＝8小时．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
解 (1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴1－a<041－a＝－261－a＝－3，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>32.
∴所求不等式的解集为x|x<－1或x>32.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.
18．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
解 原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即x＋a7x－a8<0.
①当－a7<a8，即a>0时，－a7<x<a8；
②当－a7＝a8，即a＝0时，原不等式解集为∅；
③当－a7>a8，即a<0时，a8<x<－a7.
综上知，当a>0时，原不等式的解集为x|－a7<x<a8；
当a＝0时，原不等式的解集为∅；
当a<0时，原不等式的解集为x|a8<x<－a7.
19．(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2c2a2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，
c2a2＋a2b2≥2a2bc.
∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，
即a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
∴a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．
20．(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，
得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
21．(12分)设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0<x1<1<x2<2，求a的取值范围．
解 设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，
且0<x1<1,1<x2<2，
所以f0>0，f1<0，f2>0⇒a2－a－2>0，7－a＋13＋a2－a－2<0，28－2a＋13＋a2－a－2>0
⇒a2－a－2>0，a2－2a－8<0，a2－3a>0⇒a<－1或a>2，－2<a<4，a<0或a>3
⇒－2<a<－1或3<a<4.
所以a的取值范围是{a|－2<a<－1或3<a<4}．
22．(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
解 (1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分36x批，每批价值20x.
由题意f(x)＝36x•4＋k•20x，
由x＝4时，y＝52，得k＝1680＝15.
∴f(x)＝144x＋4x (0<x≤36，x∈N*)．
(2)由(1)知f(x)＝144x＋4x (0<x≤36，x∈N*)．
∴f(x)≥2144x•4x＝48(元)．
当且仅当144x＝4x，即x＝6时，上式等号成立．
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．