第三章不等式章末练习题（有答案新人教A版必修5）

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第三章不等式章末练习题（有答案新人教A版必修5）
 (时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若a<0，－1<b<0，则有(　　)
A．a>ab>ab2                 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2                 D．ab>ab2>a
2．已知x>1，y>1，且14ln x，14，ln y成等比数列，则xy(　　)
A．有最大值e                B．有最大值e
C．有最小值e                D．有最小值e
3．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则(　　)
A．M>N                    B．M≥N
C．M<N                    D．M≤N
4．不等式x2－ax－12a2<0(其中a<0)的解集为(　　)
A．(－3a,4a)                B．(4a，－3a)
C．(－3,4)                  D．(2a,6a)
5．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a2>b2                    B．(12)a<(12)b
C．lg(a－b)>0                D.ab>1
6．当x>1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]               B．[2，＋∞)
C．[3，＋∞)                D．(－∞，3]
7．已知函数f(x)＝x＋2，　　x≤0－x＋2，  x>0，则不等式f(x)≥x2的解集是(　　)
A．[－1,1]                 B．[－2,2]
C．[－2,1]                 D．[－1,2]
8．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A.1ab>12                    B.1a＋1b≤1
C.ab≥2                  D.1a2＋b2≤18
9．设变量x，y满足约束条件x－y≥0，2x＋y≤2，y＋2≥0，则目标函数z＝|x＋3y|的最大值为(　　)
A．4                     B．6
C．8                     D．10
10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则(　　)
A．甲先到教室      B．乙先到教室
C．两人同时到教室     D．谁先到教室不确定
11．设M＝1a－11b－11c－1，且a＋b＋c＝1 (其中a，b，c为正实数)，则M的取值范围是(　　)
A.0，18                    B.18，1
C．[1,8)                     D．[8，＋∞)
12．函数f(x)＝x2－2x＋1x2－2x＋1，x∈(0,3)，则(　　)
A．f(x)有最大值74              B．f(x)有最小值－1
C．f(x)有最大值1             D．f(x)有最小值1
题　号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答　案            
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为
________________________________________________________________________．
14．对任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是________．
15．若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较a2b＋b2a与a＋b的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18．(12分)已知a，b，c∈(0，＋∞)．
求证：(aa＋b)•(bb＋c)•(cc＋a)≤18.

 

 

 

 

 

 

19．(12分)若a<1，解关于x的不等式axx－2>1.

 

 

 

 

 

20．(12分)求函数y＝x＋22x＋5的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
 

 

 

 

 

 

 

22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：
产品消耗量资源 甲产品  
(每吨) 乙产品  
(每吨) 资源限额  
(每天)   
煤(t) 9 4 360
电力(kw• h) 4 5 200
劳动力(个) 3 10 300
利润(万元) 6 12 
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？

第三章　不等式  章末检测答案(B)
1．D　[∵a<0，－1<b<0，
∴ab>0，ab2<0.
∴ab>a，ab>ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，
∴a<ab2.∴a<ab2<ab.]
2．C
3．A　[∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)
＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3
＝(a－1)2＋2>0.∴M>N.]
4．B　[∵x2－ax－12a2<0(a<0)
⇔(x－4a)(x＋3a)<0
⇔4a<x<－3a.]
5．B　[取a＝0，b＝－1，否定A、C、D选项．
故选B.]
6．D　[∵x>1，∴x＋1x－1＝(x－1)＋1x－1＋1≥
2x－1•1x－1＋1＝3.∴a≤3.]
7．A　[f(x)≥x2⇔x≤0x＋2≥x2或x>0－x＋2≥x2
⇔x≤0x2－x－2≤0或x>0x2＋x－2≤0
⇔x≤0－1≤x≤2或x>0－2≤x≤1
⇔－1≤x≤0或0<x≤1
⇔－1≤x≤1.]
8．D　[取a＝1，b＝3，可验证A、B、C均不正确，
故选D.]
9．C　[可行域如阴影，当直线u＝x＋3y过A(－2，－2)时，
u有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B(23，23)时u有最大值23＋3×23＝83.
 
∴u＝x＋3y∈[－8，83]．
∴z＝|u|＝|x＋3y|∈[0,8]．故选C.]
10．B　[设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝s2a＋s2b＝s2a＋s2b＝s×a＋b2ab，ta＋tb＝s⇒2t＝2sa＋b，
∴T－2t＝sa＋b2ab－2sa＋b＝s×a＋b2－4ab2aba＋b＝sa－b22aba＋b>0，
故选B.]
11．D　[M＝1a－11b－11c－1
＝a＋b＋ca－1a＋b＋cb－1a＋b＋cc－1
＝ba＋ca•ab＋cb•ac＋bc
≥2ba•ca•2ab•cb•2ac•bc＝8.
∴M≥8，当a＝b＝c＝13时取“＝”．]
12．D　[∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，
∴(x－1)2∈[0,4)，
∴f(x)＝(x－1)2＋1x－12－1
≥2x－12•1x－12－1＝2－1＝1.
当且仅当(x－1)2＝1x－12，且x∈(0,3)，
即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.]
13．－2
解析　∵t>0，
∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2.
14．－2<a≤2
解析　当a＝2时，－4<0恒成立，∴a＝2符合．
当a－2≠0时，则a应满足：
a－2<0Δ＝4a－22＋16a－2<0解得－2<a<2.
综上所述，－2<a≤2.
15．5≤a<7
解析　先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
 
由图知：5≤a<7.
16．20
解析　该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x•4＋4x)万元，400x•4＋4x≥160，当1 600x＝4x即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
17．解　∵(a2b＋b2a)－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a
＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)(1b－1a)
＝(a2－b2)a－bab＝a－b2a＋bab
又∵a>0，b>0，a≠b，
∴(a－b)2>0，a－b>0，ab>0，
∴(a2b＋b2a)－(a＋b)>0，∴a2b＋b2a>a＋b.
18．证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，
c＋a≥2ac>0，
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc>0.
∴abca＋bb＋cc＋a≤18
即(aa＋b)•(bb＋c)•(cc＋a)≤18.
当且仅当a＝b＝c时，取到“＝”．
19．解　不等式axx－2>1可化为a－1x＋2x－2>0.
∵a<1，∴a－1<0，
故原不等式可化为x－21－ax－2<0.
故当0<a<1时，原不等式的解集为
{x|2<x<21－a}，
当a<0时，原不等式的解集为
{x|21－a<x<2}．
当a＝0时，原不等式的解集为∅.
20．解　设t＝x＋2，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝t2t2＋1.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝12t＋1t≤12 2t•1t＝24.
当且仅当2t＝1t，即t＝22时等号成立．
即当x＝－32时，ymax＝24.
21．解　(1)设DN的长为x(x>0)米，
则AN＝(x＋2)米．
∵DNAN＝DCAM，∴AM＝3x＋2x，
∴SAMPN＝AN•AM＝3x＋22x，
由SAMPN>32，得3x＋22x>32.
又x>0，得3x2－20x＋12>0，
解得：0<x<23或x>6，
即DN长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．
(2)矩形花坛AMPN的面积为
y＝3x＋22x＝3x2＋12x＋12x
＝3x＋12x＋12≥23x•12x＋12＝24，
当且仅当3x＝12x，即x＝2时，
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，
最小值为24平方米．
22．解　设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元．
依题意可得约束条件：9x＋4y≤3604x＋5y≤2003x＋10y≤300x≥0y≥0
作出可行域如图.
 
利润目标函数z＝6x＋12y，
由几何意义知，当直线l：z＝6x＋12y经过可行域上的点M时，z＝6x＋12y取最大值．解方程组3x＋10y＝3004x＋5y＝200，
得x＝20，y＝24，即M(20,24)．
答　生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．

 

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